登录
9. 如图，直线$l_1$与$l_2$垂直，垂足为点O，$AM⊥l_1$于点M，$AN⊥l_2$于点N，$AM=4$，$AN=3$，以点A为圆心，r为半径作$\odot A$，根据下列条件，确定r的取值范围：
（1）若$\odot A$与两直线无公共点，则r的取值范围为
（2）若$\odot A$与两直线共有一个公共点，则r的取值范围为
（3）若$\odot A$与两直线共有两个公共点，则r的取值范围为
（4）若$\odot A$与两直线共有三个公共点，则r的取值范围为
（5）若$\odot A$与两直线共有四个公共点，则r的取值范围为
（1）若$\odot A$与两直线无公共点，则r的取值范围为
0＜r＜3
；（2）若$\odot A$与两直线共有一个公共点，则r的取值范围为
r=3
；（3）若$\odot A$与两直线共有两个公共点，则r的取值范围为
3＜r＜4
；（4）若$\odot A$与两直线共有三个公共点，则r的取值范围为
r=4或r=5
；（5）若$\odot A$与两直线共有四个公共点，则r的取值范围为
r＞4且r≠5
。答案
9. （1）$0＜r＜3$ （2）$r=3$ （3）$3＜r＜4$ （4）$r=4$或$r=5$ （5）$r＞4$且$r≠5$
解析
【分析】
解决本题的核心是利用直线与圆的位置关系判定规则：设圆心到直线的距离为d，圆半径为r，d＞r时直线与圆相离（无公共点），d=r时直线与圆相切（1个公共点），d＜r时直线与圆相交（2个公共点）。首先明确基础数据：点A到$l_1$的距离为$AM=4$，点A到$l_2$的距离为$AN=3$，再由勾股定理算出点A到两直线交点O的距离$AO=\sqrt{3^2+4^2}=5$，再分类讨论不同r取值对应的公共点总数即可。
【解析】
首先推导基础数据：
∵$AM⊥l_1$，$AN⊥l_2$，
∴点A到$l_1$的距离$d_1=AM=4$，点A到$l_2$的距离$d_2=AN=3$；
四边形OMAN为矩形，由勾股定理得$AO=\sqrt{AM^2+AN^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
（1）$\odot A$与两直线无公共点：说明$\odot A$与$l_1$、$l_2$都相离，需$r＜d_1$且$r＜d_2$，又半径$r＞0$，因此$0＜r＜3$；
（2）共有1个公共点：说明仅与1条直线相切，另一条直线相离，仅当$r=d_2=3$时，$\odot A$与$l_2$相切（1个公共点），与$l_1$相离（无公共点），总公共点为1个，因此$r=3$；
（3）共有2个公共点：说明$\odot A$与$l_2$相交、与$l_1$相离，即$d_2＜r＜d_1$，因此$3＜r＜4$；
（4）共有3个公共点：分两种情况：①$r=d_1=4$时，$\odot A$与$l_1$相切（1个公共点），与$l_2$相交（2个公共点），共3个公共点；②$r=AO=5$时，圆过两直线交点O，$\odot A$与$l_1$、$l_2$各有2个交点，但O是公共交点，总公共点为$2+2-1=3$个，因此$r=4$或$r=5$；
（5）共有4个公共点：说明$\odot A$与$l_1$、$l_2$都相交，且不经过公共点O，即$r＞d_1=4$且$r≠5$，因此$r＞4$且$r≠5$。
【答案】
（1）$0＜r＜3$ （2）$r=3$ （3）$3＜r＜4$ （4）$r=4$或$r=5$ （5）$r＞4$且$r≠5$
【知识点】
直线与圆的位置关系、勾股定理
【点评】
本题侧重考查分类讨论思想，解题时要注意$r=5$时圆过两直线交点O的特殊情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解决本题的核心是利用直线与圆的位置关系判定规则：设圆心到直线的距离为d，圆半径为r，d＞r时直线与圆相离（无公共点），d=r时直线与圆相切（1个公共点），d＜r时直线与圆相交（2个公共点）。首先明确基础数据：点A到$l_1$的距离为$AM=4$，点A到$l_2$的距离为$AN=3$，再由勾股定理算出点A到两直线交点O的距离$AO=\sqrt{3^2+4^2}=5$，再分类讨论不同r取值对应的公共点总数即可。
【解析】
首先推导基础数据：
