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1. 如图，AB是$\odot O$的弦，AC与$\odot O$相切于点A，连接OA，OB，若$∠ O=130°$，则$∠ BAC$的度数是（
A.60
B.65
C.70
D.75
B
）A.60
B.65
C.70
D.75
答案
1. B
解析
【分析】
解题时首先回忆切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，因此可得OA⊥AC，即∠OAC=90°；再观察到OA、OB都是⊙O的半径，长度相等，因此△OAB是等腰三角形，已知顶角∠O的度数，可根据三角形内角和算出底角∠OAB的度数；最后用∠OAC减去∠OAB就能得到∠BAC的度数。
【解析】
解：
∵AC与⊙O相切于点A，
∴OA⊥AC，即∠OAC=90°，
∵OA=OB（都是⊙O的半径），
∴△OAB为等腰三角形，∠OAB=∠OBA，
在△OAB中，∠O=130°，根据三角形内角和为180°，
∴∠OAB=(180°-∠O)÷2=(180°-130°)÷2=25°，
∴∠BAC=∠OAC - ∠OAB=90°-25°=65°。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，将切线性质与等腰三角形性质结合考查，解题关键是找准角度之间的数量关系，熟练运用相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，因此可得OA⊥AC，即∠OAC=90°；再观察到OA、OB都是⊙O的半径，长度相等，因此△OAB是等腰三角形，已知顶角∠O的度数，可根据三角形内角和算出底角∠OAB的度数；最后用∠OAC减去∠OAB就能得到∠BAC的度数。
【解析】
解：
∵AC与⊙O相切于点A，
∴OA⊥AC，即∠OAC=90°，
∵OA=OB（都是⊙O的半径），
∴△OAB为等腰三角形，∠OAB=∠OBA，
在△OAB中，∠O=130°，根据三角形内角和为180°，
∴∠OAB=(180°-∠O)÷2=(180°-130°)÷2=25°，
∴∠BAC=∠OAC - ∠OAB=90°-25°=65°。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，将切线性质与等腰三角形性质结合考查，解题关键是找准角度之间的数量关系，熟练运用相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2. 如图，AB是$\odot O$的切线，B为切点，OA与BC交于点D，AB=AD，若$∠ C=20°$，则$∠ OAB$等于（
A.$20°$
B.$30°$
C.$40°$
D.$50°$
C
）A.$20°$
B.$30°$
C.$40°$
D.$50°$
答案
2. C
解析
【分析】
遇到切线相关问题，优先连接切点与圆心，利用切线性质得到垂直关系；再结合半径相等得到等腰△OBC，求出∠OBC的度数，进而得到∠ABD的度数；再利用AB=AD的等腰关系得到∠ADB的度数，通过三角形内角和求出∠BOA的度数，最后在直角三角形中利用两锐角互余即可求出∠OAB的度数。
【解析】
解：连接OB，
∵AB是$\odot O$的切线，B为切点，
∴$OB⊥ AB$，即$∠ OBA=90°$，
∵OC、OB都是$\odot O$的半径，即$OC=OB$，
∴$∠ OBC=∠ C=20°$，
∴$∠ ABD=∠ OBA-∠ OBC=90°-20°=70°$，
∵$AB=AD$，
∴$∠ ABD=∠ ADB=70°$，
∴$∠ ODB=180°-∠ ADB=180°-70°=110°$，
在$△ OBD$中，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ BOD=180°-∠ ODB-∠ OBC=180°-110°-20°=50°$，
在$Rt△ ABO$中，两锐角互余，因此：
$∠ OAB=90°-∠ BOD=90°-50°=40°$。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题关键是正确连接切点与圆心的辅助线，梳理清楚各个角之间的数量关系，逐步推导即可得到结果。
【难度系数】
0.7
遇到切线相关问题，优先连接切点与圆心，利用切线性质得到垂直关系；再结合半径相等得到等腰△OBC，求出∠OBC的度数，进而得到∠ABD的度数；再利用AB=AD的等腰关系得到∠ADB的度数，通过三角形内角和求出∠BOA的度数，最后在直角三角形中利用两锐角互余即可求出∠OAB的度数。
【解析】
解：连接OB，
∵AB是$\odot O$的切线，B为切点，
∴$OB⊥ AB$，即$∠ OBA=90°$，
∵OC、OB都是$\odot O$的半径，即$OC=OB$，
∴$∠ OBC=∠ C=20°$，
∴$∠ ABD=∠ OBA-∠ OBC=90°-20°=70°$，
∵$AB=AD$，
∴$∠ ABD=∠ ADB=70°$，
∴$∠ ODB=180°-∠ ADB=180°-70°=110°$，
在$△ OBD$中，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ BOD=180°-∠ ODB-∠ OBC=180°-110°-20°=50°$，
在$Rt△ ABO$中，两锐角互余，因此：
$∠ OAB=90°-∠ BOD=90°-50°=40°$。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题关键是正确连接切点与圆心的辅助线，梳理清楚各个角之间的数量关系，逐步推导即可得到结果。
【难度系数】
0.7
3. (2025·安徽)如图,AB是$\odot O$的弦,PB与$\odot O$相切于点B,圆心O在线段PA上.已知$∠ P=50°$,则$∠ PAB$的大小为$\_\_\_\_\_\_°$.
