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1.“数x不小于2”是指 （
A.$x≤ 2$
B.$x≥ 2$
C.$x＜2$
D.$x＞2$
B
）A.$x≤ 2$
B.$x≥ 2$
C.$x＜2$
D.$x＞2$
答案
1.B
解析
【分析】
解题时首先要明确不等关系的文字表述对应的数学符号含义，本题的核心是理解“不小于”的定义：“不小于”指的是数值不会比参照数更小，也就是包含“等于”和“大于”两种情况，我们只需要把“数x不小于2”转化为对应的不等式，再匹配选项即可。
【解析】
“不小于”的意思是大于或等于，因此“数x不小于2”用数学符号表示为：$\boldsymbol{x≥ 2}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 不等号的含义 2. 不等式的文字表述
【点评】
本题是不等式相关的基础题，主要考查文字描述的不等关系和数学符号的转化，解题关键是准确掌握“不小于”“不大于”“至少”“至多”这类常见表述对应的不等号含义，避免遗漏等于的情况。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确不等关系的文字表述对应的数学符号含义，本题的核心是理解“不小于”的定义：“不小于”指的是数值不会比参照数更小，也就是包含“等于”和“大于”两种情况，我们只需要把“数x不小于2”转化为对应的不等式，再匹配选项即可。
【解析】
“不小于”的意思是大于或等于，因此“数x不小于2”用数学符号表示为：$\boldsymbol{x≥ 2}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 不等号的含义 2. 不等式的文字表述
【点评】
本题是不等式相关的基础题，主要考查文字描述的不等关系和数学符号的转化，解题关键是准确掌握“不小于”“不大于”“至少”“至多”这类常见表述对应的不等号含义，避免遗漏等于的情况。
【难度系数】
0.9
2. “$x$的3倍不大于2与$x$的和的一半”表示成不等式为 （
A.$3x＞\dfrac{1}{2}(2+x)$
B.$3x＜\dfrac{1}{2}(2+x)$
C.$3x≤\dfrac{1}{2}(2+x)$
D.$3x≤2+\dfrac{1}{2}x$
C
）A.$3x＞\dfrac{1}{2}(2+x)$
B.$3x＜\dfrac{1}{2}(2+x)$
C.$3x≤\dfrac{1}{2}(2+x)$
D.$3x≤2+\dfrac{1}{2}x$
答案
2.C
解析
【分析】
解这类题需要逐句拆解文字描述，逐步转化为数学表达式：首先找到描述数量的短语，“x的3倍”就是x乘3，写作3x；其次明确不等关系的关键词，“不大于”的含义是小于或者等于，对应不等号为“≤”；最后处理另一侧的数量，“2与x的和的一半”要注意运算顺序，先算2和x的和，再给这个和乘二分之一，即先写(2+x)，再乘$\frac{1}{2}$，得到$\frac{1}{2}(2+x)$，将三部分组合即可得到正确不等式，同时要注意区分“和的一半”和“2加x的一半”的差异，避免错选。
【解析】
1. 翻译“x的3倍”，得到代数式$3x$；
2. 确定不等号：“不大于”表示小于或等于，对应符号为$≤$；
3. 翻译“2与x的和的一半”：先计算2与x的和为$2+x$，再取和的$\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{2}(2+x)$；
4. 组合得到不等式：$3x≤\frac{1}{2}(2+x)$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
列一元一次不等式；不等号的含义；代数式表示
【点评】
本题是根据文字描述列不等式的基础题，核心是准确理解不等关键词的含义，同时理清运算的先后顺序，避免因运算顺序理解错误选错选项。
【难度系数】
0.8
解这类题需要逐句拆解文字描述，逐步转化为数学表达式：首先找到描述数量的短语，“x的3倍”就是x乘3，写作3x；其次明确不等关系的关键词，“不大于”的含义是小于或者等于，对应不等号为“≤”；最后处理另一侧的数量，“2与x的和的一半”要注意运算顺序，先算2和x的和，再给这个和乘二分之一，即先写(2+x)，再乘$\frac{1}{2}$，得到$\frac{1}{2}(2+x)$，将三部分组合即可得到正确不等式，同时要注意区分“和的一半”和“2加x的一半”的差异，避免错选。
【解析】
