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1.如图，直线$y=ax+b$和直线$y=mx+n$相交于点$P$，则根据图象分析，关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}ax - y + b = 0, \\ mx - y + n = 0\end{cases}$的解是（ ）
A.$\begin{cases}x=-2 \\ y=4\end{cases}$
B.$\begin{cases}x=2 \\ y=-4\end{cases}$
C.$\begin{cases}x=2 \\ y=4\end{cases}$
D.$\begin{cases}x=-2 \\ y=-4\end{cases}$
A.$\begin{cases}x=-2 \\ y=4\end{cases}$
B.$\begin{cases}x=2 \\ y=-4\end{cases}$
C.$\begin{cases}x=2 \\ y=4\end{cases}$
D.$\begin{cases}x=-2 \\ y=-4\end{cases}$
答案
1.C
解析
【分析】
二元一次方程组的解对应组成方程组的两个方程所代表的一次函数图象的交点坐标，因为交点处的x、y值同时满足两个一次函数解析式，自然也满足对应的二元一次方程。本题先将给出的方程组变形为一次函数形式，可发现其正好对应图中的两条直线，因此只需读出两条直线交点的坐标，即可得到方程组的解。
【解析】
先对给定的二元一次方程组进行移项变形：
由$ax - y + b = 0$可得$y=ax+b$，
由$mx - y + n = 0$可得$y=mx+n$，
因此该方程组的解就是直线$y=ax+b$和直线$y=mx+n$的交点坐标。
根据图象可知，两条直线的交点$P$的坐标为$(2,4)$，即方程组的解为$\begin{cases}x=2 \\ y=4\end{cases}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系；一次函数的图象
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，解题核心是明确两个一次函数的交点坐标与对应二元一次方程组的解的对应关系，掌握该知识点即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
二元一次方程组的解对应组成方程组的两个方程所代表的一次函数图象的交点坐标，因为交点处的x、y值同时满足两个一次函数解析式，自然也满足对应的二元一次方程。本题先将给出的方程组变形为一次函数形式，可发现其正好对应图中的两条直线，因此只需读出两条直线交点的坐标，即可得到方程组的解。
【解析】
先对给定的二元一次方程组进行移项变形：
由$ax - y + b = 0$可得$y=ax+b$，
由$mx - y + n = 0$可得$y=mx+n$，
因此该方程组的解就是直线$y=ax+b$和直线$y=mx+n$的交点坐标。
根据图象可知，两条直线的交点$P$的坐标为$(2,4)$，即方程组的解为$\begin{cases}x=2 \\ y=4\end{cases}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系；一次函数的图象
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，解题核心是明确两个一次函数的交点坐标与对应二元一次方程组的解的对应关系，掌握该知识点即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
2. 下列选项中，直线上每个点的坐标都可看作二元一次方程 $2x - y = 2$ 的解的是 （
B
）答案
2.B
解析
【分析】
要判断哪个直线上的点都是方程$2x-y=2$的解，首先需将二元一次方程转化为对应的一次函数形式，二元一次方程的所有解对应其一次函数图象上的所有点。接下来求出该一次函数与x轴、y轴的交点坐标，再对比选项中的直线是否过这两个交点即可。
【解析】
首先对二元一次方程$2x - y = 2$变形，移项可得：$y = 2x - 2$。
1. 求函数与x轴的交点：令$y=0$，代入得$2x - 2 = 0$，解得$x=1$，即与x轴交点为$(1,0)$。
2. 求函数与y轴的交点：令$x=0$，代入得$y=2×0 - 2 = -2$，即与y轴交点为$(0,-2)$。
观察各选项图象，只有选项B的直线同时过点$(1,0)$和$(0,-2)$，符合要求。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程与一次函数的关系、一次函数交点求解
