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9.若关于$x,y$的方程组$\begin{cases}2x - 3ay = 4, \\4x - (2a - 1)y = 8\end{cases}$只有一组解，则$a$的值不等于（ ）
A.$\frac{1}{2}$
B.$-\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$-\frac{1}{4}$
A.$\frac{1}{2}$
B.$-\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$-\frac{1}{4}$
答案
9.D
解析
【分析】
要判断二元一次方程组只有一组解时a的取值范围，我们可以用加减消元法消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程。若一元一次方程有唯一解，则原方程组就只有一组解，此时一元一次方程的未知数系数不能为0，据此可求出a不能取的值。
【解析】
解：记方程组为$\begin{cases}2x - 3ay = 4&① \\4x - (2a - 1)y = 8&②\end{cases}$
将①两边同时乘2，得：$4x - 6ay = 8$ ③
用②减去③，消去x：
$\begin{aligned}[4x - (2a-1)y] - (4x - 6ay) &= 8 - 8 \\4x -2a y + y -4x +6a y &= 0 \\(4a + 1)y &= 0\end{aligned}$
若方程组只有一组解，则上述关于y的一元一次方程有唯一解，因此y的系数不能为0，即：
$4a + 1 ≠ 0$
解得$a ≠ -\frac{1}{4}$
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组的解；加减消元法；一元一次方程解的判定
【点评】
本题核心是将二元一次方程组解的问题转化为一元一次方程解的问题，解题的关键是熟练掌握加减消元法，理解方程组有唯一解对应消元后一元一次方程的系数不为0的规律。
【难度系数】
0.7
要判断二元一次方程组只有一组解时a的取值范围，我们可以用加减消元法消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程。若一元一次方程有唯一解，则原方程组就只有一组解，此时一元一次方程的未知数系数不能为0，据此可求出a不能取的值。
【解析】
解：记方程组为$\begin{cases}2x - 3ay = 4&① \\4x - (2a - 1)y = 8&②\end{cases}$
将①两边同时乘2，得：$4x - 6ay = 8$ ③
用②减去③，消去x：
$\begin{aligned}[4x - (2a-1)y] - (4x - 6ay) &= 8 - 8 \\4x -2a y + y -4x +6a y &= 0 \\(4a + 1)y &= 0\end{aligned}$
若方程组只有一组解，则上述关于y的一元一次方程有唯一解，因此y的系数不能为0，即：
$4a + 1 ≠ 0$
解得$a ≠ -\frac{1}{4}$
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组的解；加减消元法；一元一次方程解的判定
【点评】
本题核心是将二元一次方程组解的问题转化为一元一次方程解的问题，解题的关键是熟练掌握加减消元法，理解方程组有唯一解对应消元后一元一次方程的系数不为0的规律。
【难度系数】
0.7
10.已知方程组$\begin{cases}ax - by = 4, \\ax + by = 0\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=2, \\y=1,\end{cases}$则$2a - 3b$的值等于 ______ 。
答案
10.8
解析
【分析】
