1.在半径为2的圆中，$60°$的圆心角所对的弧的弧长为.

$\boldsymbol{\frac{2π}{3}}$

解：已知圆的半径$R=2$，圆心角$n=60°$，根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，
代入数值计算得：
$l=\frac{60×π×2}{180}=\frac{2π}{3}$。

2.若一个扇形的半径为3，面积为π，则此扇形的圆心角为.

$\boldsymbol{40°}$

解：设此扇形的圆心角为$ n° $，
根据扇形面积公式 $ S_{\mathrm{扇形}} = \frac{nπ r^2}{360} $，
将 $ S=π $，$ r=3 $ 代入公式得：
$π = \frac{nπ × 3^2}{360}$
两边同时除以$ π $，化简得：
$1 = \frac{9n}{360}$
解得 $ n=40 $。

3.如图，菱形ABCD的边长为6 cm，∠ABC=120°，$\overset{\frown}{BD}$是以点A为圆心，AB的长为半径的弧，$\overset{\frown}{CD}$是以点B为圆心，BC的长为半径的弧.图中阴影部分的面积为 cm².

$\boldsymbol{9\sqrt{3}}$

解：
∵ 四边形ABCD是菱形，边长为6 cm，∠ABC=120°
∴ AB=BC=CD=DA=6 cm，∠BAD=180°-∠ABC=60°，BD平分∠ABC
∴ ∠CBD=60°
∵ AB=AD，∠BAD=60°
∴ △ABD是等边三角形，BD=AB=6 cm
∴ $S_{△ ABD} = \frac{\sqrt{3}}{4} × 6^2 = 9\sqrt{3} \ \mathrm{cm}^2$
以A为圆心、AB为半径，圆心角为60°的扇形ABD的面积：
$S_{\mathrm{扇形}ABD} = \frac{60π × 6^2}{360} = 6π \ \mathrm{cm}^2$
以B为圆心、BC为半径，圆心角为60°的扇形BCD的面积：
$S_{\mathrm{扇形}BCD} = \frac{60π × 6^2}{360} = 6π \ \mathrm{cm}^2$
∴ 阴影部分面积 $= S_{\mathrm{扇形}BCD} - (S_{\mathrm{扇形}ABD} - S_{△ ABD}) = 6π - (6π - 9\sqrt{3}) = 9\sqrt{3} \ \mathrm{cm}^2$
最终

4.如图,分别以正三角形的3个顶点为圆心、边长为半径画弧,三段弧围成的图形称为莱洛三角形.若正三角形边长为2 cm,则该莱洛三角形的周长为cm,面积为cm²(圆周率用π表示).

周长为$\boldsymbol{2π}$ cm，面积为$\boldsymbol{2π - 2\sqrt{3}}$ cm²。

解：
正三角形的边长为2 cm，每个内角为60°。
1. 计算莱洛三角形的周长：
根据弧长公式 $ l = \frac{nπ r}{180} $，单段弧的长度为：
$ l = \frac{60π × 2}{180} = \frac{2π}{3} \, \mathrm{cm} $
莱洛三角形的周长为三段等长弧的和：
$ 3 × \frac{2π}{3} = 2π \, \mathrm{cm} $
2. 计算莱洛三角形的面积：
单个圆心角为60°、半径为2 cm的扇形面积为：
$ S_{\mathrm{扇形}} = \frac{60π × 2^2}{360} = \frac{2π}{3} \, \mathrm{cm}^2 $
边长为2 cm的正三角形面积为：
$ S_{\mathrm{正三角形}} = \frac{\sqrt{3}}{4} × 2^2 = \sqrt{3} \, \mathrm{cm}^2 $
莱洛三角形的面积等于3个上述扇形的面积之和减去2个正三角形的面积：
$ S = 3 × \frac{2π}{3} - 2 × \sqrt{3} = 2π - 2\sqrt{3} \, \mathrm{cm}^2 $
最终

5. 提升题 如图，在$△ ABC$中，$AC=4$，将$△ ABC$绕点$C$逆时针旋转$30°$得到$△ FGC$，则图中阴影部分的面积为________。

解：
由旋转的性质可得：$△ ABC ≌ △ FGC$，
因此$S_{△ ABC}=S_{△ FGC}$，且$∠ ACF=30°$，$AC=CF=4$。
阴影部分的面积可表示为：
$S_{\mathrm{阴影}} = S_{△ FGC} + S_{\mathrm{扇形}CAF} - S_{△ ABC}$
代入$S_{△ ABC}=S_{△ FGC}$，可得：
$S_{\mathrm{阴影}} = S_{\mathrm{扇形}CAF}$
根据扇形面积公式$S=\dfrac{nπ R^2}{360}$，代入$n=30$，$R=4$：
$S_{\mathrm{扇形}CAF}=\dfrac{30π × 4^2}{360}=\dfrac{4π}{3}$
故答案为：$\dfrac{4π}{3}$。

6.如图，一把竹扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为$135°$，AB的长为30 cm，贴纸部分的宽BD为20 cm，则扇面（图中阴影部分）的面积为 $\mathrm{cm}^2$。

$\boldsymbol{300π}$

解：
由题意可知，圆心角∠BAC=135°，AB=30 cm，
AD = AB - BD = 30 - 20 = 10 cm。
阴影部分面积等于大扇形ABC的面积减去小扇形ADE的面积：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=\frac{135π· AB^2}{360}-\frac{135π· AD^2}{360}\\&=\frac{135π}{360}×(30^2 - 10^2)\\&=\frac{3π}{8}×800\\&=300π\end{aligned}$

7. 提升题 如图，AB为$\odot O$的直径，点C在$\odot O$上，延长BC到点D，连接DA并延长，与$\odot O$相交于点E，连接AC，CE，使得$∠ D=∠ E$。
(1)求证：$BC=CD$；
(2)若$AB=4$，$\overset{\frown}{BC}$的长为$\frac{4}{3}π$，连接OC，求扇形OAC的面积。

解：(1) 证明：
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ACB=90°$，即$AC⊥ BC$。
∵ $∠ B$与$∠ E$都是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，
∴ $∠ B=∠ E$。
又∵ $∠ D=∠ E$，
∴ $∠ B=∠ D$，
∴ $AB=AD$，$△ ABD$为等腰三角形。
∵ $AC⊥ BD$，
∴ $BC=CD$。
(2)
∵ $AB=4$，
∴ $\odot O$的半径$r=\frac{AB}{2}=2$。
设$∠ BOC$的度数为$n$，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，代入已知条件得：
$\frac{4}{3}π = \frac{nπ × 2}{180}$
解得$n=120$，即$∠ BOC=120°$。
∵ 点$O$在直径$AB$上，
∴ $∠ AOC = 180° - ∠ BOC = 60°$。
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$，得：
$S_{\mathrm{扇形}OAC}=\frac{60π × 2^2}{360}=\frac{2}{3}π$
答：扇形OAC的面积为$\frac{2}{3}π$。