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6.某书店推出“传承红色基因，弘扬爱国精神”图书销售方案，现需购进A，B两种类型的图书共80套，这两种类型图书的进价、售价如下表所示：
| 图书类型 | 进价/(元/套) | 售价/(元/套) |
| --- | --- | --- |
| A |
| 60 |
| B | 50 | 75 |
设购进A型图书x套，书店销售这两种类型图书的总利润为y元.
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)若购进两种图书的总费用不超过3700元，应该怎样进货才能使书店在销售完这批图书时获利最多？并求出最大利润.
| 图书类型 | 进价/(元/套) | 售价/(元/套) |
| --- | --- | --- |
| A |
| 60 || B | 50 | 75 |
设购进A型图书x套，书店销售这两种类型图书的总利润为y元.
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)若购进两种图书的总费用不超过3700元，应该怎样进货才能使书店在销售完这批图书时获利最多？并求出最大利润.
答案
6.解:(1)设购进 A 型图书 x 套,则购进 B 型图书(80-x)套.
由题意,得 A 型图书利润为 20x 元,B型图书利润为 25(80-x)元,
∴总利润为 $y=20x+25(80-x)=-5x+2\ 000$.
(2)由题意,得 $40x+50(80-x)≤ 3\ 700$,解得 $x≥ 30$.
由于 $x≤ 80$,因此 $30≤ x≤ 80$.
利润 $y=-5x+2\ 000$ 为一次函数,且$-5＜0$,因此当 x 取最小值 30 时,利润最大,此时购进 A 型图书30套,B型图书50套,最大利润为1 850元.
由题意,得 A 型图书利润为 20x 元,B型图书利润为 25(80-x)元,
∴总利润为 $y=20x+25(80-x)=-5x+2\ 000$.
(2)由题意,得 $40x+50(80-x)≤ 3\ 700$,解得 $x≥ 30$.
由于 $x≤ 80$,因此 $30≤ x≤ 80$.
利润 $y=-5x+2\ 000$ 为一次函数,且$-5＜0$,因此当 x 取最小值 30 时,利润最大,此时购进 A 型图书30套,B型图书50套,最大利润为1 850元.
解析
【分析】
(1) 求总利润的函数解析式，首先明确总利润=A型图书总利润+B型图书总利润。先计算单套A、B图书的利润，再根据两种图书共80套，用含x的式子表示B型图书的数量，代入总利润的等量关系即可得到y与x的函数解析式。
(2) 先根据“购进两种图书的总费用不超过3700元”的限制条件，列出关于x的一元一次不等式，求解得到x的取值范围；再结合所得一次函数的增减性，判断x取何值时总利润y最大，代入计算即可得到最大利润和对应的进货方案。
【解析】
(1) 设购进A型图书x套，则购进B型图书(80-x)套。
单套A型图书利润为$60-40=20$元，单套B型图书利润为$75-50=25$元。
根据总利润等于两类图书利润之和，可得：
$y=20x+25(80-x)$
化简得：$y=-5x+2000$
(2) 根据购进总费用不超过3700元，列不等式：
$40x+50(80-x)≤ 3700$
解不等式：
$40x+4000-50x≤ 3700$
$-10x≤ -300$
$x≥ 30$
结合x的实际意义，x的取值范围为$30≤ x≤ 80$，且x为正整数。
观察一次函数$y=-5x+2000$，其中$k=-5＜0$，因此y随x的增大而减小。
所以当x取最小值30时，y取得最大值：
$y=-5×30+2000=1850$（元）
此时B型图书的数量为$80-30=50$（套）
【答案】
(1) $y=-5x+2000$；
(2) 购进A型图书30套，B型图书50套时获利最多，最大利润为1850元。
【知识点】
一次函数解析式求解；一元一次不等式应用；一次函数增减性
【点评】
本题是结合销售场景的实际应用题，将函数与不等式结合考查，解题的核心是理清利润、成本等数量关系，再利用一次函数的增减性求最值，能够很好地锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求总利润的函数解析式，首先明确总利润=A型图书总利润+B型图书总利润。先计算单套A、B图书的利润，再根据两种图书共80套，用含x的式子表示B型图书的数量，代入总利润的等量关系即可得到y与x的函数解析式。