首先明确二元一次方程组的解的定义：方程组的解能满足方程组中的每一个方程。因此我们可以先把已知的解$\begin{cases}x=2, \\y=1\end{cases}$代回原方程组，得到只含有未知数a、b的二元一次方程组，再用加减消元法或者代入消元法解出a和b的值，最后将a、b的值代入$2a-3b$计算即可得到结果。
【解析】
将$\begin{cases}x=2, \\y=1\end{cases}$代入原方程组$\begin{cases}ax - by = 4, \\ax + by = 0\end{cases}$，可得：
$\begin{cases}2a - b = 4 \quad ① \\2a + b = 0 \quad ②\end{cases}$
用①+②消去b，得：
$4a = 4$，解得$a=1$
把$a=1$代入②式，得：
$2×1 + b = 0$，解得$b=-2$
将$a=1$，$b=-2$代入$2a-3b$：
$2×1 - 3×(-2) = 2 + 6 = 8$
【答案】
8
【知识点】
二元一次方程组的解的定义；解二元一次方程组；代数式求值
【点评】
本题属于基础应用类题目，核心考查方程组解的逆向应用，解题的关键是熟练掌握代入法和消元法的运算规则，计算过程中注意符号不要出错即可。
【难度系数】
0.8
首先明确二元一次方程组的解的定义：方程组的解能满足方程组中的每一个方程。因此我们可以先把已知的解$\begin{cases}x=2, \\y=1\end{cases}$代回原方程组，得到只含有未知数a、b的二元一次方程组，再用加减消元法或者代入消元法解出a和b的值，最后将a、b的值代入$2a-3b$计算即可得到结果。
【解析】
将$\begin{cases}x=2, \\y=1\end{cases}$代入原方程组$\begin{cases}ax - by = 4, \\ax + by = 0\end{cases}$，可得：
$\begin{cases}2a - b = 4 \quad ① \\2a + b = 0 \quad ②\end{cases}$
用①+②消去b，得：
$4a = 4$，解得$a=1$
把$a=1$代入②式，得：
$2×1 + b = 0$，解得$b=-2$
将$a=1$，$b=-2$代入$2a-3b$：
$2×1 - 3×(-2) = 2 + 6 = 8$
【答案】
8
【知识点】
二元一次方程组的解的定义；解二元一次方程组；代数式求值
【点评】
本题属于基础应用类题目，核心考查方程组解的逆向应用，解题的关键是熟练掌握代入法和消元法的运算规则，计算过程中注意符号不要出错即可。
【难度系数】
0.8
11.若方程组$\begin{cases}x+y=8m,\\x-y=2m\end{cases}$的解满足方程$2x-5y=-1$，则$m=$ ______ .
答案
11.$\dfrac{1}{5}$
解析
【分析】
本题是含参数的二元一次方程组与一元一次方程结合的基础题型，解题思路清晰可分为两步：第一步先解关于x、y的二元一次方程组，用加减消元法就能用含m的式子表示出x和y的值；第二步将得到的x、y代入方程$2x-5y=-1$，就能得到只含有m的一元一次方程，求解该方程即可得到m的值。
【解析】
解方程组$\begin{cases}x+y=8m&①\\x-y=2m&②\end{cases}$
1. 消元求x：①+②得$2x=10m$，解得$x=5m$。
2. 代入求y：把$x=5m$代入①，得$5m+y=8m$，解得$y=3m$。
3. 代入求m：将$x=5m$、$y=3m$代入$2x-5y=-1$，可得：
$2×5m - 5×3m = -1$
化简得$-5m=-1$，解得$m=\dfrac{1}{5}$。
【答案】
$\dfrac{1}{5}$
【知识点】
解二元一次方程组、方程的解的应用、解一元一次方程
【点评】
本题为常规基础考题，核心解题逻辑是先用参数表示出方程组的解，再代入已知方程转化为一元一次方程求解，重点考察对二元一次方程组消元解法的掌握程度。
【难度系数】
0.8
本题是含参数的二元一次方程组与一元一次方程结合的基础题型，解题思路清晰可分为两步：第一步先解关于x、y的二元一次方程组，用加减消元法就能用含m的式子表示出x和y的值；第二步将得到的x、y代入方程$2x-5y=-1$，就能得到只含有m的一元一次方程，求解该方程即可得到m的值。