∵$AM⊥l_1$，$AN⊥l_2$，
∴点A到$l_1$的距离$d_1=AM=4$，点A到$l_2$的距离$d_2=AN=3$；
四边形OMAN为矩形，由勾股定理得$AO=\sqrt{AM^2+AN^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
（1）$\odot A$与两直线无公共点：说明$\odot A$与$l_1$、$l_2$都相离，需$r＜d_1$且$r＜d_2$，又半径$r＞0$，因此$0＜r＜3$；
（2）共有1个公共点：说明仅与1条直线相切，另一条直线相离，仅当$r=d_2=3$时，$\odot A$与$l_2$相切（1个公共点），与$l_1$相离（无公共点），总公共点为1个，因此$r=3$；
（3）共有2个公共点：说明$\odot A$与$l_2$相交、与$l_1$相离，即$d_2＜r＜d_1$，因此$3＜r＜4$；
（4）共有3个公共点：分两种情况：①$r=d_1=4$时，$\odot A$与$l_1$相切（1个公共点），与$l_2$相交（2个公共点），共3个公共点；②$r=AO=5$时，圆过两直线交点O，$\odot A$与$l_1$、$l_2$各有2个交点，但O是公共交点，总公共点为$2+2-1=3$个，因此$r=4$或$r=5$；
（5）共有4个公共点：说明$\odot A$与$l_1$、$l_2$都相交，且不经过公共点O，即$r＞d_1=4$且$r≠5$，因此$r＞4$且$r≠5$。
【答案】
（1）$0＜r＜3$ （2）$r=3$ （3）$3＜r＜4$ （4）$r=4$或$r=5$ （5）$r＞4$且$r≠5$
【知识点】
直线与圆的位置关系、勾股定理
【点评】
本题侧重考查分类讨论思想，解题时要注意$r=5$时圆过两直线交点O的特殊情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
10. 如图,给定一个半径长为2的圆,圆心O到水平直线l的距离为d,即OM=d.我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m.如$d=0$时,l为经过圆心O的一条直线,此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点,即$m=4$,由此可知:
(1) 当$d=3$时,$m=$
(2) 当$m=2$时,d的取值范围是
(1) 当$d=3$时,$m=$
1
;(2) 当$m=2$时,d的取值范围是
1＜d＜3
.答案
10. （1）1 （2）$1＜d＜3$
解析
【分析】
解题时先明确圆的半径为2，我们可以把“圆上到直线l距离等于1的点的个数”转化为：与l平行且距离为1的两条直线和圆的交点总个数，再结合直线与圆的位置关系（通过圆心到直线的距离和半径的大小关系判断交点数），分类分析不同d对应的m值，以及m=2时d的取值范围。
【解析】
已知圆O的半径$r=2$，圆心O到直线l的距离为d。
圆上到直线l距离为1的点，必然在分别位于l两侧、与l平行且距离为1的两条直线上，记靠近O的直线为$l_1$，远离O的直线为$l_2$，则圆心O到$l_1$的距离为$|d-1|$，到$l_2$的距离为$d+1$。
(1) 当$d=3$时：
圆心到$l_2$的距离为$3+1=4＞2$，因此$l_2$与圆无交点；
圆心到$l_1$的距离为$3-1=2=r$，因此$l_1$与圆相切，仅有1个交点。
因此圆上到直线l距离为1的点的个数$m=1$。
(2) 当$m=2$时，即两条直线与圆的交点总个数为2：
当$d≤1$时，$d+1≤2$，$l_2$与圆至少有1个交点，同时$|d-1|＜2$，$l_1$与圆有2个交点，总交点数≥3，不符合要求；
当$1＜d＜3$时，$d+1＞2$，$l_2$与圆无交点，同时$d-1＜2$，$l_1$与圆相交有2个交点，总交点数为2，符合要求；
当$d≥3$时，$d-1≥2$，$l_1$与圆最多有1个交点，总交点数≤1，不符合要求。
因此当$m=2$时，d的取值范围是$1＜d＜3$。
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) $\boxed{1＜d＜3}$
【知识点】
直线与圆的位置关系，点到直线的距离