1. 翻译“x的3倍”，得到代数式$3x$；
2. 确定不等号：“不大于”表示小于或等于，对应符号为$≤$；
3. 翻译“2与x的和的一半”：先计算2与x的和为$2+x$，再取和的$\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{2}(2+x)$；
4. 组合得到不等式：$3x≤\frac{1}{2}(2+x)$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
列一元一次不等式；不等号的含义；代数式表示
【点评】
本题是根据文字描述列不等式的基础题，核心是准确理解不等关键词的含义，同时理清运算的先后顺序，避免因运算顺序理解错误选错选项。
【难度系数】
0.8
3.若$x＞y$,则下列变形正确的是（
A.$x+3＞y+3$
B.$x-3＜y-3$
C.$-3x＞-3y$
D.$-\dfrac{x}{3}＞-\dfrac{y}{3}$
A
）A.$x+3＞y+3$
B.$x-3＜y-3$
C.$-3x＞-3y$
D.$-\dfrac{x}{3}＞-\dfrac{y}{3}$
答案
3.A
解析
【分析】
这道题考查不等式基本性质的应用，解题思路是根据已知条件$x＞y$，结合不等式的三条基本性质，逐一判断每个选项的变形是否正确。首先明确不等式的核心性质：①不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；②不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向必须改变，根据这三点逐个验证选项即可。
【解析】
已知$x＞y$，逐一分析选项：
A选项：不等式两边同时加3，根据不等式性质1，不等号方向不变，可得$x+3＞y+3$，变形正确；
B选项：不等式两边同时减3，根据不等式性质1，不等号方向不变，可得$x-3＞y-3$，与选项表述不符，变形错误；
C选项：不等式两边同时乘$-3$，根据不等式性质3，不等号方向改变，可得$-3x＜-3y$，与选项表述不符，变形错误；
D选项：不等式两边同时除以$-3$，根据不等式性质3，不等号方向改变，可得$-\dfrac{x}{3}＜-\dfrac{y}{3}$，与选项表述不符，变形错误。
综上，正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
不等式的基本性质
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握不等式的性质，尤其要注意不等式两边乘除负数时，不等号方向要发生改变，这是此类题的易错点。
【难度系数】
0.9
这道题考查不等式基本性质的应用，解题思路是根据已知条件$x＞y$，结合不等式的三条基本性质，逐一判断每个选项的变形是否正确。首先明确不等式的核心性质：①不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；②不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向必须改变，根据这三点逐个验证选项即可。
【解析】
已知$x＞y$，逐一分析选项：
A选项：不等式两边同时加3，根据不等式性质1，不等号方向不变，可得$x+3＞y+3$，变形正确；
B选项：不等式两边同时减3，根据不等式性质1，不等号方向不变，可得$x-3＞y-3$，与选项表述不符，变形错误；
C选项：不等式两边同时乘$-3$，根据不等式性质3，不等号方向改变，可得$-3x＜-3y$，与选项表述不符，变形错误；
D选项：不等式两边同时除以$-3$，根据不等式性质3，不等号方向改变，可得$-\dfrac{x}{3}＜-\dfrac{y}{3}$，与选项表述不符，变形错误。
综上，正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
不等式的基本性质
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握不等式的性质，尤其要注意不等式两边乘除负数时，不等号方向要发生改变，这是此类题的易错点。
【难度系数】
0.9
4. 已知$\begin{cases}x=-3, \\ y=5\end{cases}$是不等式$kx+2y≤ -5$的一个解，则整数$k$的最小值为（ ）
A.3
B.4
C.5
D.$-5$
A.3
B.4
C.5
D.$-5$
答案
