8 在$△ ABC$中，$∠ B=55°$，$∠ C=65°$.现分别以点$B$，$C$为圆心，$BC$长为半径画$\odot B$，$\odot C$，则点$A$在$\odot B$ ，点$A$在$\odot C$ （填“内”“上”或“外”）.

8.外 内 【解析】在$△ ABC$中,$∠ B=55°,∠ C=65°,\therefore ∠ A=60°,\therefore ∠ C＞∠ A＞∠ B,\therefore AB＞BC＞AC,\therefore$ 点A在$\odot B$外,点A在$\odot C$内.

【分析】
要判断点A与两个圆的位置关系，首先明确点与圆的位置关系判定规则：点到圆心的距离大于半径时，点在圆外；等于半径时在圆上；小于半径时在圆内。本题中⊙B、⊙C的半径都是BC，因此只需分别比较AB与BC、AC与BC的长度大小即可。要得到三边的大小关系，可先利用三角形内角和求出∠A的度数，再根据三角形“大角对大边”的性质推导三边大小，最终判断位置。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ A=180°-∠ B-∠ C=180°-55°-65°=60°$
因此三个角的大小关系为：$∠ C＞∠ A＞∠ B$
根据三角形中大角对大边的性质，对应边的大小关系为：$AB＞BC＞AC$
∵⊙B的半径为BC，点A到圆心B的距离为AB，$AB＞BC$
∴点A在⊙B外
∵⊙C的半径为BC，点A到圆心C的距离为AC，$AC＜BC$
∴点A在⊙C内
【答案】
外；内
【知识点】
点与圆的位置关系；三角形内角和定理；大角对大边
【点评】
本题属于基础题型，将三角形的相关性质与点和圆的位置关系相结合，解题的核心是通过角的大小关系推导得到边的大小关系，再结合点与圆位置关系的判定规则即可求解。
【难度系数】
0.8

9 在平面直角坐标系中，$\odot O$ 的直径为26，圆心 $O$ 为坐标原点，则点 $P(-12,-5)$ 与 $\odot O$ 的位置关系是。

9. 点P在$\odot O$上

【分析】
要判断点与圆的位置关系，只需比较点到圆心的距离d和圆的半径r的大小：若d＞r，点在圆外；若d=r，点在圆上；若d＜r，点在圆内。本题先根据直径求出圆的半径，再利用两点间距离公式计算点P到圆心O的距离，最后和半径比较大小即可得出结论。
【解析】
解：已知$\odot O$的直径为26，因此$\odot O$的半径$r=26÷2=13$。
圆心O为坐标原点$(0,0)$，点P坐标为$(-12,-5)$，根据两点间距离公式，点P到圆心O的距离为：
$OP=\sqrt{(-12-0)^2+(-5-0)^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13$
因为$OP=r=13$，所以点P在$\odot O$上。
【答案】
点P在$\odot O$上
【知识点】
点与圆的位置关系；两点间距离公式
【点评】
本题是点与圆位置关系的基础考查题，解题关键是掌握点与圆位置关系的判定方法，熟练计算平面内两点间的距离，整体难度较低。
【难度系数】
0.85

10 已知$\odot O$的半径为2，设点M到圆心O的距离$OM=a$.若关于$x$的方程$2x^2 - 2\sqrt{2}x + a -1 = 0$有实数根，则点M与$\odot O$的位置关系为.

10. 点M在$\odot O$上或$\odot O$内

【分析】
要判断点M与$\odot O$的位置关系，需先确定$OM=a$的取值范围，再与$\odot O$的半径2比较大小。已知关于x的一元二次方程有实数根，可根据一元二次方程根的判别式$\Delta ≥ 0$列不等式求出a的取值范围，最后根据点与圆的位置关系判定规则得出结论。
【解析】
对于一元二次方程$2x^2 - 2\sqrt{2}x + a -1 = 0$，其中二次项系数$A=2$，一次项系数$B=-2\sqrt{2}$，常数项$C=a-1$。
因为方程有实数根，所以根的判别式$\Delta = B^2 - 4AC ≥ 0$，代入得：
$\Delta = (-2\sqrt{2})^2 - 4 × 2 × (a-1) ≥ 0$
计算得：$8 - 8(a-1) ≥ 0$
展开化简：$8 - 8a + 8 ≥ 0$，即$16 - 8a ≥ 0$
解不等式得：$a ≤ 2$
已知$\odot O$的半径为2，$OM=a$：
当$a=2$时，点M在$\odot O$上；当$a＜2$时，点M在$\odot O$内。
因此点M在$\odot O$上或$\odot O$内。
【答案】
点M在$\odot O$上或$\odot O$内
【知识点】
一元二次方程根的判别式；点与圆的位置关系
【点评】
本题是基础综合题，将一元二次方程根的情况和点与圆的位置关系相结合，解题的关键是熟练掌握根的判别式的应用以及点和圆位置关系的判定规则，注意方程有实数根包含有两个相等实数根和两个不相等实数根两种情况，不要漏掉$\Delta = 0$的情况。
【难度系数】
0.7

11 如图,在平面直角坐标系中,以点$A(2,0)$为圆心作圆,使圆经过点$B(0,-4)$.
(1) 试判断点$C(0,4),D(-2,0),E(0,8)$与$\odot A$的位置关系;
(2) 若点$M(0,m)$在$\odot A$外,则$m$的取值范围是.

