登录
①[2024·四川遂宁中考]下列各数中，无理数是 （
A.$-2$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\sqrt{2}$
D.$0$
C
）A.$-2$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\sqrt{2}$
D.$0$
答案
1.C
解析
【分析】
解题时首先要明确有理数和无理数的概念：有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，无理数是无限不循环小数。解题思路为：先回忆两类数的定义，再逐个分析每个选项所属的数的类型，排除有理数选项，最终选出无理数即可。
【解析】
我们先明确概念：有理数包括整数和分数，所有可以表示为两个整数之比的数都是有理数；无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含π的数等。
对各选项逐一分析：
A. $-2$是负整数，属于有理数，不符合题意；
B. $\dfrac{1}{2}$是分数，属于有理数，不符合题意；
C. $\sqrt{2}$是开方开不尽的数，属于无限不循环小数，是无理数，符合题意；
D. $0$是整数，属于有理数，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 无理数的定义
2. 有理数的分类
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分有理数和无理数的概念，只要熟记常见无理数的几类特征，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确有理数和无理数的概念：有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，无理数是无限不循环小数。解题思路为：先回忆两类数的定义，再逐个分析每个选项所属的数的类型，排除有理数选项，最终选出无理数即可。
【解析】
我们先明确概念：有理数包括整数和分数，所有可以表示为两个整数之比的数都是有理数；无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含π的数等。
对各选项逐一分析：
A. $-2$是负整数，属于有理数，不符合题意；
B. $\dfrac{1}{2}$是分数，属于有理数，不符合题意；
C. $\sqrt{2}$是开方开不尽的数，属于无限不循环小数，是无理数，符合题意；
D. $0$是整数，属于有理数，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 无理数的定义
2. 有理数的分类
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分有理数和无理数的概念，只要熟记常见无理数的几类特征，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
②若$xy$满足$(x+2)^2 + \sqrt{y-18}=0$，$\sqrt{x+y}$的平方根是（
A.$\pm4$
B.$\pm2$
C.$4$
D.$2$
B
）A.$\pm4$
B.$\pm2$
C.$4$
D.$2$
答案
2.B
解析
【分析】
解题时首先回忆非负数的性质：偶次幂、算术平方根都是非负数，若两个非负数的和为0，则这两个非负数都等于0。我们可以据此先列等式求出x、y的值，再计算x+y的算术平方根，最后求该结果的平方根即可，注意平方根有正负两个，不要漏解。
【解析】
解：
∵ $(x+2)^2 ≥ 0$，$\sqrt{y-18} ≥ 0$，且$(x+2)^2 + \sqrt{y-18}=0$
∴ 可列等式：
$x+2=0$，$y-18=0$
解得：$x=-2$，$y=18$
代入计算得：$x+y=-2+18=16$
∴ $\sqrt{x+y}=\sqrt{16}=4$
∵ $(\pm2)^2=4$，因此4的平方根是$\pm2$，即$\sqrt{x+y}$的平方根是$\pm2$。
【答案】
B
【知识点】
非负数的性质；平方根的定义；算术平方根的定义
【点评】