【解析】
解方程组$\begin{cases}x+y=8m&①\\x-y=2m&②\end{cases}$
1. 消元求x：①+②得$2x=10m$，解得$x=5m$。
2. 代入求y：把$x=5m$代入①，得$5m+y=8m$，解得$y=3m$。
3. 代入求m：将$x=5m$、$y=3m$代入$2x-5y=-1$，可得：
$2×5m - 5×3m = -1$
化简得$-5m=-1$，解得$m=\dfrac{1}{5}$。
【答案】
$\dfrac{1}{5}$
【知识点】
解二元一次方程组、方程的解的应用、解一元一次方程
【点评】
本题为常规基础考题，核心解题逻辑是先用参数表示出方程组的解，再代入已知方程转化为一元一次方程求解，重点考察对二元一次方程组消元解法的掌握程度。
【难度系数】
0.8
12.用加减法解方程组：
(1)
(2) $\begin{cases}(x+3)(y-2)=(x-3)(y+10), \\ (x-1)(y+3)=(x+2)(y+12).\end{cases}$
(1)
(2) $\begin{cases}(x+3)(y-2)=(x-3)(y+10), \\ (x-1)(y+3)=(x+2)(y+12).\end{cases}$
答案
12.(1)$\begin{cases}x=\dfrac{7}{2},\\y=1.\end{cases}$ (2)$\begin{cases}x=-1,\\y=-6.\end{cases}$
解析
【分析】
求解这两个方程组，首先需要将非标准形式的方程组转化为标准二元一次方程组：
(1) 第一个方程组含分母，先对第一个方程去分母，第二个方程先去括号合并同类项，得到关于x、y的标准二元一次方程组，再用加减消元法消去一个未知数，依次求解两个未知数即可；
(2) 第二个方程组是两个多项式乘积相等的形式，先利用多项式乘多项式法则展开等号两边，移项合并同类项后xy项会抵消，得到标准二元一次方程组，再用加减消元法求解。
【解析】
(1) 整理原方程组：
对第一个方程$\frac{2x+y}{2}+\frac{2x-y}{3}=6$，两边同乘6去分母得：
$3(2x+y)+2(2x-y)=36$
去括号合并同类项得：$10x + y = 36$ ---①
对第二个方程$4(2x+y)-5(2x-y)=2$，去括号合并同类项得：
$-2x + 9y = 2$ ---②
将②两边乘5得：$-10x + 45y = 10$ ---③
①+③得：$46y=46$，解得$y=1$
将$y=1$代入①得：$10x +1=36$，解得$x=\frac{7}{2}$
(2) 整理原方程组：
对第一个方程$(x+3)(y-2)=(x-3)(y+10)$，展开两边得：
$xy -2x +3y -6 = xy +10x -3y -30$
移项合并同类项，化简得：$2x - y = 4$ ---④
对第二个方程$(x-1)(y+3)=(x+2)(y+12)$，展开两边得：
$xy +3x -y -3 = xy +12x +2y +24$
移项合并同类项，化简得：$3x + y = -9$ ---⑤
④+⑤得：$5x=-5$，解得$x=-1$
将$x=-1$代入④得：$2×(-1) - y =4$，解得$y=-6$
【答案】
(1)$\begin{cases}x=\dfrac{7}{2},\\y=1.\end{cases}$ (2)$\begin{cases}x=-1,\\y=-6.\end{cases}$
【知识点】
加减消元法，多项式乘多项式，方程组化简
【点评】
这类方程组求解的核心是先将复杂形式的方程组转化为标准二元一次方程组，再根据系数特点选择合适的消元方法，计算时要注意去括号、移项的符号问题，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
求解这两个方程组，首先需要将非标准形式的方程组转化为标准二元一次方程组：
(1) 第一个方程组含分母，先对第一个方程去分母，第二个方程先去括号合并同类项，得到关于x、y的标准二元一次方程组，再用加减消元法消去一个未知数，依次求解两个未知数即可；