【点评】
本题属于基础题型，核心是理解二元一次方程和对应一次函数图象的对应关系，通过求解函数与坐标轴的交点即可快速判断对应图象，掌握该对应关系是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.7
要判断哪个直线上的点都是方程$2x-y=2$的解，首先需将二元一次方程转化为对应的一次函数形式，二元一次方程的所有解对应其一次函数图象上的所有点。接下来求出该一次函数与x轴、y轴的交点坐标，再对比选项中的直线是否过这两个交点即可。
【解析】
首先对二元一次方程$2x - y = 2$变形，移项可得：$y = 2x - 2$。
1. 求函数与x轴的交点：令$y=0$，代入得$2x - 2 = 0$，解得$x=1$，即与x轴交点为$(1,0)$。
2. 求函数与y轴的交点：令$x=0$，代入得$y=2×0 - 2 = -2$，即与y轴交点为$(0,-2)$。
观察各选项图象，只有选项B的直线同时过点$(1,0)$和$(0,-2)$，符合要求。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程与一次函数的关系、一次函数交点求解
【点评】
本题属于基础题型，核心是理解二元一次方程和对应一次函数图象的对应关系，通过求解函数与坐标轴的交点即可快速判断对应图象，掌握该对应关系是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.7
3.若直线$y=3x+6$与$y=2x-4$的交点坐标为$(a,b)$，则$\begin{cases}x=a, \\ y=b\end{cases}$是下列哪个方程组的解（ ）
A.$\begin{cases} y-3x=6 \\ 2x-y=4 \end{cases}$
B.$\begin{cases} y-3x=6 \\ 2x-y=-4 \end{cases}$
C.$\begin{cases} 3x-y=6 \\ 2x-y=4 \end{cases}$
D.$\begin{cases} 3x-y=6 \\ 2x-y=-4 \end{cases}$
A.$\begin{cases} y-3x=6 \\ 2x-y=4 \end{cases}$
B.$\begin{cases} y-3x=6 \\ 2x-y=-4 \end{cases}$
C.$\begin{cases} 3x-y=6 \\ 2x-y=4 \end{cases}$
D.$\begin{cases} 3x-y=6 \\ 2x-y=-4 \end{cases}$
答案
3.A
解析
【分析】
解题有两种思路：第一种利用一次函数与二元一次方程组的核心关系：两个一次函数图象的交点坐标，就是由这两个函数解析式联立得到的二元一次方程组的解，只需将两条直线的解析式变形为等号右侧为常数的二元一次方程形式，匹配选项即可，该方法更快捷；第二种是先计算出两条直线的交点坐标，再将坐标代入四个选项的方程组验证，满足所有方程的即为正确答案。
【解析】
方法一：根据一次函数与二元一次方程组的关系，直线$y=3x+6$与$y=2x-4$的交点坐标就是两式联立得到的方程组的解。
对$y=3x+6$移项，可得：$y - 3x = 6$；
对$y=2x-4$移项，可得：$2x - y = 4$。
联立两个方程得到方程组$\begin{cases} y-3x=6 \\ 2x-y=4 \end{cases}$，对应选项A。
方法二：先求交点坐标，联立$\begin{cases} y=3x+6 \\ y=2x-4 \end{cases}$，
令$3x+6=2x-4$，解得$x=-10$，代入$y=3x+6$得$y=3×(-10)+6=-24$，即交点为$(-10,-24)$。
将$x=-10,y=-24$代入各选项验证：
代入A选项：$y-3x=-24 - 3×(-10)=6$，$2x-y=2×(-10)-(-24)=4$，两个方程都成立，故A正确。
【答案】
A
【知识点】
1.一次函数与二元一次方程组的关系
2.二元一次方程变形
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一次函数图象交点和二元一次方程组解的对应逻辑，两种解题方法都容易掌握，熟练掌握对应关系可以快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解题有两种思路：第一种利用一次函数与二元一次方程组的核心关系：两个一次函数图象的交点坐标，就是由这两个函数解析式联立得到的二元一次方程组的解，只需将两条直线的解析式变形为等号右侧为常数的二元一次方程形式，匹配选项即可，该方法更快捷；第二种是先计算出两条直线的交点坐标，再将坐标代入四个选项的方程组验证，满足所有方程的即为正确答案。
