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9. 在$□ ABCD$中，$∠ DAB$的平分线将边$BC$分为3 cm和4 cm两部分，则$□ ABCD$的周长为
20 cm或22 cm
。答案
9.20 cm或22 cm
解析
【分析】
解题时先利用平行四边形对边平行的性质，结合角平分线的定义推导得到等腰三角形，明确AB的长等于角平分线分BC所得两段中的一段；由于题目未说明分BC得到的两段哪段靠近点B，因此需要分两种情况讨论，分别计算AB和BC的长度，最后根据平行四边形周长公式求解即可。
【解析】
设∠DAB的平分线交BC于点E。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB=CD，AD=BC，
∴∠DAE=∠AEB（两直线平行，内错角相等）。
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE（等角对等边）。
分两种情况讨论：
① 当BE=3 cm，EC=4 cm时：
BC=BE+EC=3+4=7 cm，AB=3 cm，
平行四边形ABCD的周长=2×(AB+BC)=2×(3+7)=20 cm；
② 当BE=4 cm，EC=3 cm时：
BC=BE+EC=4+3=7 cm，AB=4 cm，
平行四边形ABCD的周长=2×(AB+BC)=2×(4+7)=22 cm。
综上，□ABCD的周长为20 cm或22 cm。
【答案】
20 cm或22 cm
【知识点】
平行四边形的性质；等腰三角形的判定；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略分类讨论，未考虑角平分线分边的两种不同情况，解题时要结合图形性质，全面分析所有可能的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解题时先利用平行四边形对边平行的性质，结合角平分线的定义推导得到等腰三角形，明确AB的长等于角平分线分BC所得两段中的一段；由于题目未说明分BC得到的两段哪段靠近点B，因此需要分两种情况讨论，分别计算AB和BC的长度，最后根据平行四边形周长公式求解即可。
【解析】
设∠DAB的平分线交BC于点E。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB=CD，AD=BC，
∴∠DAE=∠AEB（两直线平行，内错角相等）。
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE（等角对等边）。
分两种情况讨论：
① 当BE=3 cm，EC=4 cm时：
BC=BE+EC=3+4=7 cm，AB=3 cm，
平行四边形ABCD的周长=2×(AB+BC)=2×(3+7)=20 cm；
② 当BE=4 cm，EC=3 cm时：
BC=BE+EC=4+3=7 cm，AB=4 cm，
平行四边形ABCD的周长=2×(AB+BC)=2×(4+7)=22 cm。
综上，□ABCD的周长为20 cm或22 cm。
【答案】
20 cm或22 cm
【知识点】
平行四边形的性质；等腰三角形的判定；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略分类讨论，未考虑角平分线分边的两种不同情况，解题时要结合图形性质，全面分析所有可能的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
10. 如图，在$□ ABCD$中，E，F是对角线BD上的点，且$DE=BF$. 求证：$∠ 1=∠ 2$. 
第10题图
第10题图答案
10.证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC,AD//BC，
∴∠ADE=∠CBF.
在△ADE和△CBF中,
$\begin{cases}AD=CB,\\∠ADE=∠CBF,\\DE=BF,\end{cases}$
∴△ADE≌△CBF(SAS),
∴∠1=∠2.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC,AD//BC，
∴∠ADE=∠CBF.
在△ADE和△CBF中,
$\begin{cases}AD=CB,\\∠ADE=∠CBF,\\DE=BF,\end{cases}$
∴△ADE≌△CBF(SAS),
∴∠1=∠2.
解析
【分析】
要证明∠1=∠2，可通过证明两角所在的△ADE和△CBF全等来实现。首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，得到AD=BC、AD//BC，进而推出内错角∠ADE=∠CBF，再结合已知DE=BF的条件，即可通过SAS判定定理证明两个三角形全等，最后根据全等三角形对应角相等即可得到∠1=∠2。
【解析】
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠ADE=∠CBF。
在△ADE和△CBF中，
$\begin{cases}AD=CB,\\∠ADE=∠CBF,\\DE=BF,\end{cases}$
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴∠1=∠2。
【答案】
∠1=∠2
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的SAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，考查平行四边形性质和三角形全等判定的综合运用，解题核心是找准待证角所在的三角形，结合已知条件推导全等所需的边角关系，熟练掌握相关基础定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
要证明∠1=∠2，可通过证明两角所在的△ADE和△CBF全等来实现。首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，得到AD=BC、AD//BC，进而推出内错角∠ADE=∠CBF，再结合已知DE=BF的条件，即可通过SAS判定定理证明两个三角形全等，最后根据全等三角形对应角相等即可得到∠1=∠2。
【解析】
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠ADE=∠CBF。
在△ADE和△CBF中，
$\begin{cases}AD=CB,\\∠ADE=∠CBF,\\DE=BF,\end{cases}$
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴∠1=∠2。
【答案】
∠1=∠2
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的SAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，考查平行四边形性质和三角形全等判定的综合运用，解题核心是找准待证角所在的三角形，结合已知条件推导全等所需的边角关系，熟练掌握相关基础定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
11. 如图，在$□ ABCD$中，AC，BD相交于点O，过点O的直线交AD于点E，交BC于点F.
