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1. [2025 天津] 估计 $1+\sqrt{6}$ 的值在 （
A.1 和 2 之间
B.2 和 3 之间
C.3 和 4 之间
D.4 和 5 之间
C
）A.1 和 2 之间
B.2 和 3 之间
C.3 和 4 之间
D.4 和 5 之间
答案
1.C
解析
【分析】
要估算含无理数的代数式的取值范围，首先用“夹逼法”确定无理数$\sqrt{6}$的范围：找到与6相邻的两个完全平方数，根据算术平方根的性质得到$\sqrt{6}$的取值范围，再在不等式三边同时加1，即可得到$1+\sqrt{6}$的取值范围，对应选项选出答案即可。
【解析】
解：
∵ $4 ＜ 6 ＜ 9$，
∴ $\sqrt{4} ＜ \sqrt{6} ＜ \sqrt{9}$，即$2 ＜ \sqrt{6} ＜ 3$，
将不等式三边同时加1，可得：
$2+1 ＜ 1+\sqrt{6} ＜ 3+1$，
即$3 ＜ 1+\sqrt{6} ＜ 4$，
因此$1+\sqrt{6}$的值在3和4之间。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
无理数估算，不等式性质，完全平方数
【点评】
本题是基础的估算类题型，核心解题方法是用夹逼法确定无理数的取值范围，再通过不等式运算得到目标式子的范围，熟练掌握常见整数的平方是解题的前提。
【难度系数】
0.8
要估算含无理数的代数式的取值范围，首先用“夹逼法”确定无理数$\sqrt{6}$的范围：找到与6相邻的两个完全平方数，根据算术平方根的性质得到$\sqrt{6}$的取值范围，再在不等式三边同时加1，即可得到$1+\sqrt{6}$的取值范围，对应选项选出答案即可。
【解析】
解：
∵ $4 ＜ 6 ＜ 9$，
∴ $\sqrt{4} ＜ \sqrt{6} ＜ \sqrt{9}$，即$2 ＜ \sqrt{6} ＜ 3$，
将不等式三边同时加1，可得：
$2+1 ＜ 1+\sqrt{6} ＜ 3+1$，
即$3 ＜ 1+\sqrt{6} ＜ 4$，
因此$1+\sqrt{6}$的值在3和4之间。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
无理数估算，不等式性质，完全平方数
【点评】
本题是基础的估算类题型，核心解题方法是用夹逼法确定无理数的取值范围，再通过不等式运算得到目标式子的范围，熟练掌握常见整数的平方是解题的前提。
【难度系数】
0.8
2. 新考法 数形结合法 如图，数轴上的点A，B，C，D分别表示数-1，1，2，3，表示数$4-\sqrt[3]{20}$的点M应落在线段（
A.AO上
B.OB上
C.BC上
D.CD上
C
）A.AO上
B.OB上
C.BC上
D.CD上
答案
2.C
解析
【分析】
要确定表示$4-\sqrt[3]{20}$的点M所在的线段，首先需要估算$\sqrt[3]{20}$的取值范围，再通过不等式的性质推导$4-\sqrt[3]{20}$的取值范围，最后对照数轴上各段对应的数的范围即可判断位置。首先回忆常见的立方数：$2^3=8$，$3^3=27$，可得出$\sqrt[3]{20}$介于2和3之间，再对不等式变形就能得到所求数的范围。
【解析】
第一步：估算$\sqrt[3]{20}$的范围
因为$2^3=8$，$3^3=27$，且$8＜20＜27$，所以$2＜\sqrt[3]{20}＜3$。
第二步：推导$4-\sqrt[3]{20}$的范围
对不等式$2＜\sqrt[3]{20}＜3$两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：$-3＜-\sqrt[3]{20}＜-2$；
不等式三边同时加4，得：$4-3＜4-\sqrt[3]{20}＜4-2$，即$1＜4-\sqrt[3]{20}＜2$。
第三步：对照数轴判断线段
数轴上表示1的点是B，表示2的点是C，因此$4-\sqrt[3]{20}$对应的点M落在线段BC上。
【答案】
C
【知识点】
立方根估算，不等式的性质，数轴与实数的对应
【点评】
本题是典型的数形结合类题目，核心是通过估算无理数的大小确定目标数的取值范围，再结合数轴判断位置，解题的关键是熟练掌握常见整数的立方值，能准确对不等式进行变形。
【难度系数】
0.7
要确定表示$4-\sqrt[3]{20}$的点M所在的线段，首先需要估算$\sqrt[3]{20}$的取值范围，再通过不等式的性质推导$4-\sqrt[3]{20}$的取值范围，最后对照数轴上各段对应的数的范围即可判断位置。首先回忆常见的立方数：$2^3=8$，$3^3=27$，可得出$\sqrt[3]{20}$介于2和3之间，再对不等式变形就能得到所求数的范围。