答案
3. 20
解析
【分析】
解题时首先回忆切线的性质：切线垂直于过切点的半径，因此先连接辅助线OB，得到直角三角形OBP，先求出∠POB的度数；再结合OA、OB都是圆的半径，二者相等，可知△OAB为等腰三角形，最后利用三角形外角等于不相邻两内角和的性质，即可求出∠PAB的度数。
【解析】
解：连接OB，
∵PB是$\odot O$的切线，B为切点，
∴$OB⊥ PB$，即$∠ OBP=90°$，
在$Rt△ OBP$中，$∠ P=50°$，
∴$∠ POB=180°-∠ OBP-∠ P=180°-90°-50°=40°$，
∵$OA=OB$（同圆的半径相等），
∴$∠ PAB=∠ OBA$，
又
∵$∠ POB$是$△ AOB$的外角，
∴$∠ POB=∠ PAB+∠ OBA=2∠ PAB$，
∴$∠ PAB=∠ POB÷2=40°÷2=20°$。
【答案】
20
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角定理
【点评】
本题属于基础几何题，解题的关键是正确连接过切点的半径这一常用辅助线，再结合角度的相关性质逐步推导即可，解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆切线的性质：切线垂直于过切点的半径，因此先连接辅助线OB，得到直角三角形OBP，先求出∠POB的度数；再结合OA、OB都是圆的半径，二者相等，可知△OAB为等腰三角形，最后利用三角形外角等于不相邻两内角和的性质，即可求出∠PAB的度数。
【解析】
解：连接OB，
∵PB是$\odot O$的切线，B为切点，
∴$OB⊥ PB$，即$∠ OBP=90°$，
在$Rt△ OBP$中，$∠ P=50°$，
∴$∠ POB=180°-∠ OBP-∠ P=180°-90°-50°=40°$，
∵$OA=OB$（同圆的半径相等），
∴$∠ PAB=∠ OBA$，
又
∵$∠ POB$是$△ AOB$的外角，
∴$∠ POB=∠ PAB+∠ OBA=2∠ PAB$，
∴$∠ PAB=∠ POB÷2=40°÷2=20°$。
【答案】
20
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角定理
【点评】
本题属于基础几何题，解题的关键是正确连接过切点的半径这一常用辅助线，再结合角度的相关性质逐步推导即可，解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7
4. 如图,两同心圆的大圆半径长为5 cm,小圆半径长为3 cm,大圆的弦AB与小圆相切,切点为C,则弦AB的长是
8 cm
.答案
4. 8 cm
解析
【分析】
解题时首先根据切线的性质，可得过切点的半径OC与切线AB垂直；再结合垂径定理，可知垂直于弦的半径OC平分弦AB，因此AB=2BC；最后在直角三角形OCB中利用勾股定理求出BC的长度，即可得到AB的长。
【解析】
解：
∵AB是小圆的切线，C为切点，
∴OC⊥AB（圆的切线垂直于过切点的半径）。
又
∵AB是大圆的弦，OC⊥AB，
∴AC=BC=$\frac{1}{2}$AB（垂径定理）。
在Rt△OCB中，OB=5cm，OC=3cm，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{OB^2 - OC^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{16}=4\mathrm{cm}$，
∴$AB=2BC=2×4=8\mathrm{cm}$。
【答案】
8 cm
【知识点】
切线的性质；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆中弦长计算的基础题型，解题的核心是通过切线的性质构造直角三角形，结合垂径定理将所求弦长转化为直角三角形的边长求解，思路清晰，属于常规考点。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据切线的性质，可得过切点的半径OC与切线AB垂直；再结合垂径定理，可知垂直于弦的半径OC平分弦AB，因此AB=2BC；最后在直角三角形OCB中利用勾股定理求出BC的长度，即可得到AB的长。
【解析】
解：
∵AB是小圆的切线，C为切点，
∴OC⊥AB（圆的切线垂直于过切点的半径）。
又
∵AB是大圆的弦，OC⊥AB，
∴AC=BC=$\frac{1}{2}$AB（垂径定理）。
在Rt△OCB中，OB=5cm，OC=3cm，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{OB^2 - OC^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{16}=4\mathrm{cm}$，
∴$AB=2BC=2×4=8\mathrm{cm}$。
【答案】
8 cm
【知识点】
切线的性质；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆中弦长计算的基础题型，解题的核心是通过切线的性质构造直角三角形，结合垂径定理将所求弦长转化为直角三角形的边长求解，思路清晰，属于常规考点。
【难度系数】
0.7
5. (2025·广东)如图,点O是Rt△ABC斜边AC边上的一点,以OA为半径的⊙O与边BC相切于点D.求证:AD平分∠BAC.
