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3. ★★ [2025福建] 甲、乙两人是新华高级中学数学兴趣小组的成员.以下是他们在参加高中数学联赛预备队员集训期间的测试成绩及当地近五年高中数学联赛的相关信息.
信息一:甲、乙两人集训期间的测试成绩(单位:分)如下表:
其中,甲、乙成绩的平均数分别是$\bar{x}_甲=85$分, $\bar{x}_乙=85$分;方差分别是$s_甲^2=58.4, s_乙^2=a$.
信息二:当地近五年高中数学联赛获奖分数线(单位:分)如下表:
试根据以上信息及你所学的统计学知识,解决以下问题:
(1)计算$a$的值,并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价.
(2)计算当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数,并说明:若要从中选择一人参加高中数学联赛,选谁更合适.
(3)若要从中选择一人参加进一步的培养,从发展潜能的角度考虑,你认为选谁更合适?为什么?
信息一:甲、乙两人集训期间的测试成绩(单位:分)如下表:
其中,甲、乙成绩的平均数分别是$\bar{x}_甲=85$分, $\bar{x}_乙=85$分;方差分别是$s_甲^2=58.4, s_乙^2=a$.
信息二:当地近五年高中数学联赛获奖分数线(单位:分)如下表:
试根据以上信息及你所学的统计学知识,解决以下问题:
(1)计算$a$的值,并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价.
(2)计算当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数,并说明:若要从中选择一人参加高中数学联赛,选谁更合适.
(3)若要从中选择一人参加进一步的培养,从发展潜能的角度考虑,你认为选谁更合适?为什么?
答案
(1)$s_乙^2=\dfrac{1}{10} × [(82-85)^2 + (83-85)^2 +\dots +(85-85)^2 ]=\dfrac{1}{10} × (9+4+1+9+49+4+4+1+1+0)=\dfrac{1}{10} ×82=8.2$,即 $a=8.2$.
因为 $\bar x_甲=85$ 分,$\bar x_乙=85$ 分,$s_甲^2=58.4$,所以 $\bar x_甲=\bar x_乙$,$s_甲^2＞s_乙^2$,
所以甲、乙两人的整体水平相当,但乙的成绩比甲稳定.
(2)获奖分数线的平均数为 $\bar x=90+\dfrac{1}{5} ×(-2)=89.6$(分),
从信息一可知,在集训期间的十次测试成绩中,甲达到获奖分数线的平均数的频数为 4,而乙的频数为 1,所以甲获奖的可能性更大,故选甲参加更合适.(合理即可)
(3)选甲更合适. 理由:在集训期间的十次测试成绩中,甲呈上升趋势,而乙基本稳定在原有的水平,故从发展潜能的角度考虑,选甲更合适.(合理即可)
因为 $\bar x_甲=85$ 分,$\bar x_乙=85$ 分,$s_甲^2=58.4$,所以 $\bar x_甲=\bar x_乙$,$s_甲^2＞s_乙^2$,
所以甲、乙两人的整体水平相当,但乙的成绩比甲稳定.