【解析】
第一步：估算$\sqrt[3]{20}$的范围
因为$2^3=8$，$3^3=27$，且$8＜20＜27$，所以$2＜\sqrt[3]{20}＜3$。
第二步：推导$4-\sqrt[3]{20}$的范围
对不等式$2＜\sqrt[3]{20}＜3$两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：$-3＜-\sqrt[3]{20}＜-2$；
不等式三边同时加4，得：$4-3＜4-\sqrt[3]{20}＜4-2$，即$1＜4-\sqrt[3]{20}＜2$。
第三步：对照数轴判断线段
数轴上表示1的点是B，表示2的点是C，因此$4-\sqrt[3]{20}$对应的点M落在线段BC上。
【答案】
C
【知识点】
立方根估算，不等式的性质，数轴与实数的对应
【点评】
本题是典型的数形结合类题目，核心是通过估算无理数的大小确定目标数的取值范围，再结合数轴判断位置，解题的关键是熟练掌握常见整数的立方值，能准确对不等式进行变形。
【难度系数】
0.7
3. 新题型结论开放题 写出一个比$\sqrt{2}$大且比$\sqrt{10}$小的整数：
2
。答案
3.2(答案不唯一)
解析
【分析】
要找出比$\sqrt{2}$大且比$\sqrt{10}$小的整数，首先需要通过对比被开方数和相邻整数的平方，估算出$\sqrt{2}$和$\sqrt{10}$分别在哪两个相邻整数之间，再取两个范围重叠区域的整数即可。
【解析】
1. 估算$\sqrt{2}$的取值范围：
∵ $1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜2＜4$
∴ $1＜\sqrt{2}＜2$
2. 估算$\sqrt{10}$的取值范围：
∵ $3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜10＜16$
∴ $3＜\sqrt{10}＜4$
3. 确定符合要求的整数：
满足$\sqrt{2}＜x＜\sqrt{10}$的数x的范围是$1.\dots＜x＜3.\dots$，其中的整数为2、3，任选其一即可。
【答案】
2（答案不唯一，3也可）
【知识点】
无理数的估算，实数大小比较
【点评】
本题属于结论开放题，难度较低，核心考查对无理数的估算能力，只要能借助平方数确定无理数的大致范围，就能快速找到符合要求的答案。
【难度系数】
0.9
要找出比$\sqrt{2}$大且比$\sqrt{10}$小的整数，首先需要通过对比被开方数和相邻整数的平方，估算出$\sqrt{2}$和$\sqrt{10}$分别在哪两个相邻整数之间，再取两个范围重叠区域的整数即可。
【解析】
1. 估算$\sqrt{2}$的取值范围：
∵ $1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜2＜4$
∴ $1＜\sqrt{2}＜2$
2. 估算$\sqrt{10}$的取值范围：
∵ $3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜10＜16$
∴ $3＜\sqrt{10}＜4$
3. 确定符合要求的整数：
满足$\sqrt{2}＜x＜\sqrt{10}$的数x的范围是$1.\dots＜x＜3.\dots$，其中的整数为2、3，任选其一即可。
【答案】
2（答案不唯一，3也可）
【知识点】
无理数的估算，实数大小比较
【点评】
本题属于结论开放题，难度较低，核心考查对无理数的估算能力，只要能借助平方数确定无理数的大致范围，就能快速找到符合要求的答案。
【难度系数】
0.9
4. 若记$a=-2$，$b=-\sqrt{7}$，$c=-\sqrt[3]{7}$，则$a,b,c$的大小关系是（
A.$a＜b＜c$
B.$b＜a＜c$
C.$c＜a＜b$
D.$c＜b＜a$
B
）A.$a＜b＜c$
B.$b＜a＜c$
C.$c＜a＜b$
D.$c＜b＜a$
答案
4.B
解析
【分析】
观察可知a、b、c均为负数，根据负数比较大小的规则：负数的绝对值越大，数值本身越小，因此可先将问题转化为比较三者绝对值2、√7、∛7的大小，再反向推导原数的大小关系。接下来分别估算√7和∛7的取值范围：对二次根式，可通过找被开方数相邻的两个完全平方数确定√7的范围；对三次根式，找被开方数相邻的两个完全立方数确定∛7的范围，再分别和2比较大小，最终即可得到三个负数的大小关系。
【解析】