本题属于基础计算题，解题核心是先利用非负数的性质求出未知数的值，计算时要注意区分平方根和算术平方根的概念，审题要仔细，明确最后所求的是哪个数的平方根，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆非负数的性质：偶次幂、算术平方根都是非负数，若两个非负数的和为0，则这两个非负数都等于0。我们可以据此先列等式求出x、y的值，再计算x+y的算术平方根，最后求该结果的平方根即可，注意平方根有正负两个，不要漏解。
【解析】
解：
∵ $(x+2)^2 ≥ 0$，$\sqrt{y-18} ≥ 0$，且$(x+2)^2 + \sqrt{y-18}=0$
∴ 可列等式：
$x+2=0$，$y-18=0$
解得：$x=-2$，$y=18$
代入计算得：$x+y=-2+18=16$
∴ $\sqrt{x+y}=\sqrt{16}=4$
∵ $(\pm2)^2=4$，因此4的平方根是$\pm2$，即$\sqrt{x+y}$的平方根是$\pm2$。
【答案】
B
【知识点】
非负数的性质；平方根的定义；算术平方根的定义
【点评】
本题属于基础计算题，解题核心是先利用非负数的性质求出未知数的值，计算时要注意区分平方根和算术平方根的概念，审题要仔细，明确最后所求的是哪个数的平方根，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7
③估计$\sqrt{7}+1$的值在 （
A.2和3之间
B.3和4之间
C.4和5之间
D.5和6之间
B
）A.2和3之间
B.3和4之间
C.4和5之间
D.5和6之间
答案
3.B
解析
【分析】
要估计$\sqrt{7}+1$的取值范围，首先需要确定无理数$\sqrt{7}$的范围。对于带根号的无理数估值，我们可以先找到和被开方数相邻的两个完全平方数，再通过开平方得到无理数的范围，最后给不等式两边同时加上常数1，就能得到所求式子的范围，对应选项选出答案即可。
【解析】
首先找到与7相邻的两个正整数的平方：
$\because 2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜7＜9$
$\therefore$ 对不等式同时开平方可得：$\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$
再给不等式的三边同时加1，得：$2+1＜\sqrt{7}+1＜3+1$
化简得：$3＜\sqrt{7}+1＜4$
因此$\sqrt{7}+1$的值在3和4之间。
【答案】
B
【知识点】
1. 无理数估算
2. 不等式的基本性质
【点评】
本题是无理数估值的典型基础题，解题关键是找准被开方数相邻的两个完全平方数，熟练掌握该方法可快速解决同类无理数取值范围判断的题目。
【难度系数】
0.8
要估计$\sqrt{7}+1$的取值范围，首先需要确定无理数$\sqrt{7}$的范围。对于带根号的无理数估值，我们可以先找到和被开方数相邻的两个完全平方数，再通过开平方得到无理数的范围，最后给不等式两边同时加上常数1，就能得到所求式子的范围，对应选项选出答案即可。
【解析】
首先找到与7相邻的两个正整数的平方：
$\because 2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜7＜9$
$\therefore$ 对不等式同时开平方可得：$\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$
再给不等式的三边同时加1，得：$2+1＜\sqrt{7}+1＜3+1$
化简得：$3＜\sqrt{7}+1＜4$
因此$\sqrt{7}+1$的值在3和4之间。
【答案】
B
【知识点】
1. 无理数估算
2. 不等式的基本性质
【点评】
本题是无理数估值的典型基础题，解题关键是找准被开方数相邻的两个完全平方数，熟练掌握该方法可快速解决同类无理数取值范围判断的题目。
【难度系数】
0.8
④若$a^2 = (-5)^2$，$b^3 = (-5)^3$，则$a + b$的值为 （
A.0
B.±10
C.0或10
D.0或-10
D
）A.0
B.±10
C.0或10
D.0或-10
答案
4.D
解析
【分析】
解题时首先回忆平方和立方的运算性质：互为相反数的两个数平方相等，一个数的立方根具有唯一性。第一步先根据$a^2=(-5)^2$求出$a$的所有可能取值，第二步根据$b^3=(-5)^3$求出$b$的取值，最后分两种情况代入计算$a+b$的值即可。
【解析】
首先计算已知等式的结果：
∵ $a^2 = (-5)^2 = 25$，正数的平方根有2个且互为相反数
∴ $a = 5$ 或 $a = -5$
又