(2)获奖分数线的平均数为 $\bar x=90+\dfrac{1}{5} ×(-2)=89.6$(分),
从信息一可知,在集训期间的十次测试成绩中,甲达到获奖分数线的平均数的频数为 4,而乙的频数为 1,所以甲获奖的可能性更大,故选甲参加更合适.(合理即可)
(3)选甲更合适. 理由:在集训期间的十次测试成绩中,甲呈上升趋势,而乙基本稳定在原有的水平,故从发展潜能的角度考虑,选甲更合适.(合理即可)
解析
【分析】
(1) 第一问求乙的方差a，首先回忆方差的计算公式：一组数据的方差等于每个数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数，将乙的10次成绩和已知的乙的平均成绩85分代入公式即可求出a；评价两人成绩时，先看平均数，两人平均数相同说明整体水平相当，再比较方差，方差越小说明成绩越稳定，即可得出结论。
(2) 第二问先根据平均数的计算公式算出近五年获奖分数线的平均数，再分别统计甲、乙两人10次集训成绩中不低于该获奖平均分数线的次数，次数越多说明参加联赛获奖的可能性越大，优先选择该人参赛。
(3) 第三问从发展潜能角度考虑，需要观察两人成绩的变化趋势，若成绩整体呈上升趋势，说明后续提升空间大，发展潜能更足，据此选择即可。
【解析】
(1) 根据方差计算公式，乙的10次成绩平均数$\bar{x}_乙=85$，代入计算：
$s_乙^2=\dfrac{1}{10} × [(82-85)^2 + (83-85)^2 + (84-85)^2 + (88-85)^2 + (78-85)^2 + (87-85)^2 + (83-85)^2 + (86-85)^2 + (86-85)^2 + (85-85)^2 ]$
$=\dfrac{1}{10} × (9+4+1+9+49+4+4+1+1+0)$
$=\dfrac{1}{10} ×82=8.2$，即$a=8.2$。
已知$\bar x_甲=\bar x_乙=85$分，$s_甲^2=58.4＞s_乙^2$，因此甲、乙两人的整体成绩水平相当，但乙的成绩比甲更稳定。
(2) 计算近五年获奖分数线的平均数：
$\bar x=90+\dfrac{1}{5} ×[(-2)+(-1)+0+1+0]=89.6$(分)
统计甲乙两人集训成绩中≥89.6分的次数：甲有4次，乙仅有1次，说明甲达到获奖分数线的概率更高，因此选甲参加联赛更合适。
(3) 选甲更合适。观察两人的集训成绩，甲的成绩整体呈上升趋势，说明甲的进步空间大，发展潜能更足；而乙的成绩始终比较平稳，提升空间相对较小，因此从发展潜能角度考虑选甲更合适。
【答案】
(1)$a=8.2$；甲、乙两人的整体水平相当，但乙的成绩比甲稳定。
(2)当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数为89.6分，选甲参加高中数学联赛更合适。
(3)选甲更合适，理由：在集训期间的十次测试成绩中，甲呈上升趋势，而乙基本稳定在原有的水平，故从发展潜能的角度考虑，选甲更合适（合理即可）。
【知识点】
方差的计算与应用；平均数的计算；统计决策
【点评】
本题以竞赛选拔的实际情境为载体，考查了平均数、方差的计算及统计量的实际意义，既要求学生掌握基础的统计运算能力，也要求学生结合不同的实际需求分析数据特征，做出合理判断，体现了数学在实际决策中的应用价值。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问求乙的方差a，首先回忆方差的计算公式：一组数据的方差等于每个数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数，将乙的10次成绩和已知的乙的平均成绩85分代入公式即可求出a；评价两人成绩时，先看平均数，两人平均数相同说明整体水平相当，再比较方差，方差越小说明成绩越稳定，即可得出结论。
(2) 第二问先根据平均数的计算公式算出近五年获奖分数线的平均数，再分别统计甲、乙两人10次集训成绩中不低于该获奖平均分数线的次数，次数越多说明参加联赛获奖的可能性越大，优先选择该人参赛。