要比较负数的大小，先比较它们绝对值的大小，绝对值大的负数更小。
计算三个数的绝对值：
$|a|=|-2|=2$，$|b|=|-\sqrt{7}|=\sqrt{7}$，$|c|=|-\sqrt[3]{7}|=\sqrt[3]{7}$
① 比较$\sqrt{7}$和2的大小：
∵$4＜7＜9$，
∴$\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$
∴$\sqrt{7}＞2$，可得$-\sqrt{7}＜-2$，即$b＜a$
② 比较$\sqrt[3]{7}$和2的大小：
∵$1＜7＜8$，
∴$\sqrt[3]{1}＜\sqrt[3]{7}＜\sqrt[3]{8}$，即$1＜\sqrt[3]{7}＜2$
∴$\sqrt[3]{7}＜2$，可得$-\sqrt[3]{7}＞-2$，即$c＞a$
综上可得：$b＜a＜c$
故选：B
【答案】
B
【知识点】
实数大小比较；无理数的估算
【点评】
本题是实数大小比较的常考题型，解题时要注意负数比较大小的规则和正数相反，熟练运用乘方的方法估算无理数的取值范围是解题的核心，掌握方法后解题难度较低。
【难度系数】
0.7
观察可知a、b、c均为负数，根据负数比较大小的规则：负数的绝对值越大，数值本身越小，因此可先将问题转化为比较三者绝对值2、√7、∛7的大小，再反向推导原数的大小关系。接下来分别估算√7和∛7的取值范围：对二次根式，可通过找被开方数相邻的两个完全平方数确定√7的范围；对三次根式，找被开方数相邻的两个完全立方数确定∛7的范围，再分别和2比较大小，最终即可得到三个负数的大小关系。
【解析】
要比较负数的大小，先比较它们绝对值的大小，绝对值大的负数更小。
计算三个数的绝对值：
$|a|=|-2|=2$，$|b|=|-\sqrt{7}|=\sqrt{7}$，$|c|=|-\sqrt[3]{7}|=\sqrt[3]{7}$
① 比较$\sqrt{7}$和2的大小：
∵$4＜7＜9$，
∴$\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$
∴$\sqrt{7}＞2$，可得$-\sqrt{7}＜-2$，即$b＜a$
② 比较$\sqrt[3]{7}$和2的大小：
∵$1＜7＜8$，
∴$\sqrt[3]{1}＜\sqrt[3]{7}＜\sqrt[3]{8}$，即$1＜\sqrt[3]{7}＜2$
∴$\sqrt[3]{7}＜2$，可得$-\sqrt[3]{7}＞-2$，即$c＞a$
综上可得：$b＜a＜c$
故选：B
【答案】
B
【知识点】
实数大小比较；无理数的估算
【点评】
本题是实数大小比较的常考题型，解题时要注意负数比较大小的规则和正数相反，熟练运用乘方的方法估算无理数的取值范围是解题的核心，掌握方法后解题难度较低。
【难度系数】
0.7
5. 通过估算，比较下面各组数的大小：
(1)$\frac{\sqrt{10}-2}{2}$和$\frac{1}{2}$；
(2)$\frac{5}{8}$和$\frac{\sqrt{5}+1}{4}$。
(1)$\frac{\sqrt{10}-2}{2}$和$\frac{1}{2}$；
(2)$\frac{5}{8}$和$\frac{\sqrt{5}+1}{4}$。
答案
5.【解】(1)因为 $\sqrt{10}＞3$,所以 $\sqrt{10}-2＞3-2$,即 $\sqrt{10}-2＞1$,所以 $\frac{\sqrt{10}-2}{2}＞\frac{1}{2}$.
(2)因为$\frac{\sqrt{5}+1}{4}=\frac{2\sqrt{5}+2}{8}$,所以要比较$\frac{5}{8}$和$\frac{\sqrt{5}+1}{4}$的大小,只需比较$\frac{5}{8}$和$\frac{2\sqrt{5}+2}{8}$的大小.
因为 $5-(2\sqrt{5}+2)=3-2\sqrt{5}$,$(2\sqrt{5})^2=20＞3^2$,所以 $3-2\sqrt{5}＜0$,所以 $\frac{5}{8}＜\frac{\sqrt{5}+1}{4}$.
(2)因为$\frac{\sqrt{5}+1}{4}=\frac{2\sqrt{5}+2}{8}$,所以要比较$\frac{5}{8}$和$\frac{\sqrt{5}+1}{4}$的大小,只需比较$\frac{5}{8}$和$\frac{2\sqrt{5}+2}{8}$的大小.
因为 $5-(2\sqrt{5}+2)=3-2\sqrt{5}$,$(2\sqrt{5})^2=20＞3^2$,所以 $3-2\sqrt{5}＜0$,所以 $\frac{5}{8}＜\frac{\sqrt{5}+1}{4}$.