【点评】
本题通过将圆上点到定直线的距离问题转化为平行直线与圆的交点问题，结合直线与圆的位置关系的判定即可求解，解题的关键是做好问题的转化，注意分类讨论时不要遗漏端点的特殊情况。
【难度系数】
0.7
解题时先明确圆的半径为2，我们可以把“圆上到直线l距离等于1的点的个数”转化为：与l平行且距离为1的两条直线和圆的交点总个数，再结合直线与圆的位置关系（通过圆心到直线的距离和半径的大小关系判断交点数），分类分析不同d对应的m值，以及m=2时d的取值范围。
【解析】
已知圆O的半径$r=2$，圆心O到直线l的距离为d。
圆上到直线l距离为1的点，必然在分别位于l两侧、与l平行且距离为1的两条直线上，记靠近O的直线为$l_1$，远离O的直线为$l_2$，则圆心O到$l_1$的距离为$|d-1|$，到$l_2$的距离为$d+1$。
(1) 当$d=3$时：
圆心到$l_2$的距离为$3+1=4＞2$，因此$l_2$与圆无交点；
圆心到$l_1$的距离为$3-1=2=r$，因此$l_1$与圆相切，仅有1个交点。
因此圆上到直线l距离为1的点的个数$m=1$。
(2) 当$m=2$时，即两条直线与圆的交点总个数为2：
当$d≤1$时，$d+1≤2$，$l_2$与圆至少有1个交点，同时$|d-1|＜2$，$l_1$与圆有2个交点，总交点数≥3，不符合要求；
当$1＜d＜3$时，$d+1＞2$，$l_2$与圆无交点，同时$d-1＜2$，$l_1$与圆相交有2个交点，总交点数为2，符合要求；
当$d≥3$时，$d-1≥2$，$l_1$与圆最多有1个交点，总交点数≤1，不符合要求。
因此当$m=2$时，d的取值范围是$1＜d＜3$。
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) $\boxed{1＜d＜3}$
【知识点】
直线与圆的位置关系，点到直线的距离
【点评】
本题通过将圆上点到定直线的距离问题转化为平行直线与圆的交点问题，结合直线与圆的位置关系的判定即可求解，解题的关键是做好问题的转化，注意分类讨论时不要遗漏端点的特殊情况。
【难度系数】
0.7
11. 如图，P是双曲线$y=\frac{4}{x}(x＞0)$的一个分支上的一点，以点P为圆心，1个单位长度为半径作$\odot P$，设点P的坐标为$(x,y)$。
（1）求当x为何值时，$\odot P$与直线$y=3$相切，并求点P的坐标。
（2）直接写出当x为何值时，$\odot P$与直线$y=3$相交、相离。
（1）求当x为何值时，$\odot P$与直线$y=3$相切，并求点P的坐标。
（2）直接写出当x为何值时，$\odot P$与直线$y=3$相交、相离。
答案
11. (1) 如图，设点P的坐标为$(x,y)$，
∵ P是双曲线$y=\frac{4}{x}(x＞0)$的一个分支上的一点，
∴ $xy=k=4$.
∵ $\odot P$与直线$y=3$相切，
∴ p点纵坐标为2，
∴ p点横坐标为2.
∵ $\odot P'$与直线$y=3$相切，
∴ p点纵坐标为4，
∴ p点横坐标为1，
∴ $x=1$或2，P的坐标$(1,4)$或$(2,2)$；
（2）结合图象，即可得出：当$1＜x＜2$时，$\odot P$与直线$y=3$相交，当$x＞2$或$0＜x＜1$时，$\odot P$与直线$y=3$相离。
解析
【分析】
解题时先回忆直线与圆相切、相交、相离的判定条件：圆心到直线的距离等于半径时相切，小于半径时相交，大于半径时相离。本题中直线$y=3$是水平线，圆心$P(x,y)$到这条直线的距离为$|3-y|$，结合$\odot P$半径为1，可先列出关于$y$的等式或不等式，再结合点$P$在反比例函数$y=\frac{4}{x}(x＞0)$上的条件，代入求解$x$的值或范围即可。
【解析】
（1）
∵点$P(x,y)$在双曲线$y=\frac{4}{x}(x＞0)$上，
∴$y=\frac{4}{x}$（$x＞0$）。
已知$\odot P$的半径$r=1$，当$\odot P$与直线$y=3$相切时，圆心$P$到直线$y=3$的距离等于半径，即$|3 - y|=1$。
去绝对值得：$3-y=1$或$3-y=-1$，解得$y=2$或$y=4$。
