登录
广州某老字号茶楼中,林老板发现潮汕牛肉丸和凤凰单丛茶的购买记录如下:买2箱牛肉丸加3盒茶叶要1 070元,买3箱牛肉丸加2盒茶叶要1 380元.在这个采购账本中,暗藏着二元一次方程组的数学奥秘.请尝试用二元一次方程组解决问题吧!
问题:根据林老板发现的购买记录,求每箱牛肉丸及每盒茶叶的价格分别是多少.
问题:根据林老板发现的购买记录,求每箱牛肉丸及每盒茶叶的价格分别是多少.
答案
解:设每箱牛肉丸的价格是x元,每盒茶叶的价格是y元.
根据题意,得$\begin{cases}2x + 3y = 1\ 070, \\3x + 2y = 1\ 380,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 400, \\y = 90.\end{cases}$
答:每箱牛肉丸的价格是400元,每盒茶叶的价格是90元.
根据题意,得$\begin{cases}2x + 3y = 1\ 070, \\3x + 2y = 1\ 380,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 400, \\y = 90.\end{cases}$
答:每箱牛肉丸的价格是400元,每盒茶叶的价格是90元.
解析
【分析】
这是一道二元一次方程组的实际应用类题目，解题思路如下：首先明确两个未知量：每箱牛肉丸的价格、每盒茶叶的价格，分别设为未知数；接着从题干给出的两种购买方案中提取两个等量关系：①2箱牛肉丸的总价+3盒茶叶的总价=1070元，②3箱牛肉丸的总价+2盒茶叶的总价=1380元，根据等量关系列出二元一次方程组；最后用七年级所学的加减消元法（或代入消元法）求解方程组，即可得到两种商品的单价。
【解析】
解：设每箱牛肉丸的价格是x元，每盒茶叶的价格是y元。
根据题意，得：
$\begin{cases}2x + 3y = 1070&① \\3x + 2y = 1380&②\end{cases}$
用加减消元法求解：
①×3，得$6x + 9y = 3210$ ③
②×2，得$6x + 4y = 2760$ ④
③-④得：$5y = 450$，解得$y=90$
把$y=90$代入①，得$2x + 3×90 = 1070$，解得$x=400$
因此方程组的解为$\begin{cases}x = 400 \\y = 90\end{cases}$
答：每箱牛肉丸的价格是400元，每盒茶叶的价格是90元。
【答案】
每箱牛肉丸的价格是400元，每盒茶叶的价格是90元
【知识点】
二元一次方程组的应用；加减消元法解二元一次方程组
【点评】
本题结合生活消费场景出题，核心考查从实际问题中提取等量关系、列方程求解的能力，属于方程板块的基础常规题型，掌握方程组的解法以及找等量关系的方法即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
这是一道二元一次方程组的实际应用类题目，解题思路如下：首先明确两个未知量：每箱牛肉丸的价格、每盒茶叶的价格，分别设为未知数；接着从题干给出的两种购买方案中提取两个等量关系：①2箱牛肉丸的总价+3盒茶叶的总价=1070元，②3箱牛肉丸的总价+2盒茶叶的总价=1380元，根据等量关系列出二元一次方程组；最后用七年级所学的加减消元法（或代入消元法）求解方程组，即可得到两种商品的单价。
【解析】
解：设每箱牛肉丸的价格是x元，每盒茶叶的价格是y元。
根据题意，得：
$\begin{cases}2x + 3y = 1070&① \\3x + 2y = 1380&②\end{cases}$
用加减消元法求解：
①×3，得$6x + 9y = 3210$ ③
②×2，得$6x + 4y = 2760$ ④
③-④得：$5y = 450$，解得$y=90$
把$y=90$代入①，得$2x + 3×90 = 1070$，解得$x=400$
因此方程组的解为$\begin{cases}x = 400 \\y = 90\end{cases}$
答：每箱牛肉丸的价格是400元，每盒茶叶的价格是90元。
【答案】
每箱牛肉丸的价格是400元，每盒茶叶的价格是90元
【知识点】
二元一次方程组的应用；加减消元法解二元一次方程组
【点评】
本题结合生活消费场景出题，核心考查从实际问题中提取等量关系、列方程求解的能力，属于方程板块的基础常规题型，掌握方程组的解法以及找等量关系的方法即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