解析
【分析】
比较两个实数大小可先观察分母特征，分母相同时直接比较分子即可。
(1) 两个分数分母均为2，只需比较分子$\sqrt{10}-2$和1的大小：先估算$\sqrt{10}$的范围，由$3^2=9＜10$可知$\sqrt{10}＞3$，再推导$\sqrt{10}-2$的范围即可得出结论。
(2) 两个分数分母分别为8和4，先通分将第二个分数转化为分母为8的形式，再比较分子5和$2\sqrt{5}+2$的大小，可通过作差，再对两个正数平方比较大小判断差的正负，最终得到两个分数的大小关系。
【解析】
(1) 因为$3^2=9＜10$，所以$\sqrt{10}＞3$，不等式两边同时减2得：$\sqrt{10}-2＞3-2$，即$\sqrt{10}-2＞1$，不等式两边同时除以2得：$\frac{\sqrt{10}-2}{2}＞\frac{1}{2}$。
(2) 先通分：$\frac{\sqrt{5}+1}{4}=\frac{2(\sqrt{5}+1)}{8}=\frac{2\sqrt{5}+2}{8}$，要比较$\frac{5}{8}$和$\frac{\sqrt{5}+1}{4}$的大小，只需比较分子5和$2\sqrt{5}+2$的大小。
作差得：$5-(2\sqrt{5}+2)=3-2\sqrt{5}$，分别对3和$2\sqrt{5}$平方：$3^2=9$，$(2\sqrt{5})^2=4×5=20$，因为$20＞9$，所以$2\sqrt{5}＞3$，因此$3-2\sqrt{5}＜0$，即$5＜2\sqrt{5}+2$，所以$\frac{5}{8}＜\frac{2\sqrt{5}+2}{8}$，也就是$\frac{5}{8}＜\frac{\sqrt{5}+1}{4}$。
【答案】
(1) $\frac{\sqrt{10}-2}{2}＞\frac{1}{2}$；
(2) $\frac{5}{8}＜\frac{\sqrt{5}+1}{4}$
【知识点】
无理数的估算；实数大小比较；作差法比较大小
【点评】
本题考查结合估算无理数大小比较实数大小的方法，解题关键是先确定无理数的大致取值范围，再结合通分、作差、平方比较等方法推导得出结论，熟记常见整数的平方值可有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8
比较两个实数大小可先观察分母特征，分母相同时直接比较分子即可。
(1) 两个分数分母均为2，只需比较分子$\sqrt{10}-2$和1的大小：先估算$\sqrt{10}$的范围，由$3^2=9＜10$可知$\sqrt{10}＞3$，再推导$\sqrt{10}-2$的范围即可得出结论。
(2) 两个分数分母分别为8和4，先通分将第二个分数转化为分母为8的形式，再比较分子5和$2\sqrt{5}+2$的大小，可通过作差，再对两个正数平方比较大小判断差的正负，最终得到两个分数的大小关系。
【解析】
(1) 因为$3^2=9＜10$，所以$\sqrt{10}＞3$，不等式两边同时减2得：$\sqrt{10}-2＞3-2$，即$\sqrt{10}-2＞1$，不等式两边同时除以2得：$\frac{\sqrt{10}-2}{2}＞\frac{1}{2}$。
(2) 先通分：$\frac{\sqrt{5}+1}{4}=\frac{2(\sqrt{5}+1)}{8}=\frac{2\sqrt{5}+2}{8}$，要比较$\frac{5}{8}$和$\frac{\sqrt{5}+1}{4}$的大小，只需比较分子5和$2\sqrt{5}+2$的大小。
作差得：$5-(2\sqrt{5}+2)=3-2\sqrt{5}$，分别对3和$2\sqrt{5}$平方：$3^2=9$，$(2\sqrt{5})^2=4×5=20$，因为$20＞9$，所以$2\sqrt{5}＞3$，因此$3-2\sqrt{5}＜0$，即$5＜2\sqrt{5}+2$，所以$\frac{5}{8}＜\frac{2\sqrt{5}+2}{8}$，也就是$\frac{5}{8}＜\frac{\sqrt{5}+1}{4}$。
【答案】
(1) $\frac{\sqrt{10}-2}{2}＞\frac{1}{2}$；
(2) $\frac{5}{8}＜\frac{\sqrt{5}+1}{4}$
【知识点】
无理数的估算；实数大小比较；作差法比较大小
【点评】
本题考查结合估算无理数大小比较实数大小的方法，解题关键是先确定无理数的大致取值范围，再结合通分、作差、平方比较等方法推导得出结论，熟记常见整数的平方值可有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8
6. 利用计算器，比较下列各组数的大小：
(1)$\sqrt{7}$
(2)$\frac{\sqrt{13}-1}{5}$
(1)$\sqrt{7}$
＜
$\sqrt[3]{24}$；(2)$\frac{\sqrt{13}-1}{5}$
＜
$\frac{7}{13}$。答案
6.(1)＜ (2)＜
解析
【分析】
本题要求借助计算器比较两组实数的大小，解题思路如下：①对于含无理数的数的大小比较，可先利用计算器算出各无理数的近似值，将无理数转化为近似的小数后，再按照小数大小比较的规则判断即可。②第(1)问分别计算$\sqrt{7}$和$\sqrt[3]{24}$的近似值，直接比较近似值大小；第(2)问先计算$\sqrt{13}$的近似值，求出$\frac{\sqrt{13}-1}{5}$的近似值，再计算$\frac{7}{13}$的近似值，最后比较两个分数的近似值大小。
【解析】
(1) 利用计算器计算得：$\sqrt{7}\approx2.646$，$\sqrt[3]{24}\approx2.884$
因为$2.646＜2.884$，所以$\sqrt{7}＜\sqrt[3]{24}$
(2) 利用计算器计算得：$\sqrt{13}\approx3.606$，则$\frac{\sqrt{13}-1}{5}\approx\frac{3.606-1}{5}=0.521$
另计算得$\frac{7}{13}\approx0.538$
因为$0.521＜0.538$，所以$\frac{\sqrt{13}-1}{5}＜\frac{7}{13}$
【答案】
(1)＜；(2)＜
【知识点】