∵ $b^3 = (-5)^3 = -125$，任意数的立方根只有1个
∴ $b = -5$
分情况计算$a+b$：
① 当$a=5$时，$a+b = 5 + (-5) = 0$
② 当$a=-5$时，$a+b = -5 + (-5) = -10$
因此$a+b$的值为0或-10，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 平方根的性质
2. 立方根的性质
3. 有理数加法运算
【点评】
本题容易出现的错误是忽略正数的平方根有两个，仅求出$a=5$的情况导致漏解，解题时要注意区分平方和立方运算的不同性质，不要漏算所有可能的取值。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆平方和立方的运算性质：互为相反数的两个数平方相等，一个数的立方根具有唯一性。第一步先根据$a^2=(-5)^2$求出$a$的所有可能取值，第二步根据$b^3=(-5)^3$求出$b$的取值，最后分两种情况代入计算$a+b$的值即可。
【解析】
首先计算已知等式的结果：
∵ $a^2 = (-5)^2 = 25$，正数的平方根有2个且互为相反数
∴ $a = 5$ 或 $a = -5$
又
∵ $b^3 = (-5)^3 = -125$，任意数的立方根只有1个
∴ $b = -5$
分情况计算$a+b$：
① 当$a=5$时，$a+b = 5 + (-5) = 0$
② 当$a=-5$时，$a+b = -5 + (-5) = -10$
因此$a+b$的值为0或-10，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 平方根的性质
2. 立方根的性质
3. 有理数加法运算
【点评】
本题容易出现的错误是忽略正数的平方根有两个，仅求出$a=5$的情况导致漏解，解题时要注意区分平方和立方运算的不同性质，不要漏算所有可能的取值。
【难度系数】
0.7
⑤若$\sqrt{a-1}$与$|b+\sqrt{2}|$互为相反数，则$a+b$的绝对值为 （
A.$1-\sqrt{2}$
B.$\sqrt{2}-1$
C.$\sqrt{2}+1$
D.$\sqrt{2}$
B
）A.$1-\sqrt{2}$
B.$\sqrt{2}-1$
C.$\sqrt{2}+1$
D.$\sqrt{2}$
答案
5.B
解析
【分析】
首先回忆两个核心知识点：一是互为相反数的两个数相加和为0；二是算术平方根、绝对值的计算结果都是非负数（即大于等于0的数）。解题时先根据相反数的性质列出两个式子相加等于0的等式，再根据非负数的性质：两个非负数相加和为0时，只有两个非负数各自为0才能成立，据此求出a和b的值，最后计算a+b的绝对值，化简后对应选项即可。
【解析】
解：
∵$\sqrt{a-1}$与$|b+\sqrt{2}|$互为相反数
∴$\sqrt{a-1} + |b+\sqrt{2}| = 0$
又
∵算术平方根和绝对值都具有非负性，即$\sqrt{a-1} ≥ 0$，$|b+\sqrt{2}| ≥ 0$
∴只有$\sqrt{a-1}=0$且$|b+\sqrt{2}|=0$时，等式才能成立
由此可得：$a-1=0$，$b+\sqrt{2}=0$
解得：$a=1$，$b=-\sqrt{2}$
∴$|a+b|=|1 + (-\sqrt{2})|=|1-\sqrt{2}|$
∵$\sqrt{2}＞1$，$1-\sqrt{2}$是负数，负数的绝对值是它的相反数
∴$|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$
故选B
【答案】
B
【知识点】
相反数的性质；非负数的性质；绝对值化简
【点评】
本题是代数基础常考题，核心是利用非负数的性质求解未知数，需要熟练掌握算术平方根、绝对值的非负性，以及相反数、绝对值的相关运算规则，计算时注意正负号的判断，避免绝对值化简出错。
【难度系数】
0.75
首先回忆两个核心知识点：一是互为相反数的两个数相加和为0；二是算术平方根、绝对值的计算结果都是非负数（即大于等于0的数）。解题时先根据相反数的性质列出两个式子相加等于0的等式，再根据非负数的性质：两个非负数相加和为0时，只有两个非负数各自为0才能成立，据此求出a和b的值，最后计算a+b的绝对值，化简后对应选项即可。
【解析】
解：
∵$\sqrt{a-1}$与$|b+\sqrt{2}|$互为相反数
∴$\sqrt{a-1} + |b+\sqrt{2}| = 0$
又