4.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解，因此题中给出的$x=-3,y=5$代入不等式后，不等式一定成立。我们的解题步骤为：第一步将已知解代入原不等式，得到只含参数$k$的一元一次不等式；第二步解这个不等式求出$k$的取值范围；第三步在取值范围内找到最小的整数$k$即可。
【解析】
将$\begin{cases}x=-3 \\ y=5\end{cases}$代入不等式$kx+2y≤ -5$，可得：
$\begin{aligned}-3k + 2×5 &≤ -5\\-3k + 10 &≤ -5\\-3k &≤ -5 -10\\-3k &≤ -15\\k &≥ 5 \quad \mathrm{（不等式两边同时除以负数，不等号方向改变）}\end{aligned}$
则大于等于5的整数中，最小的整数是5。
【答案】
C
【知识点】
不等式的解的概念；解一元一次不等式；不等式整数解求解
【点评】
本题是不等式的基础应用类题目，解题关键是掌握不等式解的定义，将已知解代入转化为常规一元一次不等式求解，易错点是解不等式系数化为1时，若系数为负，需注意改变不等号的方向。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解，因此题中给出的$x=-3,y=5$代入不等式后，不等式一定成立。我们的解题步骤为：第一步将已知解代入原不等式，得到只含参数$k$的一元一次不等式；第二步解这个不等式求出$k$的取值范围；第三步在取值范围内找到最小的整数$k$即可。
【解析】
将$\begin{cases}x=-3 \\ y=5\end{cases}$代入不等式$kx+2y≤ -5$，可得：
$\begin{aligned}-3k + 2×5 &≤ -5\\-3k + 10 &≤ -5\\-3k &≤ -5 -10\\-3k &≤ -15\\k &≥ 5 \quad \mathrm{（不等式两边同时除以负数，不等号方向改变）}\end{aligned}$
则大于等于5的整数中，最小的整数是5。
【答案】
C
【知识点】
不等式的解的概念；解一元一次不等式；不等式整数解求解
【点评】
本题是不等式的基础应用类题目，解题关键是掌握不等式解的定义，将已知解代入转化为常规一元一次不等式求解，易错点是解不等式系数化为1时，若系数为负，需注意改变不等号的方向。
【难度系数】
0.7
5. 不等式组$\begin{cases}x ＞ -1, \\ 2x ≤ 4\end{cases}$的解集在数轴上表示正确的是（ ）
答案
5.B
解析
【分析】
要解决这道题，第一步先分别求解不等式组中的两个不等式，得到各自的解集；第二步找出两个解集的公共部分，即为不等式组的总解集；第三步根据数轴表示不等式解集的规则（大于向右、小于向左，包含端点用实心点，不包含端点用空心圈），匹配对应选项即可。
【解析】
先解给定的不等式组：
$\begin{cases}x ＞ -1\quad① \\2x ≤ 4\quad②\end{cases}$
1. 解不等式②：不等式两边同时除以2，可得$x ≤ 2$。
2. 结合不等式①的解集$x＞-1$，可得不等式组的公共解集为$\boldsymbol{-1 ＜ x ≤ 2}$。
3. 分析数轴表示要求：$x＞-1$说明在数轴上-1的位置用空心圆圈，向右延伸；$x≤2$说明在数轴上2的位置用实心圆点，向左延伸，两者重叠的区域就是解集的表示，对比选项可知B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
解一元一次不等式组、解集的数轴表示
【点评】
本题属于基础题，核心考查不等式组的求解方法和数轴表示解集的规则，解题时需特别注意实心点和空心圈的使用场景，避免因细节失误丢分。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，第一步先分别求解不等式组中的两个不等式，得到各自的解集；第二步找出两个解集的公共部分，即为不等式组的总解集；第三步根据数轴表示不等式解集的规则（大于向右、小于向左，包含端点用实心点，不包含端点用空心圈），匹配对应选项即可。
【解析】
先解给定的不等式组：
$\begin{cases}x ＞ -1\quad① \\2x ≤ 4\quad②\end{cases}$
1. 解不等式②：不等式两边同时除以2，可得$x ≤ 2$。
2. 结合不等式①的解集$x＞-1$，可得不等式组的公共解集为$\boldsymbol{-1 ＜ x ≤ 2}$。