(2) 先根据“购进两种图书的总费用不超过3700元”的限制条件，列出关于x的一元一次不等式，求解得到x的取值范围；再结合所得一次函数的增减性，判断x取何值时总利润y最大，代入计算即可得到最大利润和对应的进货方案。
【解析】
(1) 设购进A型图书x套，则购进B型图书(80-x)套。
单套A型图书利润为$60-40=20$元，单套B型图书利润为$75-50=25$元。
根据总利润等于两类图书利润之和，可得：
$y=20x+25(80-x)$
化简得：$y=-5x+2000$
(2) 根据购进总费用不超过3700元，列不等式：
$40x+50(80-x)≤ 3700$
解不等式：
$40x+4000-50x≤ 3700$
$-10x≤ -300$
$x≥ 30$
结合x的实际意义，x的取值范围为$30≤ x≤ 80$，且x为正整数。
观察一次函数$y=-5x+2000$，其中$k=-5＜0$，因此y随x的增大而减小。
所以当x取最小值30时，y取得最大值：
$y=-5×30+2000=1850$（元）
此时B型图书的数量为$80-30=50$（套）
【答案】
(1) $y=-5x+2000$；
(2) 购进A型图书30套，B型图书50套时获利最多，最大利润为1850元。
【知识点】
一次函数解析式求解；一元一次不等式应用；一次函数增减性
【点评】
本题是结合销售场景的实际应用题，将函数与不等式结合考查，解题的核心是理清利润、成本等数量关系，再利用一次函数的增减性求最值，能够很好地锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
7.“五一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游。
根据所给信息，解答下列问题：
(1)设租车时间为x h，租用甲公司的车所需费用为y₁元，租用乙公司的车所需费用为y₂元，分别求出y₁，y₂关于x的函数解析式；
(2)请你帮助小明计算并选择哪个出游方案合算。
根据所给信息，解答下列问题：
(1)设租车时间为x h，租用甲公司的车所需费用为y₁元，租用乙公司的车所需费用为y₂元，分别求出y₁，y₂关于x的函数解析式；
(2)请你帮助小明计算并选择哪个出游方案合算。
答案
7.解:(1)设 $y_1=k_1 x+80(k_1 ≠ 0)$.
把点(1,95)代入,得 $95=k_1+80$,
解得 $k_1=15,\therefore y_1=15x+80(x≥ 0)$；
设 $y_2=k_2 x(k_2 ≠ 0)$.
把(1,30)代入,得 $k_2=30,\therefore y_2=30x(x≥ 0)$.
(2)当 $y_1=y_2$ 时,$15x+80=30x$,解得 $x=\frac{16}{3}$；
当 $y_1＞y_2$ 时,$15x+80＞30x$,解得 $x＜\frac{16}{3}$；
当 $y_1＜y_2$ 时,$15x+80＜30x$,解得 $x＞\frac{16}{3}$,
∴当租车时间为$\frac{16}{3}$ h时,选择甲、乙公司一样合算；
当租车时间小于$\frac{16}{3}$ h时,选择乙公司合算;当租车时间大于$\frac{16}{3}$ h时,选择甲公司合算.
把点(1,95)代入,得 $95=k_1+80$,
解得 $k_1=15,\therefore y_1=15x+80(x≥ 0)$；
设 $y_2=k_2 x(k_2 ≠ 0)$.
把(1,30)代入,得 $k_2=30,\therefore y_2=30x(x≥ 0)$.
(2)当 $y_1=y_2$ 时,$15x+80=30x$,解得 $x=\frac{16}{3}$；
当 $y_1＞y_2$ 时,$15x+80＞30x$,解得 $x＜\frac{16}{3}$；
当 $y_1＜y_2$ 时,$15x+80＜30x$,解得 $x＞\frac{16}{3}$,
∴当租车时间为$\frac{16}{3}$ h时,选择甲、乙公司一样合算；
当租车时间小于$\frac{16}{3}$ h时,选择乙公司合算;当租车时间大于$\frac{16}{3}$ h时,选择甲公司合算.