∵算术平方根和绝对值都具有非负性，即$\sqrt{a-1} ≥ 0$，$|b+\sqrt{2}| ≥ 0$
∴只有$\sqrt{a-1}=0$且$|b+\sqrt{2}|=0$时，等式才能成立
由此可得：$a-1=0$，$b+\sqrt{2}=0$
解得：$a=1$，$b=-\sqrt{2}$
∴$|a+b|=|1 + (-\sqrt{2})|=|1-\sqrt{2}|$
∵$\sqrt{2}＞1$，$1-\sqrt{2}$是负数，负数的绝对值是它的相反数
∴$|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$
故选B
【答案】
B
【知识点】
相反数的性质；非负数的性质；绝对值化简
【点评】
本题是代数基础常考题，核心是利用非负数的性质求解未知数，需要熟练掌握算术平方根、绝对值的非负性，以及相反数、绝对值的相关运算规则，计算时注意正负号的判断，避免绝对值化简出错。
【难度系数】
0.75
二、用心填一填。
⑥如图所示是一数值转换机，若输出的x的值为－32，则输入的x的值为
⑥如图所示是一数值转换机，若输出的x的值为－32，则输入的x的值为
±4
。答案
6.±4
解析
【分析】
首先明确数值转换机的运算顺序：输入x后，先对x进行平方运算，再将平方的结果乘以-2，最终得到输出值。已知输出值为-32，我们可以顺着运算规则列出方程，再逐步逆推求解x，注意正数的平方对应两个互为相反数的底数，不要漏解。
【解析】
根据数值转换机的运算规则，可列方程：
$x^2 × (-2) = -32$
方程两边同时除以-2，得：
$x^2 = 16$
因为$(\pm4)^2 = 16$，所以$x = \pm4$。
【答案】
$\pm4$
【知识点】
有理数混合运算、乘方运算、解方程
【点评】
本题核心是读懂数值转换机的运算流程，按照运算顺序列式求解即可，需注意平方运算的结果为非负数，正数对应两个互为相反数的解，避免漏解。
【难度系数】
0.7
首先明确数值转换机的运算顺序：输入x后，先对x进行平方运算，再将平方的结果乘以-2，最终得到输出值。已知输出值为-32，我们可以顺着运算规则列出方程，再逐步逆推求解x，注意正数的平方对应两个互为相反数的底数，不要漏解。
【解析】
根据数值转换机的运算规则，可列方程：
$x^2 × (-2) = -32$
方程两边同时除以-2，得：
$x^2 = 16$
因为$(\pm4)^2 = 16$，所以$x = \pm4$。
【答案】
$\pm4$
【知识点】
有理数混合运算、乘方运算、解方程
【点评】
本题核心是读懂数值转换机的运算流程，按照运算顺序列式求解即可，需注意平方运算的结果为非负数，正数对应两个互为相反数的解，避免漏解。
【难度系数】
0.7
⑦已知$\sqrt{3}\approx1.732$，$\sqrt{30}\approx5.477$，则$\sqrt{0.3}\approx$
×(-2)
0.547 7
。×(-2)
答案
7.0.547 7
解析
【分析】
解题时首先要将待求算术平方根的被开方数0.3转化为与已知近似值的√3、√30相关的形式，结合二次根式的运算性质简化计算。观察可得0.3可写为30/100，其中100是完全平方数，开方后为整数10，这样就能直接用已知的√30的近似值除以10快速得到结果，避免出现分母带根号的复杂计算。
【解析】
解：先对√0.3进行变形：
$\sqrt{0.3}=\sqrt{\frac{30}{100}}$
根据二次根式的除法性质$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$a≥0,b＞0$），可得：
$\sqrt{\frac{30}{100}}=\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{100}}=\frac{\sqrt{30}}{10}$
将$\sqrt{30}\approx5.477$代入计算：
$\sqrt{0.3}\approx\frac{5.477}{10}=0.5477$
【答案】
0.5477
【知识点】
二次根式的性质；算术平方根的估算
【点评】
本题核心考查二次根式的化简变形能力，解题关键是把待求的被开方数转化为已知被开方数与完全平方数的商或积，也可牢记规律：被开方数的小数点向左/右移动2位，对应算术平方根的小数点同向移动1位，直接快速得到结果。
【难度系数】
0.7