1 若$x^{|a|-1}-(a-2)y+3=0$是关于$x,y$的二元一次方程，则$a$的值为 （
A.$\pm 2$
B.$2$
C.$0$
D.$-2$
D
）A.$\pm 2$
B.$2$
C.$0$
D.$-2$
答案
D
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确二元一次方程的核心要求：一是含有2个未知数，二是每个未知数的最高次数都是1，三是未知数的系数不能为0（否则会减少未知数的个数）。解题时先根据x的次数为1列出关于a的绝对值方程，求出a的可能值，再根据y的系数不为0排除不符合要求的取值，最终得到正确的a值。
【解析】
根据二元一次方程的定义，可得到两个约束条件：
1. x的次数为1：
$|a| - 1 = 1$
移项得$|a|=2$，解得$a=2$或$a=-2$
2. y的系数不为0，保证方程含有两个未知数：
$-(a-2) ≠ 0$
化简得$a-2 ≠ 0$，即$a ≠ 2$
结合两个条件，只有$a=-2$符合要求，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程的定义，绝对值方程求解，一元一次不等式求解
【点评】
本题考查对二元一次方程概念的掌握，易错点是容易忽略y的系数不能为0的约束条件，误选A选项，解题时要注意逐一验证二元一次方程的所有成立条件。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先要明确二元一次方程的核心要求：一是含有2个未知数，二是每个未知数的最高次数都是1，三是未知数的系数不能为0（否则会减少未知数的个数）。解题时先根据x的次数为1列出关于a的绝对值方程，求出a的可能值，再根据y的系数不为0排除不符合要求的取值，最终得到正确的a值。
【解析】
根据二元一次方程的定义，可得到两个约束条件：
1. x的次数为1：
$|a| - 1 = 1$
移项得$|a|=2$，解得$a=2$或$a=-2$
2. y的系数不为0，保证方程含有两个未知数：
$-(a-2) ≠ 0$
化简得$a-2 ≠ 0$，即$a ≠ 2$
结合两个条件，只有$a=-2$符合要求，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程的定义，绝对值方程求解，一元一次不等式求解
【点评】
本题考查对二元一次方程概念的掌握，易错点是容易忽略y的系数不能为0的约束条件，误选A选项，解题时要注意逐一验证二元一次方程的所有成立条件。
【难度系数】
0.6
2 方程组 $\begin{cases}2x + y = 4, \\x - y = -1\end{cases}$ 的解是 （ ）
A.$\begin{cases}x = 1, \\y = 2\end{cases}$
B.$\begin{cases}x = -3, \\y = -2\end{cases}$
C.$\begin{cases}x = 2, \\y = 0\end{cases}$
D.$\begin{cases}x = 3, \\y = -1\end{cases}$
A.$\begin{cases}x = 1, \\y = 2\end{cases}$
B.$\begin{cases}x = -3, \\y = -2\end{cases}$
C.$\begin{cases}x = 2, \\y = 0\end{cases}$
D.$\begin{cases}x = 3, \\y = -1\end{cases}$
答案
A
解析
【分析】
这是求解二元一次方程组的基础题，观察方程组中两个方程y的系数互为相反数，优先选择加减消元法解题：第一步将两个方程相加消去未知数y，求出x的值；第二步把x的值代入任意一个原方程，求出y的值，即可得到方程组的解；也可以直接将选项逐一代入两个方程，同时满足两个方程的即为正确解。
【解析】
我们用加减消元法求解，先给方程编号：
$\begin{cases}2x + y = 4 \quad ① \\x - y = -1 \quad ②\end{cases}$
由于方程①中y的系数是1，方程②中y的系数是-1，互为相反数，将①+②消去y：
左边相加：$2x+y+x-y=3x$