(1)求证：四边形AEFB与四边形DEFC的周长相等；
(2)直线EF是否将$□ ABCD$的面积分成二等份？试说明理由.
(1)求证：四边形AEFB与四边形DEFC的周长相等；
(2)直线EF是否将$□ ABCD$的面积分成二等份？试说明理由.
答案
11.(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD,OA=OC,AD//BC，
∴∠OAE=∠OCF.
在△OAE和△OCF中,
$\begin{cases}∠OAE=∠OCF,\\OA=OC,\\∠AOE=∠COF,\end{cases}$
∴△OAE≌△OCF(ASA),
∴AE=CF.
同理可证△ODE≌△OBF,
∴DE=BF，
∴AB+AE+EF+BF=CD+CF+EF+DE，
∴四边形AEFB与四边形DEFC的周长相等.
(2)解:直线EF能将平行四边形ABCD的面积分成二等份.理由如下:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD,OA=OC,OB=OD.
在△AOB和△COD中,
$\begin{cases}AB=CD,\\OA=OC,\\OB=OD,\end{cases}$
∴△AOB≌△COD(SSS),
∴$S_{△AOB}=S_{△COD}$.
由(1)得△OAE≌△OCF,△ODE≌△OBF，
∴$S_{△OAE}=S_{△OCF}$,$S_{△ODE}=S_{△OBF}$，
∴$S_{△AOB}+S_{△OAE}+S_{△OBF}=S_{△COD}+S_{△OCF}+S_{△ODE}$，
∴直线EF能将平行四边形ABCD的面积分成二等份.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD,OA=OC,AD//BC，
∴∠OAE=∠OCF.
在△OAE和△OCF中,
$\begin{cases}∠OAE=∠OCF,\\OA=OC,\\∠AOE=∠COF,\end{cases}$
∴△OAE≌△OCF(ASA),
∴AE=CF.
同理可证△ODE≌△OBF,
∴DE=BF，
∴AB+AE+EF+BF=CD+CF+EF+DE，
∴四边形AEFB与四边形DEFC的周长相等.
(2)解:直线EF能将平行四边形ABCD的面积分成二等份.理由如下:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD,OA=OC,OB=OD.
在△AOB和△COD中,
$\begin{cases}AB=CD,\\OA=OC,\\OB=OD,\end{cases}$
∴△AOB≌△COD(SSS),
∴$S_{△AOB}=S_{△COD}$.
由(1)得△OAE≌△OCF,△ODE≌△OBF，
∴$S_{△OAE}=S_{△OCF}$,$S_{△ODE}=S_{△OBF}$，
∴$S_{△AOB}+S_{△OAE}+S_{△OBF}=S_{△COD}+S_{△OCF}+S_{△ODE}$，
∴直线EF能将平行四边形ABCD的面积分成二等份.
解析
【分析】
(1) 要证明两个四边形周长相等，本质是证明二者的各边长度之和相等。已知四边形ABCD是平行四边形，首先可得到对边相等的结论，因此只需证明剩余的对应边AE=CF、BF=DE即可。要证边相等，可通过证明三角形全等实现：利用平行四边形对角线互相平分得OA=OC，AD平行于BC可得内错角相等，结合对顶角相等，用ASA即可证明△OAE≌△OCF得到AE=CF，同理可证DE=BF，最终推导得出两个四边形周长相等。
(2) 要判断EF是否平分平行四边形面积，只需证明EF两侧的图形面积相等。可将两侧面积拆分为多个三角形面积之和，利用全等三角形面积相等的性质，结合已证的△OAE≌△OCF、△ODE≌△OBF，以及平行四边形中△AOB和△COD全等、面积相等的结论，将对应面积相加即可得到两侧面积相等，说明EF可以平分平行四边形面积。
【解析】
(1) 证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD,OA=OC,AD//BC，
∴∠OAE=∠OCF.
