4.方程 $x^2 + 2x = 3$ 的根是 （）

A.$x_1 = 1, x_2 = -3$
B.$x_1 = -1, x_2 = 3$
C.$x_1 = -1 + \sqrt{3}, x_2 = -1 - \sqrt{3}$
D.$x_1 = 1 + \sqrt{3}, x_2 = 1 - \sqrt{3}$

4.A

【分析】
本题要求解一元二次方程的根，属于配方法解一元二次方程的常规题型。解题思路如下：首先回忆配方法的操作步骤：当二次项系数为1时，给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将方程左边凑成完全平方式，再通过直接开平方法求解即可。也可以先将方程整理为一般式，通过因式分解法快速验证结果。
【解析】
解：使用配方法求解，步骤如下：
1. 原方程为 $x^2 + 2x = 3$，二次项系数已经为1，一次项系数为2，其一半的平方为$1^2=1$；
2. 给方程左右两边同时加1，得：$x^2 + 2x + 1 = 3 + 1$；
3. 将左边整理为完全平方式，得：$(x+1)^2 = 4$；
4. 对等式两边直接开平方，得：$x+1 = \pm 2$；
5. 分别解两个一元一次方程：
当$x+1=2$时，解得$x_1=1$；
当$x+1=-2$时，解得$x_2=-3$。
因此方程的根为$x_1=1,x_2=-3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 完全平方公式
3. 直接开平方法
【点评】
本题是解一元二次方程的基础题，重点考查配方法的操作步骤，熟练掌握“凑完全平方式”的技巧是解题的核心，也可通过代入选项验证、因式分解等方法快速得到答案。
【难度系数】
0.8

5.用配方法解方程 $x^2 - 4x - 5 = 0$，则 $x^2 - 4x + \_\_\_\_\_\_ = 5 + \_\_\_\_\_\_$，所以 $x_1 = \_\_\_\_\_\_$，$x_2 = \_\_\_\_\_\_$。

5.$4\quad 4\quad 5\quad -1$

【分析】
用配方法解一元二次方程时，首先要将常数项移到等号右侧，再给等式左右两边同时加一次项系数一半的平方，把等号左侧凑成完全平方式，最后通过开平方求解方程的根。本题先找到一次项系数-4，计算它一半的平方就是需要添加的数，再按步骤求解即可得到方程的根。
【解析】
解：第一步对原方程移项，将常数项移到等号右侧，得：
$x^2 - 4x = 5$
根据配方法规则，需给等式两边同时加一次项系数一半的平方：一次项系数为-4，它的一半是-2，平方为$(-2)^2=4$，因此两边同时加4，得：
$x^2 - 4x + 4 = 5 + 4$
将等号左侧改写为完全平方形式：$(x-2)^2=9$
两边开平方得：$x-2 = \pm 3$
当$x-2=3$时，解得$x=5$；当$x-2=-3$时，解得$x=-1$
【答案】
$4$；$4$；$5$；$-1$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础题型，核心考查配方的关键操作：添加“一次项系数一半的平方”，注意等式两边需同时加同一个数保证等式成立，熟练掌握配方法步骤即可快速解答。
【难度系数】
0.8

6.解方程:
(1)$x^2 - 6x = -5$;
(2)$2x^2 - 3x - 3 = 0$;
(3)$y(y - 4) = -1 - 2y$;
(4)$x^2 + px + q = 0(p^2 ＞ 4q)$.

6.(1)$x_1=5,x_2=1$
(2)$x_1=\dfrac{3+\sqrt{33}}{4},x_2=\dfrac{3-\sqrt{33}}{4}$
(3)$y_1 = y_2 = 1$
(4)$x_1 =\dfrac{-p+\sqrt{p^2-4q}}{2},x_2=\dfrac{-p-\sqrt{p^2-4q}}{2}$