右边相加：$4+(-1)=3$
可得$3x=3$，解得$x=1$。
把$x=1$代入方程②，得：$1 - y = -1$，解得$y=2$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x=1 \\y=2\end{cases}$，对应选项A。
也可采用代入验证法：将各选项代入两个方程，只有A选项同时满足两个方程：代入①得$2×1+2=4$，成立；代入②得$1-2=-1$，成立，其余选项均无法同时满足两个方程。
【答案】
A
【知识点】
1. 加减消元法
2. 二元一次方程组的解
【点评】
本题是二元一次方程组的基础考察题型，解题方法灵活，既可以用消元法直接求解，也可以通过代入选项验证快速得到答案，核心是掌握消元的思路以及二元一次方程组的解需要满足组内所有方程的特点。
【难度系数】
0.9
这是求解二元一次方程组的基础题，观察方程组中两个方程y的系数互为相反数，优先选择加减消元法解题：第一步将两个方程相加消去未知数y，求出x的值；第二步把x的值代入任意一个原方程，求出y的值，即可得到方程组的解；也可以直接将选项逐一代入两个方程，同时满足两个方程的即为正确解。
【解析】
我们用加减消元法求解，先给方程编号：
$\begin{cases}2x + y = 4 \quad ① \\x - y = -1 \quad ②\end{cases}$
由于方程①中y的系数是1，方程②中y的系数是-1，互为相反数，将①+②消去y：
左边相加：$2x+y+x-y=3x$
右边相加：$4+(-1)=3$
可得$3x=3$，解得$x=1$。
把$x=1$代入方程②，得：$1 - y = -1$，解得$y=2$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x=1 \\y=2\end{cases}$，对应选项A。
也可采用代入验证法：将各选项代入两个方程，只有A选项同时满足两个方程：代入①得$2×1+2=4$，成立；代入②得$1-2=-1$，成立，其余选项均无法同时满足两个方程。
【答案】
A
【知识点】
1. 加减消元法
2. 二元一次方程组的解
【点评】
本题是二元一次方程组的基础考察题型，解题方法灵活，既可以用消元法直接求解，也可以通过代入选项验证快速得到答案，核心是掌握消元的思路以及二元一次方程组的解需要满足组内所有方程的特点。
【难度系数】
0.9
3 三元一次方程组$\begin{cases}5x + 4y + z = 0, \\3x + y - 4z = 11, \\x + y + z = -2\end{cases}$，消去未知数$z$后，得到的二元一次方程组是（ ）
A.$\begin{cases}4x + 3y = 2, \\7x + 5y = 3\end{cases}$
B.$\begin{cases}4x + 3y = 2, \\23x + 17y = 10\end{cases}$
C.$\begin{cases}3x + 4y = 2, \\7x + 5y = 3\end{cases}$
D.$\begin{cases}3x + 4y = 2, \\23x + 17y = 11\end{cases}$
A.$\begin{cases}4x + 3y = 2, \\7x + 5y = 3\end{cases}$
B.$\begin{cases}4x + 3y = 2, \\23x + 17y = 10\end{cases}$
C.$\begin{cases}3x + 4y = 2, \\7x + 5y = 3\end{cases}$
D.$\begin{cases}3x + 4y = 2, \\23x + 17y = 11\end{cases}$
答案
A
解析
【分析】
要消去未知数z，可利用加减消元法，观察三个方程中z的系数：方程①和③中z的系数均为1，直接相减即可消去z；方程②中z的系数为-4，将方程③乘4后与方程②相加，也可消去z，最终得到仅含x、y的二元一次方程组，再匹配选项即可。
【解析】
先给原方程组标序号：
$\begin{cases}5x + 4y + z = 0&① \\3x + y - 4z = 11&② \\x + y + z = -2&③\end{cases}$
第一步：用①-③消去z：
左边：$(5x+4y+z)-(x+y+z)=4x+3y$
右边：$0-(-2)=2$