(2) 第二个方程组是两个多项式乘积相等的形式，先利用多项式乘多项式法则展开等号两边，移项合并同类项后xy项会抵消，得到标准二元一次方程组，再用加减消元法求解。
【解析】
(1) 整理原方程组：
对第一个方程$\frac{2x+y}{2}+\frac{2x-y}{3}=6$，两边同乘6去分母得：
$3(2x+y)+2(2x-y)=36$
去括号合并同类项得：$10x + y = 36$ ---①
对第二个方程$4(2x+y)-5(2x-y)=2$，去括号合并同类项得：
$-2x + 9y = 2$ ---②
将②两边乘5得：$-10x + 45y = 10$ ---③
①+③得：$46y=46$，解得$y=1$
将$y=1$代入①得：$10x +1=36$，解得$x=\frac{7}{2}$
(2) 整理原方程组：
对第一个方程$(x+3)(y-2)=(x-3)(y+10)$，展开两边得：
$xy -2x +3y -6 = xy +10x -3y -30$
移项合并同类项，化简得：$2x - y = 4$ ---④
对第二个方程$(x-1)(y+3)=(x+2)(y+12)$，展开两边得：
$xy +3x -y -3 = xy +12x +2y +24$
移项合并同类项，化简得：$3x + y = -9$ ---⑤
④+⑤得：$5x=-5$，解得$x=-1$
将$x=-1$代入④得：$2×(-1) - y =4$，解得$y=-6$
【答案】
(1)$\begin{cases}x=\dfrac{7}{2},\\y=1.\end{cases}$ (2)$\begin{cases}x=-1,\\y=-6.\end{cases}$
【知识点】
加减消元法，多项式乘多项式，方程组化简
【点评】
这类方程组求解的核心是先将复杂形式的方程组转化为标准二元一次方程组，再根据系数特点选择合适的消元方法，计算时要注意去括号、移项的符号问题，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
13.某超市代理销售A,B两种鲜奶，这两种鲜奶的成本价和销售价如表格所示，它们的保质期为一天，当天未售出的鲜奶必须全部销毁.该超市某天用1 320元购进A,B两种鲜奶共200瓶，卖出180瓶，当天共获得570元的利润.求该超市这一天购进A,B两种鲜奶各多少瓶.
答案
13.该超市这一天购进A种鲜奶120瓶，B种鲜奶80瓶.
解析
【分析】
这是一道二元一次方程组的实际应用问题，解题时先明确题目中的等量关系：①购进A种鲜奶的数量+购进B种鲜奶的数量=200瓶；②购进A种鲜奶的总费用+购进B种鲜奶的总费用=1320元。我们可以设两个未知数，根据上述等量关系列出方程组，求解后再结合利润条件验证解是否符合实际即可。
【解析】
解：设该超市这一天购进A种鲜奶$x$瓶，购进B种鲜奶$y$瓶，根据题意得：
$\begin{cases}x+y=200 \\5x+9y=1320\end{cases}$
由第一个方程得：$y=200-x$，将其代入第二个方程：
$5x+9(200-x)=1320$
展开得：$5x+1800-9x=1320$
移项合并同类项得：$-4x=-480$
解得：$x=120$
将$x=120$代入$y=200-x$得：$y=200-120=80$
验证：若购进A种鲜奶120瓶，B种鲜奶80瓶，设卖出A种$m$瓶、B种$n$瓶，可列方程组$\begin{cases}m+n=180\\8m+14n-1320=570\end{cases}$，解得$m=105≤120$，$n=75≤80$，符合实际销售要求。
【答案】
该超市这一天购进A种鲜奶120瓶，B种鲜奶80瓶。
【知识点】
二元一次方程组的应用；销售利润问题
【点评】
本题属于常见的销售类应用题，解题核心是准确提取题目中的等量关系，合理设未知数列方程组求解，同时要注意所得的解需要符合实际销售的限制条件，即卖出的数量不能超过购进的数量。
【难度系数】
0.7
这是一道二元一次方程组的实际应用问题，解题时先明确题目中的等量关系：①购进A种鲜奶的数量+购进B种鲜奶的数量=200瓶；②购进A种鲜奶的总费用+购进B种鲜奶的总费用=1320元。我们可以设两个未知数，根据上述等量关系列出方程组，求解后再结合利润条件验证解是否符合实际即可。