答案
5. 连接OD,如图
,∵ 以OA为半径的⊙O与边BC相切于点D,
∴ OD⊥BC.
∵ ∠ABC=90°,
∴ OD//AB,
∴ ∠ODA=∠BAD.
∵ OA=OD,
∴ ∠ODA=∠OAD,
∴ ∠BAD=∠OAD,
∴ AD平分∠BAC.
解析
【分析】
要证明AD平分∠BAC，本质是证明∠BAD=∠OAD。遇到圆的切线类问题，优先考虑切线的性质：连接圆心与切点，所得半径与切线垂直，因此先作辅助线连接OD。结合Rt△ABC中∠B=90°，可推出OD与AB平行，利用平行线的内错角相等可得∠ODA=∠BAD；再根据OA、OD都是⊙O的半径，二者相等可得等腰三角形两底角相等，即∠ODA=∠OAD，通过等量代换即可得到两个角相等，完成证明。
【解析】
证明：连接OD，如图，
∵ 以OA为半径的⊙O与边BC相切于点D，
∴ OD⊥BC。
∵ △ABC是直角三角形，∠ABC=90°，
∴ AB⊥BC，
∴ OD//AB，
∴ ∠ODA=∠BAD。
∵ OA和OD都是⊙O的半径，
∴ OA=OD，
∴ ∠ODA=∠OAD，
∴ ∠BAD=∠OAD，
∴ AD平分∠BAC。
【答案】
5. 连接OD,如图,
∵ 以OA为半径的⊙O与边BC相切于点D,
∴ OD⊥BC.
∵ ∠ABC=90°,
∴ OD//AB,
∴ ∠ODA=∠BAD.
∵ OA=OD,
∴ ∠ODA=∠OAD,
∴ ∠BAD=∠OAD,
∴ AD平分∠BAC.
【知识点】
切线的性质；平行线的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆相关证明的基础题型，核心考查切线性质的应用，解题的关键是掌握“见切线，连接圆心和切点得垂直”的辅助线构造方法，结合平行线、等腰三角形的角的性质即可完成推导，属于圆章节的常考基础题。
【难度系数】
0.7
要证明AD平分∠BAC，本质是证明∠BAD=∠OAD。遇到圆的切线类问题，优先考虑切线的性质：连接圆心与切点，所得半径与切线垂直，因此先作辅助线连接OD。结合Rt△ABC中∠B=90°，可推出OD与AB平行，利用平行线的内错角相等可得∠ODA=∠BAD；再根据OA、OD都是⊙O的半径，二者相等可得等腰三角形两底角相等，即∠ODA=∠OAD，通过等量代换即可得到两个角相等，完成证明。
【解析】
证明：连接OD，如图
，∵ 以OA为半径的⊙O与边BC相切于点D，
∴ OD⊥BC。
∵ △ABC是直角三角形，∠ABC=90°，
∴ AB⊥BC，
∴ OD//AB，
∴ ∠ODA=∠BAD。
∵ OA和OD都是⊙O的半径，
∴ OA=OD，
∴ ∠ODA=∠OAD，
∴ ∠BAD=∠OAD，
∴ AD平分∠BAC。
【答案】
5. 连接OD,如图
,∵ 以OA为半径的⊙O与边BC相切于点D,
∴ OD⊥BC.
∵ ∠ABC=90°,
∴ OD//AB,
∴ ∠ODA=∠BAD.