①当$y=2$时，代入$y=\frac{4}{x}$得$x=\frac{4}{2}=2$，此时$P$点坐标为$(2,2)$；
②当$y=4$时，代入$y=\frac{4}{x}$得$x=\frac{4}{4}=1$，此时$P$点坐标为$(1,4)$。
（2）根据直线与圆的位置关系：
①相交时，圆心到直线的距离小于半径，即$|3 - y|＜1$，解得$2＜y＜4$。
将$y=\frac{4}{x}$代入得$2＜\frac{4}{x}＜4$，结合$x＞0$解不等式可得$1＜x＜2$。
②相离时，圆心到直线的距离大于半径，即$|3 - y|＞1$，解得$y＜2$或$y＞4$。
将$y=\frac{4}{x}$代入，结合$x＞0$解不等式可得$0＜x＜1$或$x＞2$。
【答案】
(1) $x=1$或2，P的坐标为$(1,4)$或$(2,2)$；
（2）当$1＜x＜2$时，$\odot P$与直线$y=3$相交，当$x＞2$或$0＜x＜1$时，$\odot P$与直线$y=3$相离。
【知识点】
反比例函数的性质，直线与圆的位置关系
【点评】
本题是反比例函数与几何位置关系的综合题，核心是将直线和圆的位置关系转化为圆心纵坐标的等量或不等关系，再结合反比例函数解析式求解，考察了数形结合思想和不等式求解能力，解题时要注意$x＞0$的取值范围限制。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆直线与圆相切、相交、相离的判定条件：圆心到直线的距离等于半径时相切，小于半径时相交，大于半径时相离。本题中直线$y=3$是水平线，圆心$P(x,y)$到这条直线的距离为$|3-y|$，结合$\odot P$半径为1，可先列出关于$y$的等式或不等式，再结合点$P$在反比例函数$y=\frac{4}{x}(x＞0)$上的条件，代入求解$x$的值或范围即可。
【解析】
（1）
∵点$P(x,y)$在双曲线$y=\frac{4}{x}(x＞0)$上，
∴$y=\frac{4}{x}$（$x＞0$）。
已知$\odot P$的半径$r=1$，当$\odot P$与直线$y=3$相切时，圆心$P$到直线$y=3$的距离等于半径，即$|3 - y|=1$。
去绝对值得：$3-y=1$或$3-y=-1$，解得$y=2$或$y=4$。
①当$y=2$时，代入$y=\frac{4}{x}$得$x=\frac{4}{2}=2$，此时$P$点坐标为$(2,2)$；
②当$y=4$时，代入$y=\frac{4}{x}$得$x=\frac{4}{4}=1$，此时$P$点坐标为$(1,4)$。
（2）根据直线与圆的位置关系：
①相交时，圆心到直线的距离小于半径，即$|3 - y|＜1$，解得$2＜y＜4$。
将$y=\frac{4}{x}$代入得$2＜\frac{4}{x}＜4$，结合$x＞0$解不等式可得$1＜x＜2$。
②相离时，圆心到直线的距离大于半径，即$|3 - y|＞1$，解得$y＜2$或$y＞4$。
将$y=\frac{4}{x}$代入，结合$x＞0$解不等式可得$0＜x＜1$或$x＞2$。
【答案】
(1) $x=1$或2，P的坐标为$(1,4)$或$(2,2)$；
（2）当$1＜x＜2$时，$\odot P$与直线$y=3$相交，当$x＞2$或$0＜x＜1$时，$\odot P$与直线$y=3$相离。
【知识点】
反比例函数的性质，直线与圆的位置关系
【点评】
本题是反比例函数与几何位置关系的综合题，核心是将直线和圆的位置关系转化为圆心纵坐标的等量或不等关系，再结合反比例函数解析式求解，考察了数形结合思想和不等式求解能力，解题时要注意$x＞0$的取值范围限制。
【难度系数】
0.7
12. 如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6.点E为CD边上的一个动点(不与C,D重合),⊙O是△BCE的外接圆.
(1) 若CE=2,⊙O交AD于点F,G,求FG的长度.
(2) 若CE的长度为m,⊙O与AD的位置关系随着m的值变化而变化,试探索AD与⊙O的位置关系及对应的m的取值范围.
(1) 若CE=2,⊙O交AD于点F,G,求FG的长度.
(2) 若CE的长度为m,⊙O与AD的位置关系随着m的值变化而变化,试探索AD与⊙O的位置关系及对应的m的取值范围.