得方程：$4x+3y=2$ ④
第二步：将③×4，得$4x+4y+4z=-8$ ⑤，用②+⑤消去z：
左边：$(3x+y-4z)+(4x+4y+4z)=7x+5y$
右边：$11+(-8)=3$
得方程：$7x+5y=3$ ⑥
联立④⑥，可得消去z后的二元一次方程组为$\begin{cases}4x + 3y = 2 \\7x + 5y = 3\end{cases}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
三元一次方程组消元；加减消元法
【点评】
本题考查三元一次方程组的消元转化，核心是根据指定消元未知数的系数特点，灵活选用加减消元法实现降次，是三元一次方程组求解的基础步骤。
【难度系数】
0.8
要消去未知数z，可利用加减消元法，观察三个方程中z的系数：方程①和③中z的系数均为1，直接相减即可消去z；方程②中z的系数为-4，将方程③乘4后与方程②相加，也可消去z，最终得到仅含x、y的二元一次方程组，再匹配选项即可。
【解析】
先给原方程组标序号：
$\begin{cases}5x + 4y + z = 0&① \\3x + y - 4z = 11&② \\x + y + z = -2&③\end{cases}$
第一步：用①-③消去z：
左边：$(5x+4y+z)-(x+y+z)=4x+3y$
右边：$0-(-2)=2$
得方程：$4x+3y=2$ ④
第二步：将③×4，得$4x+4y+4z=-8$ ⑤，用②+⑤消去z：
左边：$(3x+y-4z)+(4x+4y+4z)=7x+5y$
右边：$11+(-8)=3$
得方程：$7x+5y=3$ ⑥
联立④⑥，可得消去z后的二元一次方程组为$\begin{cases}4x + 3y = 2 \\7x + 5y = 3\end{cases}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
三元一次方程组消元；加减消元法
【点评】
本题考查三元一次方程组的消元转化，核心是根据指定消元未知数的系数特点，灵活选用加减消元法实现降次，是三元一次方程组求解的基础步骤。
【难度系数】
0.8
4（1）完成框图中解方程组的过程：
（2）上面框图中所表示的解方程组的方法是
（2）上面框图中所表示的解方程组的方法是
代入消元法
。答案
(1)①$4-2x$ ②$4-2x$ ③$3$ ④$-2$
(2)代入消元法
(2)代入消元法
解析
【分析】
这道题考查用代入消元法解二元一次方程组的步骤，解题思路如下：第一步，先对系数较简单的方程$2x+y=4$进行变形，将$y$用含$x$的代数式表示；第二步，把得到的$y$的表达式代入第二个方程$3x-2y=13$，消去$y$得到关于$x$的一元一次方程；第三步，解这个一元一次方程求出$x$的值；第四步，把求出的$x$的值代回之前得到的$y$的表达式，求出$y$的值；最后根据方法的特征判断解方程组的方法名称。
【解析】
(1) 对第一个方程$2x+y=4$移项变形，可得$y=4-2x$，因此①处填$4-2x$；
将$y=4-2x$代入第二个方程$3x-2y=13$，可得$3x-2(4-2x)=13$，因此②处填$4-2x$；
解一元一次方程$3x-2(4-2x)=13$：
去括号得：$3x-8+4x=13$
合并同类项得：$7x=21$
系数化为1得：$x=3$，因此③处填$3$；
将$x=3$代入$y=4-2x$，得$y=4-2×3=4-6=-2$，因此④处填$-2$。
(2) 该方法是将一个方程中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示后，代入另一个方程消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，因此是代入消元法。
【答案】
(1)①$\boxed{4-2x}$；②$\boxed{4-2x}$；③$\boxed{3}$；④$\boxed{-2}$
(2)$\boxed{代入消元法}$
【知识点】
二元一次方程组解法，代入消元法，一元一次方程求解
【点评】
本题围绕代入消元法解二元一次方程组的完整流程设题，侧重考查对消元法基本步骤的理解和基础计算能力，是方程组部分的常规基础题型。
【难度系数】
0.9
