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1.若用教材中的计算器求$\sin 42°16'$的值，以下按键顺序正确的是（
C
）答案
1.C
解析
【分析】
解决本题首先要明确计算器求锐角正弦值的操作逻辑：①求正弦值无需调用第二功能，可先排除带2ndF的选项；②42°16'是度分秒形式的角度，不能直接用小数点代替度分秒单位，可排除用小数点输入的选项；③输入度分秒时，输完度数、分数后都需要按度分秒键确认单位，由此就能选出正确选项。
【解析】
使用计算器计算$\sin 42°16'$的正确步骤为：
1. 按下三角函数功能键$\boxed{\sin}$；
2. 输入度数42，按下度分秒标识键$\boxed{°, '''}$确认度数单位；
3. 输入分数16，再次按下度分秒标识键$\boxed{°, '''}$确认分数单位；
4. 按下$\boxed{=}$键得到计算结果。
对选项逐一判断：
A. 用小数点输入角度，误将42°16'当作42.16°，操作错误；
B. 输入16分后未按度分秒键确认单位，操作错误；
C. 按键顺序完全符合操作要求，操作正确；
D. 多按了$\boxed{2ndF}$键，该键仅在计算反正弦（已知正弦值求角度）时使用，计算正弦值无需调用，操作错误。
【答案】
C
【知识点】
计算器求三角函数值；度分秒输入操作
【点评】
本题考查计算器计算锐角三角函数的操作步骤，属于基础操作类题目，易错点是混淆度分秒与小数形式的角度输入，以及混淆正弦和反正弦的按键差异，熟记操作规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确计算器求锐角正弦值的操作逻辑：①求正弦值无需调用第二功能，可先排除带2ndF的选项；②42°16'是度分秒形式的角度，不能直接用小数点代替度分秒单位，可排除用小数点输入的选项；③输入度分秒时，输完度数、分数后都需要按度分秒键确认单位，由此就能选出正确选项。
【解析】
使用计算器计算$\sin 42°16'$的正确步骤为：
1. 按下三角函数功能键$\boxed{\sin}$；
2. 输入度数42，按下度分秒标识键$\boxed{°, '''}$确认度数单位；
3. 输入分数16，再次按下度分秒标识键$\boxed{°, '''}$确认分数单位；
4. 按下$\boxed{=}$键得到计算结果。
对选项逐一判断：
A. 用小数点输入角度，误将42°16'当作42.16°，操作错误；
B. 输入16分后未按度分秒键确认单位，操作错误；
C. 按键顺序完全符合操作要求，操作正确；
D. 多按了$\boxed{2ndF}$键，该键仅在计算反正弦（已知正弦值求角度）时使用，计算正弦值无需调用，操作错误。
【答案】
C
【知识点】
计算器求三角函数值；度分秒输入操作
【点评】
本题考查计算器计算锐角三角函数的操作步骤，属于基础操作类题目，易错点是混淆度分秒与小数形式的角度输入，以及混淆正弦和反正弦的按键差异，熟记操作规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2. 用计算器求$\sin 71° 24'$，其结果约为
（结果精确到0.0001）
0.9478
。（结果精确到0.0001）
答案
2. 0.9478
解析
【分析】
解题时首先要确认计算器处于角度（DEG）模式，避免因模式设置为弧度导致结果错误；其次要正确输入角度71°24′，可先根据1°=60′将分换算为度，得到71.4°，也可直接用计算器的度分秒功能输入角度；接着调用正弦函数得到计算结果，最后按照精确到0.0001的要求对结果四舍五入即可。
【解析】
1. 单位换算：因为1°=60′，所以24′=24÷60=0.4°，因此71°24′=71.4°；
2. 计算器操作：将计算器调整为角度模式，输入71.4，按下「sin」键，得到计算结果约为0.947756；
3. 取近似数：要求精确到0.0001，对小数点后第5位数字四舍五入，小数点后第5位是5，向前进1，得到0.9478。
【答案】
0.9478
【知识点】
计算器求锐角三角函数值；度分秒的换算；近似数的取值
【点评】
本题属于基础操作类题目，主要考查用计算器计算锐角三角函数值的方法，解题时需注意提前确认计算器的角度模式，同时要掌握度分秒与度的换算规则，以及近似数的四舍五入要求。
【难度系数】
0.9
解题时首先要确认计算器处于角度（DEG）模式，避免因模式设置为弧度导致结果错误；其次要正确输入角度71°24′，可先根据1°=60′将分换算为度，得到71.4°，也可直接用计算器的度分秒功能输入角度；接着调用正弦函数得到计算结果，最后按照精确到0.0001的要求对结果四舍五入即可。