【解析】
解：设该超市这一天购进A种鲜奶$x$瓶，购进B种鲜奶$y$瓶，根据题意得：
$\begin{cases}x+y=200 \\5x+9y=1320\end{cases}$
由第一个方程得：$y=200-x$，将其代入第二个方程：
$5x+9(200-x)=1320$
展开得：$5x+1800-9x=1320$
移项合并同类项得：$-4x=-480$
解得：$x=120$
将$x=120$代入$y=200-x$得：$y=200-120=80$
验证：若购进A种鲜奶120瓶，B种鲜奶80瓶，设卖出A种$m$瓶、B种$n$瓶，可列方程组$\begin{cases}m+n=180\\8m+14n-1320=570\end{cases}$，解得$m=105≤120$，$n=75≤80$，符合实际销售要求。
【答案】
该超市这一天购进A种鲜奶120瓶，B种鲜奶80瓶。
【知识点】
二元一次方程组的应用；销售利润问题
【点评】
本题属于常见的销售类应用题，解题核心是准确提取题目中的等量关系，合理设未知数列方程组求解，同时要注意所得的解需要符合实际销售的限制条件，即卖出的数量不能超过购进的数量。
【难度系数】
0.7
14.某校拟举办航天知识抢答赛，欲购买A，B两种奖品以鼓励获奖者.如果购买20件A种奖品和15件B种奖品共需380元，购买15件A种奖品和10件B种奖品共需280元.问A，B两种奖品每件各多少元.
答案
14.A种奖品每件16元，B种奖品每件4元.
解析
【分析】
这是一道利用二元一次方程组解决的实际应用题，解题思路如下：首先设出A、B两种奖品的单价为未知数，再根据题目给出的两组购买总价的条件，找到两个对应的等量关系，列出二元一次方程组，最后解方程组即可得到两种奖品的单价。
【解析】
解：设A种奖品每件x元，B种奖品每件y元，根据题意可列方程组：
$\begin{cases}20x + 15y = 380 \\15x + 10y = 280 \end{cases}$
先将方程组化简，两个方程两边同时除以5得：
$\begin{cases}4x + 3y = 76 ①\\3x + 2y = 56 ②\end{cases}$
采用加减消元法，①×2得：$8x + 6y = 152$ ③
②×3得：$9x + 6y = 168$ ④
用④-③消去y，得：$x = 16$
把$x=16$代入②得：$3×16 + 2y = 56$
计算得：$48 + 2y = 56$，解得$y=4$
经检验，$x=16$，$y=4$符合题意。
【答案】
A种奖品每件16元，B种奖品每件4元。
【知识点】
二元一次方程组的应用；二元一次方程组的解法
【点评】
本题属于基础的实际应用类题型，解题核心是准确提炼题干中的等量关系，选择合适的消元方法求解方程组即可，计算时注意先化简方程组可降低计算出错概率。
【难度系数】
0.8
这是一道利用二元一次方程组解决的实际应用题，解题思路如下：首先设出A、B两种奖品的单价为未知数，再根据题目给出的两组购买总价的条件，找到两个对应的等量关系，列出二元一次方程组，最后解方程组即可得到两种奖品的单价。
【解析】
解：设A种奖品每件x元，B种奖品每件y元，根据题意可列方程组：
$\begin{cases}20x + 15y = 380 \\15x + 10y = 280 \end{cases}$
先将方程组化简，两个方程两边同时除以5得：
$\begin{cases}4x + 3y = 76 ①\\3x + 2y = 56 ②\end{cases}$
采用加减消元法，①×2得：$8x + 6y = 152$ ③
②×3得：$9x + 6y = 168$ ④
用④-③消去y，得：$x = 16$
把$x=16$代入②得：$3×16 + 2y = 56$
计算得：$48 + 2y = 56$，解得$y=4$
经检验，$x=16$，$y=4$符合题意。
【答案】
A种奖品每件16元，B种奖品每件4元。
【知识点】
二元一次方程组的应用；二元一次方程组的解法
【点评】
本题属于基础的实际应用类题型，解题核心是准确提炼题干中的等量关系，选择合适的消元方法求解方程组即可，计算时注意先化简方程组可降低计算出错概率。
【难度系数】
0.8