这道题考查用代入消元法解二元一次方程组的步骤，解题思路如下：第一步，先对系数较简单的方程$2x+y=4$进行变形，将$y$用含$x$的代数式表示；第二步，把得到的$y$的表达式代入第二个方程$3x-2y=13$，消去$y$得到关于$x$的一元一次方程；第三步，解这个一元一次方程求出$x$的值；第四步，把求出的$x$的值代回之前得到的$y$的表达式，求出$y$的值；最后根据方法的特征判断解方程组的方法名称。
【解析】
(1) 对第一个方程$2x+y=4$移项变形，可得$y=4-2x$，因此①处填$4-2x$；
将$y=4-2x$代入第二个方程$3x-2y=13$，可得$3x-2(4-2x)=13$，因此②处填$4-2x$；
解一元一次方程$3x-2(4-2x)=13$：
去括号得：$3x-8+4x=13$
合并同类项得：$7x=21$
系数化为1得：$x=3$，因此③处填$3$；
将$x=3$代入$y=4-2x$，得$y=4-2×3=4-6=-2$，因此④处填$-2$。
(2) 该方法是将一个方程中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示后，代入另一个方程消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，因此是代入消元法。
【答案】
(1)①$\boxed{4-2x}$；②$\boxed{4-2x}$；③$\boxed{3}$；④$\boxed{-2}$
(2)$\boxed{代入消元法}$
【知识点】
二元一次方程组解法，代入消元法，一元一次方程求解
【点评】
本题围绕代入消元法解二元一次方程组的完整流程设题，侧重考查对消元法基本步骤的理解和基础计算能力，是方程组部分的常规基础题型。
【难度系数】
0.9
5 若$a,b$满足方程组$\begin{cases}2a - b = 1, \\a + b = 5,\end{cases}$则$a - 2b$的值为 ______ 。
答案
-4
解析
【分析】
本题要求代数式$a-2b$的值，我们可以先求解给定的二元一次方程组得到$a$、$b$的具体取值，再将$a$、$b$代入目标代数式计算即可。求解方程组时，观察到两个方程中$b$的系数互为相反数，用加减消元法可以快速消去$b$，先求出$a$的值，再代入求$b$的值，计算难度很低。
【解析】
解：先解方程组$\begin{cases}2a - b = 1&① \\a + b = 5&②\end{cases}$
将①+②消去$b$，可得：
$2a - b + a + b = 1 + 5$
$3a = 6$
解得$a=2$
把$a=2$代入②式，得：
$2 + b = 5$
解得$b=3$
将$a=2$，$b=3$代入$a-2b$，得：
$a-2b = 2 - 2×3 = 2 - 6 = -4$
【答案】
$-4$
【知识点】
二元一次方程组的解法，代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考察二元一次方程组的消元解法以及代数式的代入计算，熟练掌握加减消元法或代入消元法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题要求代数式$a-2b$的值，我们可以先求解给定的二元一次方程组得到$a$、$b$的具体取值，再将$a$、$b$代入目标代数式计算即可。求解方程组时，观察到两个方程中$b$的系数互为相反数，用加减消元法可以快速消去$b$，先求出$a$的值，再代入求$b$的值，计算难度很低。
【解析】
解：先解方程组$\begin{cases}2a - b = 1&① \\a + b = 5&②\end{cases}$
将①+②消去$b$，可得：
$2a - b + a + b = 1 + 5$
$3a = 6$
解得$a=2$
把$a=2$代入②式，得：
$2 + b = 5$
解得$b=3$
将$a=2$，$b=3$代入$a-2b$，得：
$a-2b = 2 - 2×3 = 2 - 6 = -4$
【答案】
$-4$
【知识点】
二元一次方程组的解法，代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考察二元一次方程组的消元解法以及代数式的代入计算，熟练掌握加减消元法或代入消元法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