计算器开方运算、实数大小比较、无理数估算
【点评】
本题是实数比较大小的基础题型，核心是通过计算器将无理数转化为近似小数后进行比较，计算时注意保留至少三位小数，避免因近似精度不足出现判断失误。
【难度系数】
0.85
本题要求借助计算器比较两组实数的大小，解题思路如下：①对于含无理数的数的大小比较，可先利用计算器算出各无理数的近似值，将无理数转化为近似的小数后，再按照小数大小比较的规则判断即可。②第(1)问分别计算$\sqrt{7}$和$\sqrt[3]{24}$的近似值，直接比较近似值大小；第(2)问先计算$\sqrt{13}$的近似值，求出$\frac{\sqrt{13}-1}{5}$的近似值，再计算$\frac{7}{13}$的近似值，最后比较两个分数的近似值大小。
【解析】
(1) 利用计算器计算得：$\sqrt{7}\approx2.646$，$\sqrt[3]{24}\approx2.884$
因为$2.646＜2.884$，所以$\sqrt{7}＜\sqrt[3]{24}$
(2) 利用计算器计算得：$\sqrt{13}\approx3.606$，则$\frac{\sqrt{13}-1}{5}\approx\frac{3.606-1}{5}=0.521$
另计算得$\frac{7}{13}\approx0.538$
因为$0.521＜0.538$，所以$\frac{\sqrt{13}-1}{5}＜\frac{7}{13}$
【答案】
(1)＜；(2)＜
【知识点】
计算器开方运算、实数大小比较、无理数估算
【点评】
本题是实数比较大小的基础题型，核心是通过计算器将无理数转化为近似小数后进行比较，计算时注意保留至少三位小数，避免因近似精度不足出现判断失误。
【难度系数】
0.85
7. 用计算器计算.(结果精确到0.01)
(1)$\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{355}{113} + 2π - \sqrt{2}$；
(2)$(\sqrt{27} - \sqrt[3]{-9}) × \sqrt{12}$。
(1)$\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{355}{113} + 2π - \sqrt{2}$；
(2)$(\sqrt{27} - \sqrt[3]{-9}) × \sqrt{12}$。
答案
7.【解】(1)$\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{355}{113} + 2π - \sqrt{2}≈0.866-3.142+6.283-1.414≈2.59$.
(2)$(\sqrt{27}-\sqrt[3]{-9})×\sqrt{12}≈25.205 621 73≈25.21$.
(2)$(\sqrt{27}-\sqrt[3]{-9})×\sqrt{12}≈25.205 621 73≈25.21$.
解析
【分析】
这两道题为实数的混合运算计算题，要求用计算器计算且结果精确到0.01，解题思路如下：1. 遵循实数运算顺序：有括号先算括号内的运算，再计算开方、乘除，最后计算加减；2. 为了保证最终结果的精确度，中间计算过程可多保留1~2位小数，避免四舍五入产生的误差；3. 最终结果按照四舍五入法保留两位小数即可。
【解析】
(1) 先分别计算各部分的近似值：$\frac{\sqrt{3}}{2}≈0.866$，$\frac{355}{113}≈3.142$，$2π≈6.283$，$\sqrt{2}≈1.414$，代入原式得：
$\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{355}{113} + 2π - \sqrt{2}≈0.866-3.142+6.283-1.414≈2.59$
(2) 先计算括号内的运算：$\sqrt{27}≈5.196$，$\sqrt[3]{-9}≈-2.080$，则括号内结果为$5.196 - (-2.080)=7.276$，再计算$\sqrt{12}≈3.464$，代入原式得：
$(\sqrt{27}-\sqrt[3]{-9})×\sqrt{12}≈7.276×3.464≈25.21$
【答案】
(1) $\boxed{2.59}$；(2) $\boxed{25.21}$
【知识点】
实数的混合运算；近似数的精确度；开方运算
【点评】
本题考查实数运算的基础能力，计算时需注意运算顺序，中间过程多保留1~2位小数可有效降低近似误差，取最终结果时要严格遵循四舍五入的规则。
【难度系数】
0.8
这两道题为实数的混合运算计算题，要求用计算器计算且结果精确到0.01，解题思路如下：1. 遵循实数运算顺序：有括号先算括号内的运算，再计算开方、乘除，最后计算加减；2. 为了保证最终结果的精确度，中间计算过程可多保留1~2位小数，避免四舍五入产生的误差；3. 最终结果按照四舍五入法保留两位小数即可。
【解析】
(1) 先分别计算各部分的近似值：$\frac{\sqrt{3}}{2}≈0.866$，$\frac{355}{113}≈3.142$，$2π≈6.283$，$\sqrt{2}≈1.414$，代入原式得：
$\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{355}{113} + 2π - \sqrt{2}≈0.866-3.142+6.283-1.414≈2.59$
(2) 先计算括号内的运算：$\sqrt{27}≈5.196$，$\sqrt[3]{-9}≈-2.080$，则括号内结果为$5.196 - (-2.080)=7.276$，再计算$\sqrt{12}≈3.464$，代入原式得：
$(\sqrt{27}-\sqrt[3]{-9})×\sqrt{12}≈7.276×3.464≈25.21$
【答案】
(1) $\boxed{2.59}$；(2) $\boxed{25.21}$
【知识点】
实数的混合运算；近似数的精确度；开方运算
【点评】
本题考查实数运算的基础能力，计算时需注意运算顺序，中间过程多保留1~2位小数可有效降低近似误差，取最终结果时要严格遵循四舍五入的规则。
【难度系数】
0.8
8. 已知$a,b,n$均为正整数.