3. 分析数轴表示要求：$x＞-1$说明在数轴上-1的位置用空心圆圈，向右延伸；$x≤2$说明在数轴上2的位置用实心圆点，向左延伸，两者重叠的区域就是解集的表示，对比选项可知B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
解一元一次不等式组、解集的数轴表示
【点评】
本题属于基础题，核心考查不等式组的求解方法和数轴表示解集的规则，解题时需特别注意实心点和空心圈的使用场景，避免因细节失误丢分。
【难度系数】
0.85
6.不等式$2-3x＞2x-8$的正整数解有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
6.A
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要按照一元一次不等式的求解步骤求出不等式的解集，再从解集中筛选出正整数，统计正整数的个数即可得到答案。求解时要注意：当不等式两边同时除以负数时，不等号的方向要发生改变。
【解析】
解不等式$2-3x＞2x-8$：
1. 移项，将含$x$的项移到不等号左侧，常数项移到不等号右侧，得：
$-3x-2x＞-8-2$
2. 合并同类项，得：
$-5x＞-10$
3. 系数化为1，两边同时除以$-5$，不等号方向改变，得：
$x＜2$
小于2的正整数只有1，因此该不等式的正整数解仅有1个。
【答案】
A
【知识点】
一元一次不等式解法、不等式的整数解、不等式基本性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元一次不等式的求解，易错点是系数化为1时忽略不等号方向的改变，只要正确求出解集后筛选符合要求的正整数即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要按照一元一次不等式的求解步骤求出不等式的解集，再从解集中筛选出正整数，统计正整数的个数即可得到答案。求解时要注意：当不等式两边同时除以负数时，不等号的方向要发生改变。
【解析】
解不等式$2-3x＞2x-8$：
1. 移项，将含$x$的项移到不等号左侧，常数项移到不等号右侧，得：
$-3x-2x＞-8-2$
2. 合并同类项，得：
$-5x＞-10$
3. 系数化为1，两边同时除以$-5$，不等号方向改变，得：
$x＜2$
小于2的正整数只有1，因此该不等式的正整数解仅有1个。
【答案】
A
【知识点】
一元一次不等式解法、不等式的整数解、不等式基本性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元一次不等式的求解，易错点是系数化为1时忽略不等号方向的改变，只要正确求出解集后筛选符合要求的正整数即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
7. 从下列不等式中选择一个与$x+1≥2$组成不等式组，若要使该不等式组的解集为$x≥1$，则可以选择的不等式是（
A.$x＞0$
B.$x＞2$
C.$x＜0$
D.$x＜2$
A
）A.$x＞0$
B.$x＞2$
C.$x＜0$
D.$x＜2$
答案
7.A
解析
【分析】
首先先求解已知不等式$x+1≥2$的解集，再根据一元一次不等式组解集的判断规则，分别将每个选项的不等式与已知不等式组成不等式组，逐一计算解集，最终选出解集为$x≥1$的选项即可。
【解析】
第一步：求解已知不等式的解集
对$x+1≥2$移项得：$x≥2-1$，即$x≥1$。
第二步：逐一判断各选项组成的不等式组的解集
选项A：组成不等式组$\begin{cases}x≥1 \\ x＞0\end{cases}$，根据“同大取大”的解集判断规则，公共解集为$x≥1$，符合要求；
选项B：组成不等式组$\begin{cases}x≥1 \\ x＞2\end{cases}$，公共解集为$x＞2$，不符合要求；
选项C：组成不等式组$\begin{cases}x≥1 \\ x＜0\end{cases}$，两个不等式无公共解集，不等式组无解，不符合要求；
选项D：组成不等式组$\begin{cases}x≥1 \\ x＜2\end{cases}$，公共解集为$1≤x＜2$，不符合要求。
综上，符合要求的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元一次不等式的解法
2. 不等式组解集的确定
【点评】
本题重点考查不等式组解集的判断，熟练掌握解集判断口诀即可快速准确解题，解题时先求出已知不等式的解集再逐一验证选项是常用思路。