【解析】
1. 单位换算：因为1°=60′，所以24′=24÷60=0.4°，因此71°24′=71.4°；
2. 计算器操作：将计算器调整为角度模式，输入71.4，按下「sin」键，得到计算结果约为0.947756；
3. 取近似数：要求精确到0.0001，对小数点后第5位数字四舍五入，小数点后第5位是5，向前进1，得到0.9478。
【答案】
0.9478
【知识点】
计算器求锐角三角函数值；度分秒的换算；近似数的取值
【点评】
本题属于基础操作类题目，主要考查用计算器计算锐角三角函数值的方法，解题时需注意提前确认计算器的角度模式，同时要掌握度分秒与度的换算规则，以及近似数的四舍五入要求。
【难度系数】
0.9
3.已知$\cos A=0.291$,则$∠ A\approx$
73.1°
.(结果精确到$0.1°$)答案
3. 73.1°
解析
【分析】
本题是已知锐角的余弦值求对应锐角的度数，解题核心是利用计算器的反余弦功能计算。首先要确认计算器处于角度制模式，再调用反余弦功能输入已知的余弦值，最后按精确到0.1°的要求对结果四舍五入即可。
【解析】
1. 先将计算器调整为角度制运算模式，避免结果出现弧度制的错误；
2. 按下反余弦功能激活键（通常为“SHIFT”或“2ndF”键），再按下“cos”键，输入数值0.291，按等号键得到计算结果约为73.057°；
3. 按照精确到0.1°的要求，对结果的百分位数字5进行四舍五入，可得73.1°。
【答案】
73.1°
【知识点】
已知三角函数值求锐角、计算器的使用、近似数取值
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查计算器反三角函数功能的操作熟练度，解题时需注意提前确认计算器的运算模式为角度制，严格按照精度要求取近似值即可得分。
【难度系数】
0.8
本题是已知锐角的余弦值求对应锐角的度数，解题核心是利用计算器的反余弦功能计算。首先要确认计算器处于角度制模式，再调用反余弦功能输入已知的余弦值，最后按精确到0.1°的要求对结果四舍五入即可。
【解析】
1. 先将计算器调整为角度制运算模式，避免结果出现弧度制的错误；
2. 按下反余弦功能激活键（通常为“SHIFT”或“2ndF”键），再按下“cos”键，输入数值0.291，按等号键得到计算结果约为73.057°；
3. 按照精确到0.1°的要求，对结果的百分位数字5进行四舍五入，可得73.1°。
【答案】
73.1°
【知识点】
已知三角函数值求锐角、计算器的使用、近似数取值
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查计算器反三角函数功能的操作熟练度，解题时需注意提前确认计算器的运算模式为角度制，严格按照精度要求取近似值即可得分。
【难度系数】
0.8
4. 已知 $\tan α = 0.3249$, 则 $α \approx$
18°
.(结果精确到 $1°$)答案
4. 18°
解析
【分析】
本题是已知锐角的正切值求对应锐角度数的问题，解题思路如下：首先明确这类问题需要借助科学计算器的反正切（$\tan^{-1}$）功能求解；操作前需先确认计算器处于角度模式，再输入对应的正切值进行计算，最后将结果按要求精确到$1°$即可。
【解析】
步骤1：将科学计算器调整为角度模式；
步骤2：按下反正切功能键（标识为$\tan^{-1}$或$\arctan$），输入数值0.3249，计算可得$α\approx17.998°$；
步骤3：按照精确到$1°$的要求对结果四舍五入，可得$α\approx18°$。
【答案】
$18°$
【知识点】
1. 由三角函数值求锐角
2. 近似数的取舍
【点评】
本题属于基础应用题，重点考查科学计算器求解锐角角度的操作方法，以及按精度要求处理近似值的能力，熟练掌握计算器的相关操作即可快速解答。
【难度系数】
0.8
本题是已知锐角的正切值求对应锐角度数的问题，解题思路如下：首先明确这类问题需要借助科学计算器的反正切（$\tan^{-1}$）功能求解；操作前需先确认计算器处于角度模式，再输入对应的正切值进行计算，最后将结果按要求精确到$1°$即可。
【解析】
步骤1：将科学计算器调整为角度模式；
步骤2：按下反正切功能键（标识为$\tan^{-1}$或$\arctan$），输入数值0.3249，计算可得$α\approx17.998°$；
步骤3：按照精确到$1°$的要求对结果四舍五入，可得$α\approx18°$。
【答案】
$18°$
【知识点】
1. 由三角函数值求锐角
2. 近似数的取舍
【点评】
本题属于基础应用题，重点考查科学计算器求解锐角角度的操作方法，以及按精度要求处理近似值的能力，熟练掌握计算器的相关操作即可快速解答。