【解析】
方法一：根据一次函数与二元一次方程组的关系，直线$y=3x+6$与$y=2x-4$的交点坐标就是两式联立得到的方程组的解。
对$y=3x+6$移项，可得：$y - 3x = 6$；
对$y=2x-4$移项，可得：$2x - y = 4$。
联立两个方程得到方程组$\begin{cases} y-3x=6 \\ 2x-y=4 \end{cases}$，对应选项A。
方法二：先求交点坐标，联立$\begin{cases} y=3x+6 \\ y=2x-4 \end{cases}$，
令$3x+6=2x-4$，解得$x=-10$，代入$y=3x+6$得$y=3×(-10)+6=-24$，即交点为$(-10,-24)$。
将$x=-10,y=-24$代入各选项验证：
代入A选项：$y-3x=-24 - 3×(-10)=6$，$2x-y=2×(-10)-(-24)=4$，两个方程都成立，故A正确。
【答案】
A
【知识点】
1.一次函数与二元一次方程组的关系
2.二元一次方程变形
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一次函数图象交点和二元一次方程组解的对应逻辑，两种解题方法都容易掌握，熟练掌握对应关系可以快速得出答案。
【难度系数】
0.8
4. 如图，已知函数 $ y=2x+b $ 与函数 $ y=kx-3 $ 的图象交于点 $ P $，则不等式 $ kx-3＞2x+b $ 的解集是 （
A.$ x＞-6 $
B.$ x＜-6 $
C.$ x＞2 $
D.$ x＜2 $
D
）A.$ x＞-6 $
B.$ x＜-6 $
C.$ x＞2 $
D.$ x＜2 $
答案
4.D
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要明确一次函数与一元一次不等式的对应关系：不等式$kx-3＞2x+b$的几何意义是直线$y=kx-3$的图象位于直线$y=2x+b$图象上方时，对应的$x$的取值范围。首先从图中读取两直线交点$P$的横坐标，再观察交点两侧两条直线的上下位置关系，就能确定不等式的解集。
【解析】
1. 确定交点坐标：由图可知，函数$y=2x+b$和$y=kx-3$的图象交于点$P$，$P$的横坐标为$2$，纵坐标为$-6$。
2. 转化不等式含义：不等式$kx-3＞2x+b$表示的是$y=kx-3$的函数值大于$y=2x+b$的函数值，对应图象上就是$y=kx-3$的图象在$y=2x+b$图象的上方。
3. 观察图象得解集：观察图象可知，当$x＜2$时，直线$y=kx-3$位于直线$y=2x+b$的上方，满足$kx-3＞2x+b$，因此不等式的解集为$x＜2$。
所以本题选D。
【答案】
D
【知识点】
一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象性质
【点评】
本题考查结合一次函数图象求解不等式解集，核心是理解函数值大小关系和图象上下位置的对应关系，属于一次函数的基础考查题型，掌握数形结合的思想即可快速解题。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先要明确一次函数与一元一次不等式的对应关系：不等式$kx-3＞2x+b$的几何意义是直线$y=kx-3$的图象位于直线$y=2x+b$图象上方时，对应的$x$的取值范围。首先从图中读取两直线交点$P$的横坐标，再观察交点两侧两条直线的上下位置关系，就能确定不等式的解集。
【解析】
1. 确定交点坐标：由图可知，函数$y=2x+b$和$y=kx-3$的图象交于点$P$，$P$的横坐标为$2$，纵坐标为$-6$。
2. 转化不等式含义：不等式$kx-3＞2x+b$表示的是$y=kx-3$的函数值大于$y=2x+b$的函数值，对应图象上就是$y=kx-3$的图象在$y=2x+b$图象的上方。
3. 观察图象得解集：观察图象可知，当$x＜2$时，直线$y=kx-3$位于直线$y=2x+b$的上方，满足$kx-3＞2x+b$，因此不等式的解集为$x＜2$。
所以本题选D。
【答案】
D
【知识点】
一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象性质
【点评】
本题考查结合一次函数图象求解不等式解集，核心是理解函数值大小关系和图象上下位置的对应关系，属于一次函数的基础考查题型，掌握数形结合的思想即可快速解题。
【难度系数】
0.7
5.如图,直线$l:y=ax+b$与直线$m:y=-\dfrac{1}{2}x+2$相交于点$P(c,1)$.