解析
【分析】
(1) 求两个函数解析式时，先根据两家公司的费用构成确定函数类型：甲公司有固定租金80元，费用为一次函数，形式为$y_1=k_1x+80$，已知函数过点$(1,95)$，用待定系数法代入即可求出$k_1$；乙公司无固定租金，费用为正比例函数，形式为$y_2=k_2x$，已知函数过点$(1,30)$，代入即可求出$k_2$，注意自变量租车时间$x$的取值范围为非负数。
(2) 判断哪个方案合算，本质是比较相同租车时间下$y_1$和$y_2$的大小，分三种情况讨论：费用相等、甲费用更高、乙费用更高，分别解方程和不等式得到对应$x$的取值范围，即可得到不同租车时长下的最优方案。
【解析】
(1) 设租用甲公司的费用函数为 $y_1=k_1 x+80(k_1 ≠ 0)$，
把点$(1,95)$代入，得 $95=k_1+80$，
解得 $k_1=15$，因此$y_1=15x+80(x≥ 0)$；
设租用乙公司的费用函数为 $y_2=k_2 x(k_2 ≠ 0)$，
把点$(1,30)$代入，得 $k_2=30$，因此$y_2=30x(x≥ 0)$。
(2) 分情况比较费用：
当 $y_1=y_2$ 时，$15x+80=30x$，解得 $x=\frac{16}{3}$；
当 $y_1＞y_2$ 时，$15x+80＞30x$，解得 $x＜\frac{16}{3}$；
当 $y_1＜y_2$ 时，$15x+80＜30x$，解得 $x＞\frac{16}{3}$。
【答案】
(1) $y_1=15x+80(x≥ 0)$，$y_2=30x(x≥ 0)$；
(2) 当租车时间为$\frac{16}{3}\ \mathrm{h}$时，选择甲、乙公司一样合算；当租车时间小于$\frac{16}{3}\ \mathrm{h}$时，选择乙公司合算；当租车时间大于$\frac{16}{3}\ \mathrm{h}$时，选择甲公司合算。
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 一次函数实际应用
3. 最优方案选择
【点评】
本题结合生活中的租车场景出题，考查了一次函数解析式求解和分类讨论比较函数值的能力，既需要掌握基础的待定系数法，也需要结合实际需求分析不同情况的最优选择，能够有效锻炼用数学知识解决实际问题的意识。
【难度系数】
0.7
(1) 求两个函数解析式时，先根据两家公司的费用构成确定函数类型：甲公司有固定租金80元，费用为一次函数，形式为$y_1=k_1x+80$，已知函数过点$(1,95)$，用待定系数法代入即可求出$k_1$；乙公司无固定租金，费用为正比例函数，形式为$y_2=k_2x$，已知函数过点$(1,30)$，代入即可求出$k_2$，注意自变量租车时间$x$的取值范围为非负数。
(2) 判断哪个方案合算，本质是比较相同租车时间下$y_1$和$y_2$的大小，分三种情况讨论：费用相等、甲费用更高、乙费用更高，分别解方程和不等式得到对应$x$的取值范围，即可得到不同租车时长下的最优方案。
【解析】
(1) 设租用甲公司的费用函数为 $y_1=k_1 x+80(k_1 ≠ 0)$，
把点$(1,95)$代入，得 $95=k_1+80$，
解得 $k_1=15$，因此$y_1=15x+80(x≥ 0)$；
设租用乙公司的费用函数为 $y_2=k_2 x(k_2 ≠ 0)$，
把点$(1,30)$代入，得 $k_2=30$，因此$y_2=30x(x≥ 0)$。
(2) 分情况比较费用：
当 $y_1=y_2$ 时，$15x+80=30x$，解得 $x=\frac{16}{3}$；
当 $y_1＞y_2$ 时，$15x+80＞30x$，解得 $x＜\frac{16}{3}$；
当 $y_1＜y_2$ 时，$15x+80＜30x$，解得 $x＞\frac{16}{3}$。
【答案】
(1) $y_1=15x+80(x≥ 0)$，$y_2=30x(x≥ 0)$；
(2) 当租车时间为$\frac{16}{3}\ \mathrm{h}$时，选择甲、乙公司一样合算；当租车时间小于$\frac{16}{3}\ \mathrm{h}$时，选择乙公司合算；当租车时间大于$\frac{16}{3}\ \mathrm{h}$时，选择甲公司合算。
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 一次函数实际应用
3. 最优方案选择
【点评】
本题结合生活中的租车场景出题，考查了一次函数解析式求解和分类讨论比较函数值的能力，既需要掌握基础的待定系数法，也需要结合实际需求分析不同情况的最优选择，能够有效锻炼用数学知识解决实际问题的意识。
【难度系数】
0.7