答案
12. (1) 如图1，过点O作$OM⊥FG$于点M，延长MO交BC于点N，连接OG，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $∠C=∠D=90°$，
∴ BE是$\odot O$的直径.
∵ $∠C=∠D=∠DMN=90°$，
∴ 四边形MNCD是矩形，
∴ $MN⊥BC$，$MN=CD=AB=4$，
∴ $BN=CN$.
∵ $OB=OE$，
∴ ON是$△BCE$的中位线，
∴ $ON=\frac{1}{2}CE=1$，
∴ $OM=4-1=3$，在$\mathrm{Rt}△BCE$中，$BE=\sqrt{BC^2+CE^2}=2\sqrt{10}$，
∴ $OG=\frac{1}{2}BE=\sqrt{10}$，在$\mathrm{Rt}△OMG$中，$MG=\sqrt{OG^2+OM^2}=1$，
∴ $FG=2MG=2$.
（2）如图2中，当$\odot O$与AD相切于点M时，连接OM并反向延长交BC于点N. 由(1)易得$ON=\frac{1}{2}CE=\frac{1}{2}m$，$OB=OM=4-\frac{1}{2}m$，$BN=3$，在$\mathrm{Rt}△BON$中，$ON^2+BN^2=OB^2$，即$(\frac{1}{2}m)^2+3^2=(4-\frac{1}{2}m)^2$，解得$m=\frac{7}{4}$，
∴ 当$0＜m＜\frac{7}{4}$时，$\odot O$与AD相离；当$m=\frac{7}{4}$时，$\odot O$与AD相切；当$\frac{7}{4}＜m＜4$时，$\odot O$与AD相交。
解析
【分析】
(1) 求弦长FG优先考虑垂径定理：过圆心作FG的垂线，可得到由半弦长、半径、弦心距组成的直角三角形。首先由矩形的直角性质可知△BCE是直角三角形，因此BE是⊙O的直径；再证明所作垂线同时垂直于BC，可得ON是△BCE的中位线，求出弦心距OM后，结合勾股定理先求圆的半径，再求半弦长，即可得到FG的长度。
(2) 判断AD与⊙O的位置关系，核心是比较圆心到AD的距离与半径的大小，先找临界状态：圆与AD相切时，距离等于半径。先计算相切时CE的长度m，再根据CE长度变化时距离和半径的大小关系，分情况讨论对应m的取值范围即可。
【解析】
(1) 如图1，过点O作$OM⊥FG$于点M，延长MO交BC于点N，连接OG，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $∠C=∠D=90°$，
∴ BE是$\odot O$的直径。
∵ $∠C=∠D=∠DMN=90°$，
∴ 四边形MNCD是矩形，
∴ $MN⊥BC$，$MN=CD=AB=4$，且N为BC中点，即$BN=CN$。
∵ $OB=OE$，
∴ ON是$△BCE$的中位线，
∴ $ON=\frac{1}{2}CE=1$，
∴ $OM=MN-ON=4-1=3$，
在$\mathrm{Rt}△BCE$中，$BE=\sqrt{BC^2+CE^2}=\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}$，
∴ $\odot O$的半径$OG=\frac{1}{2}BE=\sqrt{10}$，
在$\mathrm{Rt}△OMG$中，$MG=\sqrt{OG^2-OM^2}=\sqrt{(\sqrt{10})^2-3^2}=1$，
由垂径定理得$FG=2MG=2$。
(2) 如图2，当$\odot O$与AD相切于点M时，连接OM并反向延长交BC于点N。
同(1)的推导可得：$ON=\frac{1}{2}CE=\frac{1}{2}m$，$\odot O$的半径$OB=OM=MN-ON=4-\frac{1}{2}m$，$BN=\frac{1}{2}BC=3$，
在$\mathrm{Rt}△BON$中，由勾股定理得$ON^2+BN^2=OB^2$，
代入得：$(\frac{1}{2}m)^2+3^2=(4-\frac{1}{2}m)^2$，
展开计算：$\frac{1}{4}m^2 +9 = 16 -4m +\frac{1}{4}m^2$，
消去$\frac{1}{4}m^2$，解得$m=\frac{7}{4}$。
结合E不与C、D重合，$0＜m＜4$：
当$0＜m＜\frac{7}{4}$时，圆心到AD的距离大于半径，$\odot O$与AD相离；