(1)若$n＜\sqrt{10}＜n+1$,则$n=$
(2)若$n-1＜\sqrt{a}＜n,n＜\sqrt{b}＜n+1$,则满足条件的$a$的个数总比$b$的个数少
(1)若$n＜\sqrt{10}＜n+1$,则$n=$
3
;(2)若$n-1＜\sqrt{a}＜n,n＜\sqrt{b}＜n+1$,则满足条件的$a$的个数总比$b$的个数少
2
个.答案
8.(1)3 (2)2 【点拨】(1)因为$\sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$,所以$3＜\sqrt{10}＜4$.因为$n＜\sqrt{10}＜n+1$,$n$为正整数,所以$n=3$.
(2)因为 $n-1＜\sqrt{a}＜n$,所以 $(n-1)^2＜a＜n^2$,所以 $n^2-(n-1)^2=n^2-n^2+2n-1=2n-1$.因为 $n＜\sqrt{b}＜n+1$,所以 $n^2＜b＜(n+1)^2$,所以 $(n+1)^2-n^2=n^2+2n+1-n^2=2n+1$.因为 $(2n+1)-(2n-1)=2$,所以满足条件的 $a$ 的个数总比 $b$ 的个数少 2 个.
(2)因为 $n-1＜\sqrt{a}＜n$,所以 $(n-1)^2＜a＜n^2$,所以 $n^2-(n-1)^2=n^2-n^2+2n-1=2n-1$.因为 $n＜\sqrt{b}＜n+1$,所以 $n^2＜b＜(n+1)^2$,所以 $(n+1)^2-n^2=n^2+2n+1-n^2=2n+1$.因为 $(2n+1)-(2n-1)=2$,所以满足条件的 $a$ 的个数总比 $b$ 的个数少 2 个.
解析
【分析】
(1) 要确定n的值，需先估算$\sqrt{10}$的取值范围，找到与10相邻的两个正整数的完全平方数，即可得到$\sqrt{10}$介于哪两个相邻整数之间，进而求出n；
(2) 先根据不等式的性质，对两个含根号的不等式两边同时平方，分别得到a、b的取值范围，再计算两个范围内正整数的个数，最后作差即可得到结果。
【解析】
(1) 因为$9＜10＜16$，所以$\sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{10}＜4$。已知$n＜\sqrt{10}＜n+1$，且n为正整数，因此$n=3$。
(2) 已知$n-1＜\sqrt{a}＜n$，a为正整数，不等式两边同时平方得$(n-1)^2 ＜ a ＜n^2$，满足条件的正整数a的个数为$n^2 - (n-1)^2 -1 = 2n-2$；
已知$n＜\sqrt{b}＜n+1$，b为正整数，不等式两边同时平方得$n^2 ＜ b ＜(n+1)^2$，满足条件的正整数b的个数为$(n+1)^2 -n^2 -1 = 2n$；
因此满足条件的a的个数总比b的个数少$2n - (2n-2)=2$个。
【答案】
(1) 3；(2) 2
【知识点】
无理数的估算；完全平方公式；不等式的性质
【点评】
本题核心考查无理数大小估算的方法，通过平方将无理数的范围转化为整数的取值范围是解题的关键，第二问需要注意开区间内整数个数的计算逻辑，整体侧重基础能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 要确定n的值，需先估算$\sqrt{10}$的取值范围，找到与10相邻的两个正整数的完全平方数，即可得到$\sqrt{10}$介于哪两个相邻整数之间，进而求出n；
(2) 先根据不等式的性质，对两个含根号的不等式两边同时平方，分别得到a、b的取值范围，再计算两个范围内正整数的个数，最后作差即可得到结果。
【解析】
(1) 因为$9＜10＜16$，所以$\sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{10}＜4$。已知$n＜\sqrt{10}＜n+1$，且n为正整数，因此$n=3$。
(2) 已知$n-1＜\sqrt{a}＜n$，a为正整数，不等式两边同时平方得$(n-1)^2 ＜ a ＜n^2$，满足条件的正整数a的个数为$n^2 - (n-1)^2 -1 = 2n-2$；
已知$n＜\sqrt{b}＜n+1$，b为正整数，不等式两边同时平方得$n^2 ＜ b ＜(n+1)^2$，满足条件的正整数b的个数为$(n+1)^2 -n^2 -1 = 2n$；
因此满足条件的a的个数总比b的个数少$2n - (2n-2)=2$个。
【答案】
(1) 3；(2) 2
【知识点】
无理数的估算；完全平方公式；不等式的性质
【点评】
本题核心考查无理数大小估算的方法，通过平方将无理数的范围转化为整数的取值范围是解题的关键，第二问需要注意开区间内整数个数的计算逻辑，整体侧重基础能力的考查。
【难度系数】
0.7
9. 阅读理解:求$\sqrt{107}$的近似值.