【分析】
这四道题均为一元二次方程求解，要求用配方法解答，通用解题思路为：①先将方程整理为左侧仅含二次项、一次项，右侧为常数项的形式；②若二次项系数不为1，先给方程两边同除以二次项系数，将二次项系数化为1；③给方程左右两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方形式；④右侧为非负数时，直接开平方转化为一元一次方程，求解即可得到原方程的根。
【解析】
(1) 原方程为$x^2 - 6x = -5$，二次项系数已为1，一次项系数为-6，其一半的平方为$(-3)^2=9$：
方程两边同时加9得：$x^2 -6x +9 = -5 +9$，即$(x-3)^2=4$，
开平方得$x-3=±2$，
解得$x_1=5$，$x_2=1$。
(2) 原方程$2x^2 - 3x - 3 = 0$，先移项得$2x^2 -3x = 3$：
两边同除以2，将二次项系数化为1得：$x^2 - \frac{3}{2}x = \frac{3}{2}$，
一次项系数为$-\frac{3}{2}$，其一半的平方为$(-\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}$，
方程两边同时加$\frac{9}{16}$得：$x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16} = \frac{3}{2} + \frac{9}{16}$，
左侧配方得$(x-\frac{3}{4})^2=\frac{33}{16}$，
开平方得$x-\frac{3}{4}=±\frac{\sqrt{33}}{4}$，
解得$x_1=\frac{3+\sqrt{33}}{4}$，$x_2=\frac{3-\sqrt{33}}{4}$。
(3) 原方程$y(y - 4) = -1 - 2y$，先去括号移项整理得：
$y^2 - 2y = -1$，二次项系数已为1，一次项系数为-2，其一半的平方为$(-1)^2=1$，
方程两边同时加1得：$y^2 -2y +1 = -1 +1$，即$(y-1)^2=0$，
开平方得$y-1=0$，解得$y_1=y_2=1$。
(4) 原方程$x^2 + px + q = 0(p^2＞4q)$，移项得$x^2 + px = -q$，
二次项系数已为1，一次项系数为p，其一半的平方为$(\frac{p}{2})^2=\frac{p^2}{4}$，
方程两边同时加$\frac{p^2}{4}$得：$x^2 + px + \frac{p^2}{4} = -q + \frac{p^2}{4}$，
左侧配方得$(x+\frac{p}{2})^2=\frac{p^2-4q}{4}$，
由$p^2＞4q$可知右侧为正，开平方得$x+\frac{p}{2}=±\frac{\sqrt{p^2-4q}}{2}$，
解得$x_1=\frac{-p+\sqrt{p^2-4q}}{2}$，$x_2=\frac{-p-\sqrt{p^2-4q}}{2}$。
【答案】
(1)$x_1=5,x_2=1$
(2)$x_1=\dfrac{3+\sqrt{33}}{4},x_2=\dfrac{3-\sqrt{33}}{4}$
(3)$y_1 = y_2 = 1$
(4)$x_1 =\dfrac{-p+\sqrt{p^2-4q}}{2},x_2=\dfrac{-p-\sqrt{p^2-4q}}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、直接开平方解方程
【点评】
本题核心考查配方法解一元二次方程的标准步骤，解题时需注意先整理方程形式，二次项系数不为1时先化为1，配方时要给方程左右两边同时加一次项系数一半的平方，避免漏加右侧常数项导致计算错误。
【难度系数】
0.7

7.把方程 $ x^2 - 3x + p = 0 $ 配方后,得到$(x + m)^2 = \frac{1}{2}$.
(1)求常数 $ p $ 与 $ m $ 的值;
(2)求此方程的根.

7.(1)$\because x^2 - 3x + p = 0, \therefore x^2 - 3x = -p, x^2 - 3x + (\dfrac{3}{2})^2 = -p + (\dfrac{3}{2})^2, (x - \dfrac{3}{2})^2 = -p + \dfrac{9}{4},$
$\therefore m = -\dfrac{3}{2}, -p + \dfrac{9}{4} = \dfrac{1}{2}, 解得 p = \dfrac{7}{4}, m = -\dfrac{3}{2}$
(2)$\because x^2 - 3x + p = 0, \therefore (x - \dfrac{3}{2})^2 = \dfrac{1}{2}, x - \dfrac{3}{2} = \pm \dfrac{\sqrt{2}}{2}, 即方程的根是 x_1 = \dfrac{3+\sqrt{2}}{2}, x_2 = \dfrac{3-\sqrt{2}}{2}$

【分析】
(1) 求p和m的值时，先按照配方法的步骤对原方程进行配方变形，再将得到的配方结果和题目给出的$(x+m)^2=\frac{1}{2}$对比，令对应项相等即可列出关于p、m的等式，求解就能得到两个参数的值。
(2) 求方程的根时，利用已经得到的配方后的方程，直接用直接开平方法求解，移项后即可得到两个根。
【解析】
(1) 对原方程$x^2 - 3x + p = 0$移项，得：
$x^2 - 3x = -p$
方程两边同时加一次项系数一半的平方$(\frac{3}{2})^2$，得：
$x^2 - 3x + (\frac{3}{2})^2 = -p + (\frac{3}{2})^2$
整理得：$(x - \frac{3}{2})^2 = -p + \frac{9}{4}$
已知配方后方程为$(x + m)^2 = \frac{1}{2}$，对比两个配方形式可得：
$m = -\frac{3}{2}$，$-p + \frac{9}{4} = \frac{1}{2}$
解$-p + \frac{9}{4} = \frac{1}{2}$，得$p = \frac{9}{4} - \frac{1}{2} = \frac{7}{4}$
(2) 将$p=\frac{7}{4}$代入原方程，配方后得$(x - \frac{3}{2})^2 = \frac{1}{2}$
两边直接开平方，得：$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$
移项计算得两个根：
$x_1 = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3+\sqrt{2}}{2}$，$x_2 = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3-\sqrt{2}}{2}$
【答案】
(1) $p=\frac{7}{4}$，$m=-\frac{3}{2}$；
(2) 方程的根为$x_1=\frac{3+\sqrt{2}}{2}$，$x_2=\frac{3-\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题是配方法应用的基础题型，重点考查配方法的操作步骤，第一问通过配方后形式的对应关系求解参数，第二问利用直接开平方求根，熟练掌握配方法“移项、加一次项系数一半的平方、写成完全平方式”的流程即可顺利解题。
【难度系数】
0.8