(3) 第三问从发展潜能角度考虑，需要观察两人成绩的变化趋势，若成绩整体呈上升趋势，说明后续提升空间大，发展潜能更足，据此选择即可。
【解析】
(1) 根据方差计算公式，乙的10次成绩平均数$\bar{x}_乙=85$，代入计算：
$s_乙^2=\dfrac{1}{10} × [(82-85)^2 + (83-85)^2 + (84-85)^2 + (88-85)^2 + (78-85)^2 + (87-85)^2 + (83-85)^2 + (86-85)^2 + (86-85)^2 + (85-85)^2 ]$
$=\dfrac{1}{10} × (9+4+1+9+49+4+4+1+1+0)$
$=\dfrac{1}{10} ×82=8.2$，即$a=8.2$。
已知$\bar x_甲=\bar x_乙=85$分，$s_甲^2=58.4＞s_乙^2$，因此甲、乙两人的整体成绩水平相当，但乙的成绩比甲更稳定。
(2) 计算近五年获奖分数线的平均数：
$\bar x=90+\dfrac{1}{5} ×[(-2)+(-1)+0+1+0]=89.6$(分)
统计甲乙两人集训成绩中≥89.6分的次数：甲有4次，乙仅有1次，说明甲达到获奖分数线的概率更高，因此选甲参加联赛更合适。
(3) 选甲更合适。观察两人的集训成绩，甲的成绩整体呈上升趋势，说明甲的进步空间大，发展潜能更足；而乙的成绩始终比较平稳，提升空间相对较小，因此从发展潜能角度考虑选甲更合适。
【答案】
(1)$a=8.2$；甲、乙两人的整体水平相当，但乙的成绩比甲稳定。
(2)当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数为89.6分，选甲参加高中数学联赛更合适。
(3)选甲更合适，理由：在集训期间的十次测试成绩中，甲呈上升趋势，而乙基本稳定在原有的水平，故从发展潜能的角度考虑，选甲更合适（合理即可）。
【知识点】
方差的计算与应用；平均数的计算；统计决策
【点评】
本题以竞赛选拔的实际情境为载体，考查了平均数、方差的计算及统计量的实际意义，既要求学生掌握基础的统计运算能力，也要求学生结合不同的实际需求分析数据特征，做出合理判断，体现了数学在实际决策中的应用价值。
【难度系数】
0.7
4. [2026泰州期末] 洋思中学组织七、八年级学生去小南湖研学，并在小南湖开展了传统文化教育活动。活动结束后组织了一场传统文化知识竞赛，竞赛满分为100分。现随机抽取七、八年级各a人的竞赛成绩，统计整理并绘制了如下不完整的统计图表：
①将抽查的两个年级成绩（用$x$表示）进行整理，并将成绩分为4个等级：A. $90≤ x≤100$；B. $80≤ x＜90$；C. $70≤ x＜80$；D. $0≤ x＜70$。
②八年级B等级学生成绩：82，86，86，84，86，84，86，89。
分析数据：
根据以上信息解答下列问题：
(1) $a=$
(2)若该校七年级有1000名学生，八年级有900名学生，请你估计该校七年级和八年级学生成绩达到A等级的共有
(3)请从平均数、中位数、众数、方差中任选两个统计量评价哪个年级传统文化知识掌握情况较好。
①将抽查的两个年级成绩（用$x$表示）进行整理，并将成绩分为4个等级：A. $90≤ x≤100$；B. $80≤ x＜90$；C. $70≤ x＜80$；D. $0≤ x＜70$。
②八年级B等级学生成绩：82，86，86，84，86，84，86，89。
分析数据：
根据以上信息解答下列问题：
(1) $a=$
40
，$b=$86
。(2)若该校七年级有1000名学生，八年级有900名学生，请你估计该校七年级和八年级学生成绩达到A等级的共有
710
名。(3)请从平均数、中位数、众数、方差中任选两个统计量评价哪个年级传统文化知识掌握情况较好。
答案
(1)40;86
(2)710
(3)因为七年级竞赛成绩的中位数小于八年级竞赛成绩的中位数,七年级竞赛成绩的方差大于八年级竞赛成绩的方差,所以八年级的传统文化知识掌握情况较好.(答案不唯一,合理即可)
(2)710
(3)因为七年级竞赛成绩的中位数小于八年级竞赛成绩的中位数,七年级竞赛成绩的方差大于八年级竞赛成绩的方差,所以八年级的传统文化知识掌握情况较好.(答案不唯一,合理即可)