解:设$\sqrt{107}=10+x$,其中$0＜x＜1$,则$107=(10+x)^2$,即$107=100+20x+x^2$.
因为$0＜x＜1$,所以$0＜x^2＜1$,所以$107≈100+20x$,解得$x≈0.35$,即$\sqrt{107}$的近似值为10.35.
理解应用:利用上面的方法求$\sqrt{97}$的近似值(结果精确到0.01).
解:设$\sqrt{107}=10+x$,其中$0＜x＜1$,则$107=(10+x)^2$,即$107=100+20x+x^2$.
因为$0＜x＜1$,所以$0＜x^2＜1$,所以$107≈100+20x$,解得$x≈0.35$,即$\sqrt{107}$的近似值为10.35.
理解应用:利用上面的方法求$\sqrt{97}$的近似值(结果精确到0.01).
答案
9.【解】设 $\sqrt{97}=10-x$,其中 $0＜x＜1$,则 $97=(10-x)^2$,即 $97=100-20x+x^2$.因为 $0＜x＜1$,所以 $0＜x^2＜1$,所以 $97≈100-20x$,解得 $x≈0.15$,即 $\sqrt{97}$ 的近似值为9.85.
解析
【分析】
首先找到与被开方数97最接近的完全平方数100（即$10^2$），由于97＜100，因此设$\sqrt{97}=10-x$，其中$0＜x＜1$；再利用完全平方公式将等式两边平方，因为x是小于1的正数，$x^2$的数值极小可以忽略，即可得到关于x的一元一次近似方程，求解x后代入就能得到$\sqrt{97}$的近似值。
【解析】
设 $\sqrt{97}=10-x$，其中 $0＜x＜1$，
则 $97=(10-x)^2$，
即 $97=100-20x+x^2$。
因为 $0＜x＜1$，所以 $0＜x^2＜1$，可忽略$x^2$项，
因此 $97≈100-20x$，
移项计算得$20x≈100-97=3$，
解得 $x≈0.15$，
即 $\sqrt{97}$ 的近似值为$10-0.15=9.85$。
【答案】
9.85
【知识点】
完全平方公式，无理数估算，近似计算
【点评】
本题属于阅读迁移类题目，需要先理解给定的估算方法，再将方法迁移应用到新的无理数估算中，解题关键是找到与被开方数最接近的完全平方数，忽略数值极小的高阶小项建立近似方程求解，能有效考查知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
首先找到与被开方数97最接近的完全平方数100（即$10^2$），由于97＜100，因此设$\sqrt{97}=10-x$，其中$0＜x＜1$；再利用完全平方公式将等式两边平方，因为x是小于1的正数，$x^2$的数值极小可以忽略，即可得到关于x的一元一次近似方程，求解x后代入就能得到$\sqrt{97}$的近似值。
【解析】
设 $\sqrt{97}=10-x$，其中 $0＜x＜1$，
则 $97=(10-x)^2$，
即 $97=100-20x+x^2$。
因为 $0＜x＜1$，所以 $0＜x^2＜1$，可忽略$x^2$项，
因此 $97≈100-20x$，
移项计算得$20x≈100-97=3$，
解得 $x≈0.15$，
即 $\sqrt{97}$ 的近似值为$10-0.15=9.85$。
【答案】
9.85
【知识点】
完全平方公式，无理数估算，近似计算
【点评】
本题属于阅读迁移类题目，需要先理解给定的估算方法，再将方法迁移应用到新的无理数估算中，解题关键是找到与被开方数最接近的完全平方数，忽略数值极小的高阶小项建立近似方程求解，能有效考查知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
10. :: 如图，长方形ABCD的长和宽的长度比为4：3，面积为612 cm²。请问在此长方形内沿着AB边并排最多能裁出多少个面积为$16π \ \mathrm{cm}^2$的圆？
答案
10.【解】因为长方形ABCD的长和宽的长度比为 4：3,所以设长方形的长为 $4x$ cm,宽为 $3x$ cm. 由题意知,$4x·3x=612$,所以 $12x^2=612$,所以 $x^2=51$. 因为 $x＞0$,所以 $x=\sqrt{51}$,所以长方形的长为 $4\sqrt{51}$ cm,长方形的宽为 $3\sqrt{51}$ cm. 设圆的半径为 $r$ cm. 因为 $πr^2=16π$,所以 $r^2=16$. 因为 $r＞0$,所以 $r=4$,所以圆的直径为8 cm,$4\sqrt{51}÷8=\frac{\sqrt{51}}{2}$,因为 $7＜\sqrt{51}＜8$,所以 $3.5＜\frac{\sqrt{51}}{2}＜4$,所以在此长方形内沿着 AB 边并排最多能裁出 3 个面积为 $16π \ \mathrm{cm}^2$ 的圆.