【难度系数】
0.8
5. 当角度在$0°$到$90°$之间变化时，函数值随着角度的增大而增大的三角函数是 （
A.正弦和余弦
B.正弦和正切
C.余弦和正切
D.正弦、余弦和正切
B
）A.正弦和余弦
B.正弦和正切
C.余弦和正切
D.正弦、余弦和正切
答案
5.B
解析
【分析】
本题考查锐角三角函数的增减性，解题时可先结合锐角三角函数的定义，分别回忆0°~90°范围内正弦、余弦、正切三个三角函数的变化规律：正弦是对边与斜边的比，角度增大时对边变长，斜边不变，因此正弦值随角度增大而增大；余弦是邻边与斜边的比，角度增大时邻边变短，斜边不变，因此余弦值随角度增大而减小；正切是对边与邻边的比，角度增大时对边变长、邻边变短，因此正切值随角度增大而增大。再根据上述规律匹配选项即可。
【解析】
当角度在$0°$到$90°$之间变化时：
1. 正弦值：随角度的增大而增大；
2. 余弦值：随角度的增大而减小；
3. 正切值：随角度的增大而增大。
因此函数值随角度增大而增大的是正弦和正切，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
锐角三角函数的增减性、锐角三角函数的定义
【点评】
本题是基础题型，重点考查对锐角三角函数变化规律的掌握，熟练记忆各三角函数在0°~90°内的增减性即可快速解题，无复杂运算，属于易得分题。
【难度系数】
0.8
本题考查锐角三角函数的增减性，解题时可先结合锐角三角函数的定义，分别回忆0°~90°范围内正弦、余弦、正切三个三角函数的变化规律：正弦是对边与斜边的比，角度增大时对边变长，斜边不变，因此正弦值随角度增大而增大；余弦是邻边与斜边的比，角度增大时邻边变短，斜边不变，因此余弦值随角度增大而减小；正切是对边与邻边的比，角度增大时对边变长、邻边变短，因此正切值随角度增大而增大。再根据上述规律匹配选项即可。
【解析】
当角度在$0°$到$90°$之间变化时：
1. 正弦值：随角度的增大而增大；
2. 余弦值：随角度的增大而减小；
3. 正切值：随角度的增大而增大。
因此函数值随角度增大而增大的是正弦和正切，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
锐角三角函数的增减性、锐角三角函数的定义
【点评】
本题是基础题型，重点考查对锐角三角函数变化规律的掌握，熟练记忆各三角函数在0°~90°内的增减性即可快速解题，无复杂运算，属于易得分题。
【难度系数】
0.8
6. 下列式子正确的是 （
A.$\sin 55° ＜ \cos 36°$
B.$\sin 55° ＞ \cos 36°$
C.$\sin 50° = \cos 50°$
D.$\cos 50° ＞ \cos 36°$
B
）A.$\sin 55° ＜ \cos 36°$
B.$\sin 55° ＞ \cos 36°$
C.$\sin 50° = \cos 50°$
D.$\cos 50° ＞ \cos 36°$
答案
6.B
解析
【分析】
要比较不同名的锐角三角函数值的大小，首先可以利用“互余两角的三角函数关系：$\cosα=\sin(90°-α)$”将余弦转化为正弦，统一为同名三角函数后，再根据锐角三角函数的增减性判断大小即可。
【解析】
我们先利用互余角的三角函数关系转换，再结合增减性逐一判断选项：
1. 分析A、B选项：
根据$\cosα=\sin(90°-α)$，可得$\cos36°=\sin(90°-36°)=\sin54°$。
已知正弦值在$0°＜α＜90°$范围内随角度增大而增大，因为$55°＞54°$，所以$\sin55°＞\sin54°$，即$\sin55°＞\cos36°$，因此A错误，B正确。
2. 分析C选项：
同理$\cos50°=\sin(90°-50°)=\sin40°$，因为$\sin50°＞\sin40°$，所以$\sin50°＞\cos50°$，C错误。
3. 分析D选项：
余弦值在$0°＜α＜90°$范围内随角度增大而减小，因为$50°＞36°$，所以$\cos50°＜\cos36°$，D错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
互余角的三角函数关系；锐角三角函数的增减性
【点评】
本题考查锐角三角函数的大小比较，解题的核心是掌握同名三角函数比较大小的规则，以及异名三角函数的转换方法，是三角函数部分的基础题型。
【难度系数】
0.7
要比较不同名的锐角三角函数值的大小，首先可以利用“互余两角的三角函数关系：$\cosα=\sin(90°-α)$”将余弦转化为正弦，统一为同名三角函数后，再根据锐角三角函数的增减性判断大小即可。
【解析】