解析
【分析】
(1)求a的值：已知八年级B等级共有8个成绩，即B等级人数为8，结合扇形统计图中B等级占抽取人数的20%，用B等级人数除以对应占比即可得到抽取总人数a；求b的值：b为八年级成绩的众数，众数是一组数据中出现次数最多的数，观察给出的八年级B等级成绩即可确定b的值。
(2)估计A等级总人数：先分别计算抽取的七、八年级样本中A等级的占比，再用各年级总人数乘对应样本A等级占比，求和即可得到两个年级A等级总人数的估计值。
(3)评价掌握情况：平均数、中位数、众数数值越高，说明整体成绩越好；方差越小说明成绩越稳定，任选两个统计量对比七、八年级的数值即可判断。
【解析】
(1) 八年级B等级人数为8，占抽取总人数的20%，因此$a=8÷20\%=40$；
观察八年级B等级成绩：82，86，86，84，86，84，86，89，其中86共出现4次，出现次数最多，因此八年级成绩的众数$b=86$。
(2) 样本中七年级A等级占比为35%，八年级A等级占比为40%，因此七年级A等级估计人数为$1000×35\%=350$名，八年级A等级估计人数为$900×40\%=360$名，两个年级A等级总人数为$350+360=710$名。
(3) 选中位数和方差分析：七年级竞赛成绩的中位数小于八年级竞赛成绩的中位数，说明八年级超过一半的学生成绩高于七年级半数学生的成绩；七年级竞赛成绩的方差大于八年级竞赛成绩的方差，说明八年级学生成绩更稳定，因此八年级传统文化知识掌握情况更好。（选择其他统计量分析合理即可）
【答案】
(1)40;86
(2)710
(3)因为七年级竞赛成绩的中位数小于八年级竞赛成绩的中位数,七年级竞赛成绩的方差大于八年级竞赛成绩的方差,所以八年级的传统文化知识掌握情况较好.(答案不唯一,合理即可)
【知识点】
扇形统计图，样本估计总体，统计量的应用
【点评】
本题结合实际活动考查统计相关知识，需要学生结合图文信息提取有效数据完成计算，同时能正确理解各统计量的意义，对数据进行分析判断，侧重考查学生的数据处理能力。
【难度系数】
0.7
(1)求a的值：已知八年级B等级共有8个成绩，即B等级人数为8，结合扇形统计图中B等级占抽取人数的20%，用B等级人数除以对应占比即可得到抽取总人数a；求b的值：b为八年级成绩的众数，众数是一组数据中出现次数最多的数，观察给出的八年级B等级成绩即可确定b的值。
(2)估计A等级总人数：先分别计算抽取的七、八年级样本中A等级的占比，再用各年级总人数乘对应样本A等级占比，求和即可得到两个年级A等级总人数的估计值。
(3)评价掌握情况：平均数、中位数、众数数值越高，说明整体成绩越好；方差越小说明成绩越稳定，任选两个统计量对比七、八年级的数值即可判断。
【解析】
(1) 八年级B等级人数为8，占抽取总人数的20%，因此$a=8÷20\%=40$；
观察八年级B等级成绩：82，86，86，84，86，84，86，89，其中86共出现4次，出现次数最多，因此八年级成绩的众数$b=86$。
(2) 样本中七年级A等级占比为35%，八年级A等级占比为40%，因此七年级A等级估计人数为$1000×35\%=350$名，八年级A等级估计人数为$900×40\%=360$名，两个年级A等级总人数为$350+360=710$名。
(3) 选中位数和方差分析：七年级竞赛成绩的中位数小于八年级竞赛成绩的中位数，说明八年级超过一半的学生成绩高于七年级半数学生的成绩；七年级竞赛成绩的方差大于八年级竞赛成绩的方差，说明八年级学生成绩更稳定，因此八年级传统文化知识掌握情况更好。（选择其他统计量分析合理即可）
【答案】
(1)40;86
(2)710
(3)因为七年级竞赛成绩的中位数小于八年级竞赛成绩的中位数,七年级竞赛成绩的方差大于八年级竞赛成绩的方差,所以八年级的传统文化知识掌握情况较好.(答案不唯一,合理即可)
【知识点】
扇形统计图，样本估计总体，统计量的应用
【点评】
本题结合实际活动考查统计相关知识，需要学生结合图文信息提取有效数据完成计算，同时能正确理解各统计量的意义，对数据进行分析判断，侧重考查学生的数据处理能力。
【难度系数】
0.7