(1)求$c$的值；
(2)写出方程组$\begin{cases}ax-y=-b,\\\dfrac{1}{2}x+y=2\end{cases}$的解；
(3)直线$n:y=bx+a$能否也经过点$P$？若能,求出$a,b$的值；若不能,请说明理由.
(1)求$c$的值；
(2)写出方程组$\begin{cases}ax-y=-b,\\\dfrac{1}{2}x+y=2\end{cases}$的解；
(3)直线$n:y=bx+a$能否也经过点$P$？若能,求出$a,b$的值；若不能,请说明理由.
答案
5.解:(1)将点$P(c,1)$代入$y=-\dfrac{1}{2}x+2$,
得$1=-\dfrac{1}{2}c+2$,解得$c=2$.
(2)由(1)可知$c=2$,$\therefore$直线$l$和直线$m$的交点坐标为$(2,1)$,
即方程组$\begin{cases}ax-y=-b,\\\dfrac{1}{2}x+y=2\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=2,\\y=1.\end{cases}$
(3)直线$n:y=bx+a$能经过点$P$.
将点$(2,1)$代入直线$l:y=ax+b$,得$2a+b=1$,
将点$(2,1)$代入直线$n:y=bx+a$,得$2b+a=1$,
联立$\begin{cases}2a+b=1,\\2b+a=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\dfrac{1}{3},\\b=\dfrac{1}{3},\end{cases}$
$\therefore$当$a=b=\dfrac{1}{3}$时,直线$n:y=bx+a$能经过点$P$.
得$1=-\dfrac{1}{2}c+2$,解得$c=2$.
(2)由(1)可知$c=2$,$\therefore$直线$l$和直线$m$的交点坐标为$(2,1)$,
即方程组$\begin{cases}ax-y=-b,\\\dfrac{1}{2}x+y=2\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=2,\\y=1.\end{cases}$
(3)直线$n:y=bx+a$能经过点$P$.
将点$(2,1)$代入直线$l:y=ax+b$,得$2a+b=1$,
将点$(2,1)$代入直线$n:y=bx+a$,得$2b+a=1$,
联立$\begin{cases}2a+b=1,\\2b+a=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\dfrac{1}{3},\\b=\dfrac{1}{3},\end{cases}$
$\therefore$当$a=b=\dfrac{1}{3}$时,直线$n:y=bx+a$能经过点$P$.