【难度系数】
0.8
首先先求解已知不等式$x+1≥2$的解集，再根据一元一次不等式组解集的判断规则，分别将每个选项的不等式与已知不等式组成不等式组，逐一计算解集，最终选出解集为$x≥1$的选项即可。
【解析】
第一步：求解已知不等式的解集
对$x+1≥2$移项得：$x≥2-1$，即$x≥1$。
第二步：逐一判断各选项组成的不等式组的解集
选项A：组成不等式组$\begin{cases}x≥1 \\ x＞0\end{cases}$，根据“同大取大”的解集判断规则，公共解集为$x≥1$，符合要求；
选项B：组成不等式组$\begin{cases}x≥1 \\ x＞2\end{cases}$，公共解集为$x＞2$，不符合要求；
选项C：组成不等式组$\begin{cases}x≥1 \\ x＜0\end{cases}$，两个不等式无公共解集，不等式组无解，不符合要求；
选项D：组成不等式组$\begin{cases}x≥1 \\ x＜2\end{cases}$，公共解集为$1≤x＜2$，不符合要求。
综上，符合要求的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元一次不等式的解法
2. 不等式组解集的确定
【点评】
本题重点考查不等式组解集的判断，熟练掌握解集判断口诀即可快速准确解题，解题时先求出已知不等式的解集再逐一验证选项是常用思路。
【难度系数】
0.8
8. 某大型超市购进一批增城荔枝，运输过程中质量损失20%，假设不计超市其他费用，如果超市想至少获得28%的利润，那么这种增城荔枝的售价在进价的基础上应至少提高 （
A.30%
B.40%
C.50%
D.60%
D
）A.30%
B.40%
C.50%
D.60%
答案
8.D
解析
【分析】
我们可以通过设参数梳理各数量关系：先设荔枝的进价、进货总质量以及售价需要提高的比例，明确“至少获利28%”对应的不等关系为总销售额≥成本×(1+利润率)，还要注意运输过程中质量损失20%，实际可销售的质量仅为进货质量的80%，列不等式求解即可，所设的参数在计算过程中可以约掉，不影响最终结果。
【解析】
设这种增城荔枝的进价为每千克$a$元，购进总质量为$m$千克，售价在进价的基础上提高$x$。
由题意可知，运输后剩余可售卖的荔枝质量为$m(1-20\%)=0.8m$千克，实际售价为$a(1+x)$元/千克。
超市要至少获得28%的利润，因此总销售额需大于等于成本的$(1+28\%)$，列不等式得：
$0.8m · a(1+x) ≥ am · (1+28\%)$
因为$a＞0$，$m＞0$，不等式两边同时除以$am$，不等号方向不变，可得：
$0.8(1+x) ≥ 1.28$
两边同时除以0.8得：$1+x ≥ 1.6$
解得：$x ≥ 0.6 = 60\%$
即售价在进价基础上应至少提高60%。
【答案】
D
【知识点】
一元一次不等式的应用，利润问题计算
【点评】
本题是典型的利润类不等式应用题，解题核心是理清成本、实际销售额、利润率三者的关系，运输损耗的质量是本题的易错点，合理设辅助参数可以更清晰地梳理数量关系，参数在计算中可消去，不会影响最终结果。
【难度系数】
0.6
我们可以通过设参数梳理各数量关系：先设荔枝的进价、进货总质量以及售价需要提高的比例，明确“至少获利28%”对应的不等关系为总销售额≥成本×(1+利润率)，还要注意运输过程中质量损失20%，实际可销售的质量仅为进货质量的80%，列不等式求解即可，所设的参数在计算过程中可以约掉，不影响最终结果。
【解析】
设这种增城荔枝的进价为每千克$a$元，购进总质量为$m$千克，售价在进价的基础上提高$x$。
由题意可知，运输后剩余可售卖的荔枝质量为$m(1-20\%)=0.8m$千克，实际售价为$a(1+x)$元/千克。
超市要至少获得28%的利润，因此总销售额需大于等于成本的$(1+28\%)$，列不等式得：
$0.8m · a(1+x) ≥ am · (1+28\%)$
因为$a＞0$，$m＞0$，不等式两边同时除以$am$，不等号方向不变，可得：
$0.8(1+x) ≥ 1.28$
两边同时除以0.8得：$1+x ≥ 1.6$
解得：$x ≥ 0.6 = 60\%$
即售价在进价基础上应至少提高60%。
【答案】
D
【知识点】
一元一次不等式的应用，利润问题计算
【点评】
本题是典型的利润类不等式应用题，解题核心是理清成本、实际销售额、利润率三者的关系，运输损耗的质量是本题的易错点，合理设辅助参数可以更清晰地梳理数量关系，参数在计算中可消去，不会影响最终结果。
【难度系数】
0.6