我们先利用互余角的三角函数关系转换，再结合增减性逐一判断选项：
1. 分析A、B选项：
根据$\cosα=\sin(90°-α)$，可得$\cos36°=\sin(90°-36°)=\sin54°$。
已知正弦值在$0°＜α＜90°$范围内随角度增大而增大，因为$55°＞54°$，所以$\sin55°＞\sin54°$，即$\sin55°＞\cos36°$，因此A错误，B正确。
2. 分析C选项：
同理$\cos50°=\sin(90°-50°)=\sin40°$，因为$\sin50°＞\sin40°$，所以$\sin50°＞\cos50°$，C错误。
3. 分析D选项：
余弦值在$0°＜α＜90°$范围内随角度增大而减小，因为$50°＞36°$，所以$\cos50°＜\cos36°$，D错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
互余角的三角函数关系；锐角三角函数的增减性
【点评】
本题考查锐角三角函数的大小比较，解题的核心是掌握同名三角函数比较大小的规则，以及异名三角函数的转换方法，是三角函数部分的基础题型。
【难度系数】
0.7
比较三角函数值的大小→求锐角的取值范围
已知∠A为锐角，且$\tan A=3$，则∠A的取值范围是 （
A.$0°＜∠ A＜30°$
B.$30°＜∠ A＜45°$
C.$45°＜∠ A＜60°$
D.$60°＜∠ A＜90°$
已知∠A为锐角，且$\tan A=3$，则∠A的取值范围是 （
D
）A.$0°＜∠ A＜30°$
B.$30°＜∠ A＜45°$
C.$45°＜∠ A＜60°$
D.$60°＜∠ A＜90°$
答案
【变式训练】D
解析
【分析】
要确定锐角∠A的取值范围，我们可以结合特殊锐角的正切值，以及锐角正切函数的增减性来判断：第一步先回忆30°、45°、60°这几个常见特殊角的正切值；第二步明确锐角范围内，正切值随角度增大而增大的性质；第三步将tanA=3和特殊角的正切值比较大小，即可推出∠A的范围。
【解析】
首先写出常见特殊锐角的正切值：
$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}\approx0.577$，$\tan45°=1$，$\tan60°=\sqrt{3}\approx1.732$。
根据锐角三角函数的性质：在$0°＜∠α＜90°$范围内，正切值随角度的增大而增大。
已知$\tan A=3$，可得$3＞\sqrt{3}$，即$\tan A＞\tan60°$，因此$∠ A＞60°$。
又因为$∠ A$是锐角，所以$∠ A＜90°$。
综上，$60°＜∠ A＜90°$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
特殊角的三角函数值；锐角三角函数的增减性
【点评】
本题考查对特殊角三角函数值的掌握，以及利用锐角三角函数的增减性判断角度范围，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值，理解锐角正切函数的变化规律。
【难度系数】
0.8
要确定锐角∠A的取值范围，我们可以结合特殊锐角的正切值，以及锐角正切函数的增减性来判断：第一步先回忆30°、45°、60°这几个常见特殊角的正切值；第二步明确锐角范围内，正切值随角度增大而增大的性质；第三步将tanA=3和特殊角的正切值比较大小，即可推出∠A的范围。
【解析】
首先写出常见特殊锐角的正切值：
$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}\approx0.577$，$\tan45°=1$，$\tan60°=\sqrt{3}\approx1.732$。
根据锐角三角函数的性质：在$0°＜∠α＜90°$范围内，正切值随角度的增大而增大。
已知$\tan A=3$，可得$3＞\sqrt{3}$，即$\tan A＞\tan60°$，因此$∠ A＞60°$。
又因为$∠ A$是锐角，所以$∠ A＜90°$。
综上，$60°＜∠ A＜90°$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
特殊角的三角函数值；锐角三角函数的增减性
【点评】
本题考查对特殊角三角函数值的掌握，以及利用锐角三角函数的增减性判断角度范围，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值，理解锐角正切函数的变化规律。
【难度系数】
0.8
7.已知锐角α满足$\frac{\sqrt{2}}{2}＜\sinα＜\frac{\sqrt{3}}{2}$，则α的取值范围为（
A.$30°＜α＜45°$