在△OAE和△OCF中,
$\begin{cases}∠OAE=∠OCF,\\OA=OC,\\∠AOE=∠COF,\end{cases}$
∴△OAE≌△OCF(ASA),
∴AE=CF.
同理可证△ODE≌△OBF,
∴DE=BF，
∴AB+AE+EF+BF=CD+CF+EF+DE，
∴四边形AEFB与四边形DEFC的周长相等.
(2) 解:直线EF能将平行四边形ABCD的面积分成二等份.理由如下:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD,OA=OC,OB=OD.
在△AOB和△COD中,
$\begin{cases}AB=CD,\\OA=OC,\\OB=OD,\end{cases}$
∴△AOB≌△COD(SSS),
∴$S_{△AOB}=S_{△COD}$.
由(1)得△OAE≌△OCF,△ODE≌△OBF，
∴$S_{△OAE}=S_{△OCF}$,$S_{△ODE}=S_{△OBF}$，
∴$S_{△AOB}+S_{△OAE}+S_{△OBF}=S_{△COD}+S_{△OCF}+S_{△ODE}$，
∴直线EF能将平行四边形ABCD的面积分成二等份.
【答案】
(1) 四边形AEFB与四边形DEFC的周长相等；
(2) 直线EF能将$□ ABCD$的面积分成二等份。
【知识点】
平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，周长与面积计算
【点评】
本题是平行四边形板块的基础典型题，解题核心是利用平行四边形对角线互相平分、对边平行且相等的性质构造全等三角形，通过全等的性质推导边相等、面积相等，进而解决周长和面积的相关问题，能有效帮助巩固平行四边形和全等三角形的基础知识点。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明两个四边形周长相等，本质是证明二者的各边长度之和相等。已知四边形ABCD是平行四边形，首先可得到对边相等的结论，因此只需证明剩余的对应边AE=CF、BF=DE即可。要证边相等，可通过证明三角形全等实现：利用平行四边形对角线互相平分得OA=OC，AD平行于BC可得内错角相等，结合对顶角相等，用ASA即可证明△OAE≌△OCF得到AE=CF，同理可证DE=BF，最终推导得出两个四边形周长相等。
(2) 要判断EF是否平分平行四边形面积，只需证明EF两侧的图形面积相等。可将两侧面积拆分为多个三角形面积之和，利用全等三角形面积相等的性质，结合已证的△OAE≌△OCF、△ODE≌△OBF，以及平行四边形中△AOB和△COD全等、面积相等的结论，将对应面积相加即可得到两侧面积相等，说明EF可以平分平行四边形面积。
【解析】
(1) 证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD,OA=OC,AD//BC，
∴∠OAE=∠OCF.
在△OAE和△OCF中,
$\begin{cases}∠OAE=∠OCF,\\OA=OC,\\∠AOE=∠COF,\end{cases}$
∴△OAE≌△OCF(ASA),
∴AE=CF.
同理可证△ODE≌△OBF,
∴DE=BF，
∴AB+AE+EF+BF=CD+CF+EF+DE，
∴四边形AEFB与四边形DEFC的周长相等.
(2) 解:直线EF能将平行四边形ABCD的面积分成二等份.理由如下:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD,OA=OC,OB=OD.
在△AOB和△COD中,
$\begin{cases}AB=CD,\\OA=OC,\\OB=OD,\end{cases}$
∴△AOB≌△COD(SSS),
∴$S_{△AOB}=S_{△COD}$.
由(1)得△OAE≌△OCF,△ODE≌△OBF，
∴$S_{△OAE}=S_{△OCF}$,$S_{△ODE}=S_{△OBF}$，
∴$S_{△AOB}+S_{△OAE}+S_{△OBF}=S_{△COD}+S_{△OCF}+S_{△ODE}$，
∴直线EF能将平行四边形ABCD的面积分成二等份.
【答案】
(1) 四边形AEFB与四边形DEFC的周长相等；
(2) 直线EF能将$□ ABCD$的面积分成二等份。
【知识点】
平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，周长与面积计算
【点评】
本题是平行四边形板块的基础典型题，解题核心是利用平行四边形对角线互相平分、对边平行且相等的性质构造全等三角形，通过全等的性质推导边相等、面积相等，进而解决周长和面积的相关问题，能有效帮助巩固平行四边形和全等三角形的基础知识点。
【难度系数】
0.7
