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1.方程$x^2 -4x +3=0$的两根分别为(
A.$x_1=-1,x_2=-3$
B.$x_1=0,x_2=3$
C.$x_1=1,x_2=3$
D.$x_1=1,x_2=-4$
C
)A.$x_1=-1,x_2=-3$
B.$x_1=0,x_2=3$
C.$x_1=1,x_2=3$
D.$x_1=1,x_2=-4$
答案
C
2.若a,b,c为△ABC的三边长，且a,b,c满足(a−b)(b−c)=0，则△ABC的形状是(
A.等边
B.直角
C.等腰
D.锐角
C
)三角形。A.等边
B.直角
C.等腰
D.锐角
答案
C
3.关于$x$的一元二次方程$mx^2 + (m^2 - 2)x + 2m + 4 = 0$的一个根为2，则$m$的值为(
A.$-3$
B.$3$
C.$-3$或$0$
D.$0$
A
)A.$-3$
B.$3$
C.$-3$或$0$
D.$0$
答案
A
4.菱形$ABCD$两条对角线长为$x^2 -10x +24=0$的两根，则此菱形面积为
$12$
。答案
12
5.用因式分解法解下列方程：
(1)$(x-2)(x+3)=-6$；
(2)$2x^2 - 4x = -2$；
(3)$(x-4)^2 = (5-2x)^2$；
(4)$3x(2x+1)=4x+2$。
(1)$(x-2)(x+3)=-6$；
(2)$2x^2 - 4x = -2$；
(3)$(x-4)^2 = (5-2x)^2$；
(4)$3x(2x+1)=4x+2$。
答案
解:(1)$x^2 +x -6=-6$,
$x(x+1)=0$,
$x_1=0,x_2=-1$;
(2)$2(x-1)^2=0$,
$x_1=x_2=1$;
(3)$x_1=1,x_2=3$;
(4)$x_1=-\frac{1}{2},x_2=\frac{2}{3}$.
$x(x+1)=0$,
$x_1=0,x_2=-1$;
(2)$2(x-1)^2=0$,
$x_1=x_2=1$;
(3)$x_1=1,x_2=3$;
(4)$x_1=-\frac{1}{2},x_2=\frac{2}{3}$.
6.已知$x_1,x_2$是关于$x$的方程$x^2 - 2(m+1)x + m^2 +5=0$的两个实数根，等腰$△ ABC$的一边长为7，$x_1,x_2$恰好为另外两边长，求$△ ABC$的周长.
答案
解:①若7为底边,$\Delta=0,m=2$,此时$x_1=x_2=3,3+3＜7$,不能构成三角形；
②若7为腰,将$x=7$代入方程得$m=4$或10,当$m=4$时,$x_1=3,x_2=7$,
此时周长为:$3+7+7=17$;
当$m=10$时,$x_1=15,x_2=7$,此时$7+7＜15$,不能构成三角形.
综上所述,该$△ ABC$的周长为17.
②若7为腰,将$x=7$代入方程得$m=4$或10,当$m=4$时,$x_1=3,x_2=7$,
此时周长为:$3+7+7=17$;
当$m=10$时,$x_1=15,x_2=7$,此时$7+7＜15$,不能构成三角形.
综上所述,该$△ ABC$的周长为17.
7.阅读下面的解题过程,解方程:$x^4 - x^2 - 2 = 0$.
解:设$x^2 = y$(换元),$\therefore y^2 - y - 2 = 0,y_1 = -1,y_2 = 2$.
又$\because y＞0,\therefore x^2 = 2,x = \pm\sqrt{2}$.此方法称为“换元法”.
仿上面方法解决下面问题:
(1)已知$(x^2 + y^2)^2 - (x^2 + y^2) - 2 = 0$,则$x^2 + y^2 =$
(2)已知$(x^2 + x)^2 - 2(x^2 + x) - 3 = 0$,则$x^2 + x =$
解:设$x^2 = y$(换元),$\therefore y^2 - y - 2 = 0,y_1 = -1,y_2 = 2$.
又$\because y＞0,\therefore x^2 = 2,x = \pm\sqrt{2}$.此方法称为“换元法”.
仿上面方法解决下面问题:
(1)已知$(x^2 + y^2)^2 - (x^2 + y^2) - 2 = 0$,则$x^2 + y^2 =$
$2$
;(2)已知$(x^2 + x)^2 - 2(x^2 + x) - 3 = 0$,则$x^2 + x =$
$3$
.答案
解:(1)设$x^2 + y^2 = m$,$m^2 - m - 2 = 0$,
$m_1=-1,m_2=2$,
又$\because m＞0,\therefore m=2$;
(2)设$x^2 + x = m$,则$m^2 - 2m - 3 = 0$,
$m_1=-1,m_2=3$,
当$m=-1$时,$x^2 + x + 1 = 0,\Delta＜0$,
$\therefore m=3$,即$x^2 + x = 3$.
$m_1=-1,m_2=2$,
又$\because m＞0,\therefore m=2$;
(2)设$x^2 + x = m$,则$m^2 - 2m - 3 = 0$,
$m_1=-1,m_2=3$,
当$m=-1$时,$x^2 + x + 1 = 0,\Delta＜0$,
$\therefore m=3$,即$x^2 + x = 3$.