11. (1) 连接$AB. \because A(2,0),B(0,-4),\therefore OA=2,OB=4$.在$\mathrm{Rt}△ AOB$中,由勾股定理,得$AB=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$,即$\odot A$的半径为$2\sqrt{5}.\because C(0,4),D(-2,0),E(0,8),\therefore$ 同理,可得$AC=2\sqrt{5},AD=4,AE=2\sqrt{17}.\because AC=2\sqrt{5},AD＜2\sqrt{5},AE＞2\sqrt{5},\therefore$ 点$C(0,4)$在$\odot A$上,点$D(-2,0)$在$\odot A$内,点$E(0,8)$在$\odot A$外 (2) $m＜-4$或$m＞4$

【分析】
判断点与圆的位置关系的核心是比较点到圆心的距离$d$和圆半径$r$的大小：$d＞r$时点在圆外，$d=r$时点在圆上，$d＜r$时点在圆内。解题时首先计算$\odot A$的半径$r$（即$AB$的长度，可通过勾股定理求解），再分别计算各点到圆心$A$的距离，与半径$r$比较即可得到位置关系；第二问根据点在圆外的条件列不等式求解$m$的取值范围即可。
【解析】
(1) 连接$AB$，
$\because A(2,0)$，$B(0,-4)$，
$\therefore OA=2$，$OB=4$，
在$\mathrm{Rt}△AOB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，即$\odot A$的半径$r=2\sqrt{5}$。
分别计算各点到$A$的距离：
点$C(0,4)$：$AC=\sqrt{(2-0)^2+(0-4)^2}=2\sqrt{5}=r$，故点$C$在$\odot A$上；
点$D(-2,0)$：$AD=\sqrt{[2-(-2)]^2+(0-0)^2}=4＜2\sqrt{5}$，故点$D$在$\odot A$内；
点$E(0,8)$：$AE=\sqrt{(2-0)^2+(0-8)^2}=2\sqrt{17}＞2\sqrt{5}$，故点$E$在$\odot A$外。
(2) 点$M(0,m)$在$\odot A$外，则$MA＞r=2\sqrt{5}$，
$MA=\sqrt{(2-0)^2+(0-m)^2}=\sqrt{4+m^2}$，
因此$\sqrt{4+m^2}＞2\sqrt{5}$，两边平方得$4+m^2＞20$，即$m^2＞16$，
解得$m＜-4$或$m＞4$。
【答案】
(1) 点$C(0,4)$在$\odot A$上，点$D(-2,0)$在$\odot A$内，点$E(0,8)$在$\odot A$外；
(2) $m＜-4$或$m＞4$
【知识点】
点与圆的位置关系、勾股定理、两点间距离计算
【点评】
本题是点与圆位置关系的基础应用题，解题关键是牢记点与圆位置关系的判定方法，结合勾股定理准确计算点到圆心的距离，求解取值范围时注意不要漏解负数情况。
【难度系数】
0.7

12 如图,在矩形$ABCD$中,$AB=4$,$AD=3$,以顶点$D$为圆心,$r$为半径作圆.
（1）在点$A$,$B$,$C$中,若有且只有一点在圆内,求$r$的取值范围；
（2）在点$A$,$B$,$C$中,若至少有一点在圆内,至少有一点在圆外,求$r$的取值范围.

12. 连接$DB. \because$ 四边形$ABCD$为矩形,$\therefore ∠ A=90°,DC=AB$.$\because AB=4,AD=3,\therefore DC=4,BD=\sqrt{3^2+4^2}=5,\therefore DA＜DC＜DB$.(1) 由题意,得只能是点$A$在$\odot D$内,点$B,C$均不在$\odot D$内,$\therefore DA＜r≤ DC$,即$3＜r≤ 4$ (2) 由题意,得点$A$一定在$\odot D$内,点$B$一定在$\odot D$外,$\therefore 3＜r＜5$

【分析】
解决本题首先要明确点与圆的位置关系判定规则：点到圆心的距离$d＜r$时，点在圆内；$d=r$时，点在圆上；$d＞r$时，点在圆外。第一步先利用矩形性质和勾股定理求出A、B、C三点到圆心D的距离，得到$DA=3$、$DC=4$、$DB=5$，大小关系为$DA＜DC＜DB$。对于第（1）问，“有且只有一点在圆内”说明只有距离最小的点A在圆内，其余两点不在圆内，因此$r$要大于$DA$且不大于$DC$；对于第（2）问，“至少有一点在圆内，至少有一点在圆外”说明$r$要大于最小距离保证有圆内的点，同时小于最大距离保证有圆外的点，即可得到取值范围。
【解析】
连接$BD$。
$\because$ 四边形$ABCD$为矩形，$\therefore ∠ A=90°$，$DC=AB$。
$\because AB=4$，$AD=3$，$\therefore DC=4$，由勾股定理得$BD=\sqrt{AD^2+AB^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，因此三个点到$D$的距离大小为$DA＜DC＜DB$。
（1）由题意，只有点$A$在$\odot D$内，点$B$、$C$均不在$\odot D$内，因此需满足$DA＜r ≤ DC$，代入数值得$3＜r ≤ 4$。
（2）由题意，需满足至少一个点在圆内、至少一个点在圆外，因此$r$要大于最小距离$DA$、小于最大距离$DB$，即$3＜r＜5$。
【答案】
(1) $3 ＜ r ≤ 4$；(2) $3 ＜ r ＜ 5$
【知识点】
点与圆的位置关系、矩形的性质、勾股定理
【点评】
本题解题核心是先确定各点到圆心的距离，再结合题干限制条件推导半径的取值范围，解题时要注意根据题意准确判断等号是否可取，避免出现错漏。
【难度系数】
0.7