1.用半径为6、圆心角$120°$的扇形纸片围成一个圆锥，该圆锥的高为。

$\boldsymbol{4\sqrt{2}}$

解：
设圆锥的底面圆半径为$r$。
扇形的弧长为：$l=\frac{120π×6}{180}=4π$
由题意可知，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，因此：
$2π r=4π$
解得$r=2$。
圆锥的母线长等于原扇形的半径，即母线长为6，根据勾股定理，圆锥的高为：
$h=\sqrt{6^2 - 2^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$
最终

2.若一个圆锥形纸帽的母线长为6，底面圆的半径为2，则该纸帽的侧面积为。

$\boldsymbol{12π}$

解：
已知圆锥形纸帽的底面圆半径$r=2$，母线长$l=6$，
圆锥侧面积公式为$S_{侧}=π r l$，
代入数值计算得：
$S_{侧}=π × 2 × 6 = 12π$。
最终

3.若一个圆锥形烟囱帽的侧面积是$12π \ \mathrm{cm}^2$，其侧面展开图是圆心角为$180°$的扇形，则它的母线长是cm.

$\boldsymbol{2\sqrt{6}}$

解：设该圆锥的母线长为$ l \, \mathrm{cm} $。
根据圆心角为$ n° $、半径为$ l $的扇形面积公式$ S=\frac{nπ l^2}{360} $，结合题意圆锥侧面积等于侧面展开扇形的面积，代入已知条件得：
$\frac{180π l^2}{360} = 12π$
化简得：
$\frac{1}{2}π l^2 = 12π$
两边同时除以$ π $：
$\frac{1}{2}l^2 = 12$
解得$ l^2=24 $，取正根得$ l=2\sqrt{6} $（母线长为正数，舍去负根）。

4.如图，乐乐决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为25 cm、底面半径为10 cm的圆锥形草帽.粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠，则此扇形卡纸的圆心角的度数为.

$\boldsymbol{144°}$

解：
圆锥的底面周长为$C=2π r=2π×10=20π\ \mathrm{cm}$，该周长即为扇形卡纸的弧长。
设扇形的圆心角为$n°$，扇形的半径等于圆锥母线长25 cm，根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，代入得：
$20π=\frac{nπ×25}{180}$
两边约去$π$，解得：
$n=\frac{20×180}{25}=144$

5.如图,若将半径为 12 cm 的圆形纸片剪去一个圆心角为$120°$的扇形,用剩下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠),则这个圆锥的底面圆半径为cm.

$\boldsymbol{8}$

解：
由题意得，剩下扇形的圆心角为 $ 360° - 120° = 240° $，该扇形的半径为12 cm。
根据弧长公式，剩下扇形的弧长为：
$ l = \frac{nπ R}{180} = \frac{240π × 12}{180} = 16π \, \mathrm{cm} $
设圆锥的底面圆半径为$ r $，圆锥底面圆的周长与该扇形的弧长相等，因此：
$ 2π r = 16π $
解得 $ r = 8 $。

6.如图,在矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=6.若以点B为圆心,BA的长为半径,剪出扇形BAE.
(1)图中阴影部分的面积=(结果保留π);
(2)若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面,求所围成的圆锥的底面圆的半径.
(第6题)

解：
(1) 矩形ABCD的面积为 $AB · BC = 4 × 6 = 24$。
由矩形性质得$∠ ABE = 90°$，扇形BAE的半径$BA=4$，
扇形BAE的面积为 $\frac{90π × 4^2}{360} = 4π$，
因此阴影部分的面积为 $24 - 4π$。
(2) 设所围成的圆锥的底面圆的半径为$r$。
扇形BAE的弧长为 $\frac{90π × 4}{180} = 2π$。
根据圆锥底面圆的周长等于对应侧面展开扇形的弧长，得：
$2π r = 2π$
解得 $r=1$。
答：所围成的圆锥的底面圆的半径为1。

7. 提升题 冰激凌的外包装可以视为圆锥，如图①，制作这种外包装需要用图②所示的等腰三角形材料，其中$∠ BAC=90°$，$AB=AC$，$AD⊥ BC$。将扇形$EAF$围成圆锥时，$AE$，$AF$恰好重合，圆锥底面圆的直径为5 cm。
(1)求图①中圆锥的母线$AE$的长；
(2)求加工材料剩余部分(图②中阴影部分)的面积(结果保留$π$)。

解：(1) 设圆锥的母线AE的长为$R$ cm。
圆锥底面圆的周长为$π d = 5π$ cm，该周长与扇形$EAF$的弧长相等，
由弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，其中圆心角$n=∠ BAC=90°$，得：
$\frac{90π R}{180}=5π$
解得$R=10$，
即圆锥的母线$AE$的长为$10\ \mathrm{cm}$。
(2) 由题意可知$AD=AE=10\ \mathrm{cm}$，
在$△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=AC$，$AD⊥ BC$，
$\therefore △ ABC$为等腰直角三角形，$BD=DC=AD=10\ \mathrm{cm}$，$BC=2AD=20\ \mathrm{cm}$，
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· BC· AD=\frac{1}{2}×20×10=100\ \mathrm{cm}^2$，
扇形$EAF$的面积为：
$S_{\mathrm{扇形}EAF}=\frac{90π × 10^2}{360}=25π\ \mathrm{cm}^2$
$\therefore$ 阴影部分的面积为：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ ABC}-S_{\mathrm{扇形}EAF}=(100-25π)\ \mathrm{cm}^2$。
答：(1) 圆锥的母线$AE$的长为$10\ \mathrm{cm}$；(2) 剩余阴影部分的面积为$(100-25π)\ \mathrm{cm}^2$。