解析
【分析】
要解决本题可按三步思考：第一步，根据长方形的长宽比和面积，设未知数求出长方形的长和宽；第二步，根据圆的面积公式求出圆的半径，进而得到圆的直径，先验证长方形的宽是否足够容纳圆的直径，保证可以放置整排的圆；第三步，用长方形的长除以圆的直径，通过估算无理数的大小，对结果向下取整，即可得到最多能裁出的圆的数量。
【解析】
解：设长方形ABCD的长为$4x$ cm，宽为$3x$ cm（$x＞0$）。
根据长方形面积公式可得：
$4x·3x=612$
整理得$12x^2=612$，即$x^2=51$，因为$x＞0$，所以$x=\sqrt{51}$。
因此长方形的长为$4\sqrt{51}$ cm，宽为$3\sqrt{51}$ cm。
设圆的半径为$r$ cm（$r＞0$），根据圆的面积公式可得：
$π r^2=16π$
两边同时除以$π$得$r^2=16$，因为$r＞0$，所以$r=4$，则圆的直径为$2r=8$ cm。
验证宽度：$3\sqrt{51}\approx21.42＞8$，满足放置一排圆的高度要求。
计算长可容纳的圆的数量：$4\sqrt{51}÷8=\frac{\sqrt{51}}{2}$。
因为$7＜\sqrt{51}＜8$，所以$3.5＜\frac{\sqrt{51}}{2}＜4$，裁剪圆时不可拼接，需向下取整，因此最多能裁出3个圆。
【答案】3个
【知识点】
长方形面积计算、圆的面积计算、无理数估算
【点评】
本题综合考查了几何面积公式的应用与无理数的估算技能，解题时需注意裁剪圆形不可拼接，因此计算得到的商要向下取整，不能直接四舍五入得到结果。
【难度系数】
0.7
要解决本题可按三步思考：第一步，根据长方形的长宽比和面积，设未知数求出长方形的长和宽；第二步，根据圆的面积公式求出圆的半径，进而得到圆的直径，先验证长方形的宽是否足够容纳圆的直径，保证可以放置整排的圆；第三步，用长方形的长除以圆的直径，通过估算无理数的大小，对结果向下取整，即可得到最多能裁出的圆的数量。
【解析】
解：设长方形ABCD的长为$4x$ cm，宽为$3x$ cm（$x＞0$）。
根据长方形面积公式可得：
$4x·3x=612$
整理得$12x^2=612$，即$x^2=51$，因为$x＞0$，所以$x=\sqrt{51}$。
因此长方形的长为$4\sqrt{51}$ cm，宽为$3\sqrt{51}$ cm。
设圆的半径为$r$ cm（$r＞0$），根据圆的面积公式可得：
$π r^2=16π$
两边同时除以$π$得$r^2=16$，因为$r＞0$，所以$r=4$，则圆的直径为$2r=8$ cm。
验证宽度：$3\sqrt{51}\approx21.42＞8$，满足放置一排圆的高度要求。
计算长可容纳的圆的数量：$4\sqrt{51}÷8=\frac{\sqrt{51}}{2}$。
因为$7＜\sqrt{51}＜8$，所以$3.5＜\frac{\sqrt{51}}{2}＜4$，裁剪圆时不可拼接，需向下取整，因此最多能裁出3个圆。
【答案】3个
【知识点】
长方形面积计算、圆的面积计算、无理数估算
【点评】
本题综合考查了几何面积公式的应用与无理数的估算技能，解题时需注意裁剪圆形不可拼接，因此计算得到的商要向下取整，不能直接四舍五入得到结果。
【难度系数】
0.7