解析
【分析】
(1) 点$P$在直线$m$上，根据一次函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式的性质，将$P(c,1)$代入直线$m$的解析式，建立关于$c$的一元一次方程，解方程即可求出$c$的值。
(2) 所求方程组整理后分别对应直线$l$和直线$m$的解析式，根据“两个一次函数图象的交点坐标就是对应二元一次方程组的解”，结合第一问求出的$P$点坐标，直接得到方程组的解。
(3) 要判断直线$n$是否经过点$P$，先将$P$点坐标代入直线$l$的解析式得到$a$、$b$的一个关系式，再假设直线$n$经过$P$，将$P$坐标代入$n$的解析式得到$a$、$b$的另一个关系式，联立两个关系式，若有解则说明直线$n$能经过$P$，同时求出对应的$a$、$b$的值。
【解析】
(1) 将点$P(c,1)$代入直线$m:y=-\dfrac{1}{2}x+2$，得：
$1=-\dfrac{1}{2}c+2$
解得$c=2$。
(2) 由(1)可得点$P$的坐标为$(2,1)$，即直线$l$和直线$m$的交点坐标为$(2,1)$。
方程组$\begin{cases}ax-y=-b\\\dfrac{1}{2}x+y=2\end{cases}$可变形为$\begin{cases}y=ax+b\\y=-\dfrac{1}{2}x+2\end{cases}$，因此该方程组的解为两直线交点的坐标，即$\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}$。
(3) 直线$n:y=bx+a$能经过点$P$，求解过程如下：
将点$P(2,1)$代入直线$l:y=ax+b$，得$2a+b=1$ ①；
若直线$n$经过点$P$，将$(2,1)$代入$y=bx+a$，得$2b+a=1$ ②；
联立①②得方程组$\begin{cases}2a+b=1\\a+2b=1\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=\dfrac{1}{3}\\b=\dfrac{1}{3}\end{cases}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{c=2}$；
(2) $\boldsymbol{\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}}$；
(3) 能，$\boldsymbol{a=\dfrac{1}{3}}$，$\boldsymbol{b=\dfrac{1}{3}}$。
【知识点】
1. 一次函数图象上点的坐标特征
2. 一次函数与二元一次方程组的关系
3. 解二元一次方程组
【点评】
本题属于一次函数基础综合题，核心考查一次函数和二元一次方程（组）的对应关系，解题时只要抓住“点在函数图象上则坐标满足解析式”“两函数交点坐标为对应方程组的解”两个核心规律，结合代入法求解即可完成解答。
【难度系数】
0.8
(1) 点$P$在直线$m$上，根据一次函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式的性质，将$P(c,1)$代入直线$m$的解析式，建立关于$c$的一元一次方程，解方程即可求出$c$的值。
(2) 所求方程组整理后分别对应直线$l$和直线$m$的解析式，根据“两个一次函数图象的交点坐标就是对应二元一次方程组的解”，结合第一问求出的$P$点坐标，直接得到方程组的解。
(3) 要判断直线$n$是否经过点$P$，先将$P$点坐标代入直线$l$的解析式得到$a$、$b$的一个关系式，再假设直线$n$经过$P$，将$P$坐标代入$n$的解析式得到$a$、$b$的另一个关系式，联立两个关系式，若有解则说明直线$n$能经过$P$，同时求出对应的$a$、$b$的值。
【解析】
(1) 将点$P(c,1)$代入直线$m:y=-\dfrac{1}{2}x+2$，得：
$1=-\dfrac{1}{2}c+2$
解得$c=2$。
(2) 由(1)可得点$P$的坐标为$(2,1)$，即直线$l$和直线$m$的交点坐标为$(2,1)$。
方程组$\begin{cases}ax-y=-b\\\dfrac{1}{2}x+y=2\end{cases}$可变形为$\begin{cases}y=ax+b\\y=-\dfrac{1}{2}x+2\end{cases}$，因此该方程组的解为两直线交点的坐标，即$\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}$。
(3) 直线$n:y=bx+a$能经过点$P$，求解过程如下：
将点$P(2,1)$代入直线$l:y=ax+b$，得$2a+b=1$ ①；
若直线$n$经过点$P$，将$(2,1)$代入$y=bx+a$，得$2b+a=1$ ②；
联立①②得方程组$\begin{cases}2a+b=1\\a+2b=1\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=\dfrac{1}{3}\\b=\dfrac{1}{3}\end{cases}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{c=2}$；
(2) $\boldsymbol{\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}}$；
(3) 能，$\boldsymbol{a=\dfrac{1}{3}}$，$\boldsymbol{b=\dfrac{1}{3}}$。
【知识点】
1. 一次函数图象上点的坐标特征
2. 一次函数与二元一次方程组的关系
3. 解二元一次方程组
【点评】
本题属于一次函数基础综合题，核心考查一次函数和二元一次方程（组）的对应关系，解题时只要抓住“点在函数图象上则坐标满足解析式”“两函数交点坐标为对应方程组的解”两个核心规律，结合代入法求解即可完成解答。
【难度系数】
0.8