∵ OA=OD,
∴ ∠ODA=∠OAD,
∴ ∠BAD=∠OAD,
∴ AD平分∠BAC.
【知识点】
切线的性质；平行线的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆相关证明的基础题型，核心考查切线性质的应用，解题的关键是掌握“见切线，连接圆心和切点得垂直”的辅助线构造方法，结合平行线、等腰三角形的角的性质即可完成推导，属于圆章节的常考基础题。
【难度系数】
0.7
6.（2024·镇江）如图，将$△ ABC$沿过点A的直线翻折并展开，点C的对应点$C'$落在边AB上，折痕为AD，点O在边AB上，$\odot O$经过点A，D。若$∠ ACB＝90°$，判断BC与$\odot O$的位置关系，并说明理由。
答案
6. BC与⊙O相切,理由如下:如图
,连接OD,∵ OA=OD,
∴ ∠OAD=∠ODA,由折叠的性质得:∠CAD=∠OAD,
∴ ∠CAD=∠ODA,
∴ AC//OD,
∴ ∠ODB=∠ACB=90°,
∴ OD⊥BC.
∵ OD是⊙O的半径,
∴ BC与⊙O相切.
解析
【分析】
要判断直线BC与⊙O的位置关系，已知⊙O与BC有公共点D，因此采用“连半径，证垂直”的解题思路：首先连接OD（OD是⊙O的半径），只需证明OD⊥BC即可。结合已知条件，先利用折叠的性质得到对应角相等，再结合等腰三角形等边对等角的性质推导角相等，进而证明AC与OD平行，最后结合∠ACB=90°的条件得到OD⊥BC，即可得出结论。
【解析】
BC与⊙O相切，理由如下：
如图，连接OD，
∵ OA=OD，
∴ ∠OAD=∠ODA，
由折叠的性质得：∠CAD=∠OAD，
∴ ∠CAD=∠ODA，
∴ AC//OD，
∴ ∠ODB=∠ACB=90°，
∴ OD⊥BC。
∵ OD是⊙O的半径，
∴ BC与⊙O相切。
【答案】
BC与⊙O相切,理由如下:如图,连接OD,
∵ OA=OD,
∴ ∠OAD=∠ODA,由折叠的性质得:∠CAD=∠OAD,
∴ ∠CAD=∠ODA,
∴ AC//OD,
∴ ∠ODB=∠ACB=90°,
∴ OD⊥BC.
∵ OD是⊙O的半径,
∴ BC与⊙O相切.
【知识点】
切线的判定；翻折的性质；平行线的判定与性质
【点评】
本题是直线与圆位置关系的常规考题，解题的核心是掌握已知公共点时“连半径，证垂直”的切线证明思路，同时结合图形变换和平行线的性质推导角的关系即可解决，属于基础类题型。
【难度系数】
0.7
要判断直线BC与⊙O的位置关系，已知⊙O与BC有公共点D，因此采用“连半径，证垂直”的解题思路：首先连接OD（OD是⊙O的半径），只需证明OD⊥BC即可。结合已知条件，先利用折叠的性质得到对应角相等，再结合等腰三角形等边对等角的性质推导角相等，进而证明AC与OD平行，最后结合∠ACB=90°的条件得到OD⊥BC，即可得出结论。
【解析】
BC与⊙O相切，理由如下：
如图
，连接OD，∵ OA=OD，
∴ ∠OAD=∠ODA，
由折叠的性质得：∠CAD=∠OAD，
∴ ∠CAD=∠ODA，
∴ AC//OD，
∴ ∠ODB=∠ACB=90°，
∴ OD⊥BC。
∵ OD是⊙O的半径，
∴ BC与⊙O相切。
【答案】
BC与⊙O相切,理由如下:如图
,连接OD,∵ OA=OD,
∴ ∠OAD=∠ODA,由折叠的性质得:∠CAD=∠OAD,
∴ ∠CAD=∠ODA,
∴ AC//OD,
∴ ∠ODB=∠ACB=90°,
∴ OD⊥BC.
∵ OD是⊙O的半径,
∴ BC与⊙O相切.
【知识点】
切线的判定；翻折的性质；平行线的判定与性质
【点评】
本题是直线与圆位置关系的常规考题，解题的核心是掌握已知公共点时“连半径，证垂直”的切线证明思路，同时结合图形变换和平行线的性质推导角的关系即可解决，属于基础类题型。
【难度系数】
0.7