解题时首先要将待求算术平方根的被开方数0.3转化为与已知近似值的√3、√30相关的形式，结合二次根式的运算性质简化计算。观察可得0.3可写为30/100，其中100是完全平方数，开方后为整数10，这样就能直接用已知的√30的近似值除以10快速得到结果，避免出现分母带根号的复杂计算。
【解析】
解：先对√0.3进行变形：
$\sqrt{0.3}=\sqrt{\frac{30}{100}}$
根据二次根式的除法性质$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$a≥0,b＞0$），可得：
$\sqrt{\frac{30}{100}}=\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{100}}=\frac{\sqrt{30}}{10}$
将$\sqrt{30}\approx5.477$代入计算：
$\sqrt{0.3}\approx\frac{5.477}{10}=0.5477$
【答案】
0.5477
【知识点】
二次根式的性质；算术平方根的估算
【点评】
本题核心考查二次根式的化简变形能力，解题关键是把待求的被开方数转化为已知被开方数与完全平方数的商或积，也可牢记规律：被开方数的小数点向左/右移动2位，对应算术平方根的小数点同向移动1位，直接快速得到结果。
【难度系数】
0.7
三、耐心做一做。
⑧计算：
(1)$2^2 + |-3| - \sqrt{25}$；
(2)$-1^2 + \sqrt[3]{64} - (-2) × \sqrt{9}$。
⑧计算：
(1)$2^2 + |-3| - \sqrt{25}$；
(2)$-1^2 + \sqrt[3]{64} - (-2) × \sqrt{9}$。
答案
8.(1)$4+3-5=2$；(2)$9$
解析
【分析】
这两道题是实数混合运算的基础题，解题遵循“先算乘方、开方、绝对值，再算乘除，最后算加减”的运算顺序即可。解答(1)时，先分别算出2的平方、-3的绝对值、25的算术平方根，再将结果相加减；解答(2)时要注意$-1^2$的结果是-1而非1，先算出乘方、64的立方根、9的算术平方根，再计算乘法，最后算加减，同时注意去括号的符号变化。
【解析】
(1) 先逐项计算：
$2^2=4$，$|-3|=3$，$\sqrt{25}=5$
代入原式计算：
$2^2 + |-3| - \sqrt{25}=4+3-5=2$
(2) 先逐项计算：
$-1^2=-1$，$\sqrt[3]{64}=4$，$\sqrt{9}=3$
先算乘法部分：$-(-2)×\sqrt{9}=2×3=6$
再计算加减：
$-1^2 + \sqrt[3]{64} - (-2) × \sqrt{9}=-1+4+6=9$
【答案】
(1) $\boxed{2}$；(2) $\boxed{9}$
【知识点】
实数混合运算，绝对值的性质，乘方与开方运算
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查运算顺序的掌握和符号判断的准确性，解题时要注意区分$-1^2$和$(-1)^2$的差异，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
这两道题是实数混合运算的基础题，解题遵循“先算乘方、开方、绝对值，再算乘除，最后算加减”的运算顺序即可。解答(1)时，先分别算出2的平方、-3的绝对值、25的算术平方根，再将结果相加减；解答(2)时要注意$-1^2$的结果是-1而非1，先算出乘方、64的立方根、9的算术平方根，再计算乘法，最后算加减，同时注意去括号的符号变化。
【解析】
(1) 先逐项计算：
$2^2=4$，$|-3|=3$，$\sqrt{25}=5$
代入原式计算：
$2^2 + |-3| - \sqrt{25}=4+3-5=2$
(2) 先逐项计算：
$-1^2=-1$，$\sqrt[3]{64}=4$，$\sqrt{9}=3$
先算乘法部分：$-(-2)×\sqrt{9}=2×3=6$
再计算加减：
$-1^2 + \sqrt[3]{64} - (-2) × \sqrt{9}=-1+4+6=9$
【答案】
(1) $\boxed{2}$；(2) $\boxed{9}$
【知识点】
实数混合运算，绝对值的性质，乘方与开方运算
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查运算顺序的掌握和符号判断的准确性，解题时要注意区分$-1^2$和$(-1)^2$的差异，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