当$m=\frac{7}{4}$时，圆心到AD的距离等于半径，$\odot O$与AD相切；
当$\frac{7}{4}＜m＜4$时，圆心到AD的距离小于半径，$\odot O$与AD相交。
【答案】
(1) $FG=2$；
(2) 当$0＜m＜\frac{7}{4}$时，$\odot O$与AD相离；当$m=\frac{7}{4}$时，$\odot O$与AD相切；当$\frac{7}{4}＜m＜4$时，$\odot O$与AD相交。
【知识点】
垂径定理，直线与圆的位置关系，勾股定理
【点评】
本题综合考查了矩形性质、圆的相关定理和分类讨论思想，解题的关键是合理作辅助线构造直角三角形，通过临界状态的计算推导不同位置关系对应的参数范围，能有效考查几何综合运用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 求弦长FG优先考虑垂径定理：过圆心作FG的垂线，可得到由半弦长、半径、弦心距组成的直角三角形。首先由矩形的直角性质可知△BCE是直角三角形，因此BE是⊙O的直径；再证明所作垂线同时垂直于BC，可得ON是△BCE的中位线，求出弦心距OM后，结合勾股定理先求圆的半径，再求半弦长，即可得到FG的长度。
(2) 判断AD与⊙O的位置关系，核心是比较圆心到AD的距离与半径的大小，先找临界状态：圆与AD相切时，距离等于半径。先计算相切时CE的长度m，再根据CE长度变化时距离和半径的大小关系，分情况讨论对应m的取值范围即可。
【解析】
(1) 如图1，过点O作$OM⊥FG$于点M，延长MO交BC于点N，连接OG，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $∠C=∠D=90°$，
∴ BE是$\odot O$的直径。
∵ $∠C=∠D=∠DMN=90°$，
∴ 四边形MNCD是矩形，
∴ $MN⊥BC$，$MN=CD=AB=4$，且N为BC中点，即$BN=CN$。
∵ $OB=OE$，
∴ ON是$△BCE$的中位线，
∴ $ON=\frac{1}{2}CE=1$，
∴ $OM=MN-ON=4-1=3$，
在$\mathrm{Rt}△BCE$中，$BE=\sqrt{BC^2+CE^2}=\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}$，
∴ $\odot O$的半径$OG=\frac{1}{2}BE=\sqrt{10}$，
在$\mathrm{Rt}△OMG$中，$MG=\sqrt{OG^2-OM^2}=\sqrt{(\sqrt{10})^2-3^2}=1$，
由垂径定理得$FG=2MG=2$。
(2) 如图2，当$\odot O$与AD相切于点M时，连接OM并反向延长交BC于点N。
同(1)的推导可得：$ON=\frac{1}{2}CE=\frac{1}{2}m$，$\odot O$的半径$OB=OM=MN-ON=4-\frac{1}{2}m$，$BN=\frac{1}{2}BC=3$，
在$\mathrm{Rt}△BON$中，由勾股定理得$ON^2+BN^2=OB^2$，
代入得：$(\frac{1}{2}m)^2+3^2=(4-\frac{1}{2}m)^2$，
展开计算：$\frac{1}{4}m^2 +9 = 16 -4m +\frac{1}{4}m^2$，
消去$\frac{1}{4}m^2$，解得$m=\frac{7}{4}$。
结合E不与C、D重合，$0＜m＜4$：
当$0＜m＜\frac{7}{4}$时，圆心到AD的距离大于半径，$\odot O$与AD相离；
当$m=\frac{7}{4}$时，圆心到AD的距离等于半径，$\odot O$与AD相切；
当$\frac{7}{4}＜m＜4$时，圆心到AD的距离小于半径，$\odot O$与AD相交。
【答案】
(1) $FG=2$；
(2) 当$0＜m＜\frac{7}{4}$时，$\odot O$与AD相离；当$m=\frac{7}{4}$时，$\odot O$与AD相切；当$\frac{7}{4}＜m＜4$时，$\odot O$与AD相交。
【知识点】
垂径定理，直线与圆的位置关系，勾股定理
【点评】
本题综合考查了矩形性质、圆的相关定理和分类讨论思想，解题的关键是合理作辅助线构造直角三角形，通过临界状态的计算推导不同位置关系对应的参数范围，能有效考查几何综合运用能力。
【难度系数】
0.6