B.$45°＜α＜60°$
C.$60°＜α＜90°$
D.$30°＜α＜60°$
B
）A.$30°＜α＜45°$
B.$45°＜α＜60°$
C.$60°＜α＜90°$
D.$30°＜α＜60°$
答案
7.B
解析
【分析】
要确定α的取值范围，首先需要回忆两个核心知识点：一是特殊锐角的正弦值，二是锐角正弦值的变化规律。第一步先写出和题目中给出的正弦边界值对应的特殊角度；第二步利用锐角正弦值随角度增大而增大的性质，即可由正弦值的范围推导出角度的范围。
【解析】
首先写出特殊角的正弦值：
$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$
我们知道，在锐角范围内，正弦值随角度的增大而增大。
已知$\frac{\sqrt{2}}{2}＜\sinα＜\frac{\sqrt{3}}{2}$，代入特殊角的正弦值可得：
$\sin45°＜\sinα＜\sin60°$
结合锐角正弦的增减性，可得角度的范围为：$45°＜α＜60°$
因此选B选项。
【答案】
B
【知识点】
特殊角的三角函数值；锐角三角函数的增减性
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对特殊角三角函数值的识记，以及对锐角正弦函数增减性的运用，熟练掌握相关基础知识点即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要确定α的取值范围，首先需要回忆两个核心知识点：一是特殊锐角的正弦值，二是锐角正弦值的变化规律。第一步先写出和题目中给出的正弦边界值对应的特殊角度；第二步利用锐角正弦值随角度增大而增大的性质，即可由正弦值的范围推导出角度的范围。
【解析】
首先写出特殊角的正弦值：
$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$
我们知道，在锐角范围内，正弦值随角度的增大而增大。
已知$\frac{\sqrt{2}}{2}＜\sinα＜\frac{\sqrt{3}}{2}$，代入特殊角的正弦值可得：
$\sin45°＜\sinα＜\sin60°$
结合锐角正弦的增减性，可得角度的范围为：$45°＜α＜60°$
因此选B选项。
【答案】
B
【知识点】
特殊角的三角函数值；锐角三角函数的增减性
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对特殊角三角函数值的识记，以及对锐角正弦函数增减性的运用，熟练掌握相关基础知识点即可快速求解。
【难度系数】
0.8
8. [易错题]三角函数$\sin 40°,\cos 16°,\tan 50°$之间的大小关系是
$\sin 40°＜\cos 16°＜\tan 50°$
.(用“＜”连接)答案
8. $\sin 40°＜\cos 16°＜\tan 50°$
解析
【分析】
要比较三个锐角三角函数的大小，首先可利用互余角的三角函数关系将余弦转化为正弦，再根据锐角正弦函数的增减性比较前两个数的大小，同时明确锐角正弦值均小于1；再结合正切函数的增减性，以特殊角45°的正切值1为中间量，比较第三个数和前两个的大小，即可得出三者的大小关系。
【解析】
解：①先将余弦转化为正弦：根据互余两角的三角函数关系$\cosα=\sin(90°-α)$，可得$\cos16°=\sin(90°-16°)=\sin74°$。
②比较$\sin40°$和$\cos16°$的大小：
∵锐角的正弦值随角度的增大而增大，且$40°＜74°$，
∴$\sin40°＜\sin74°$，即$\sin40°＜\cos16°$，
又
∵锐角的正弦值都小于1，
∴$\sin40°＜\cos16°＜1$。
③比较$\tan50°$和前两个数的大小：
∵锐角的正切值随角度的增大而增大，且$50°＞45°$，$\tan45°=1$，
∴$\tan50°＞\tan45°=1$。
综上可得三者大小关系。
【答案】
$\sin 40°＜\cos 16°＜\tan 50°$
【知识点】
锐角三角函数增减性，互余角三角函数关系，特殊角三角函数值
【点评】
本题是三角函数大小比较的常见题型，解题核心是将不同名三角函数统一为同名函数，再结合三角函数的增减性和特殊角的函数值作为中间量进行比较，需注意区分不同三角函数在锐角范围内的增减性，避免混淆出错。
【难度系数】
0.6
要比较三个锐角三角函数的大小，首先可利用互余角的三角函数关系将余弦转化为正弦，再根据锐角正弦函数的增减性比较前两个数的大小，同时明确锐角正弦值均小于1；再结合正切函数的增减性，以特殊角45°的正切值1为中间量，比较第三个数和前两个的大小，即可得出三者的大小关系。
【解析】
解：①先将余弦转化为正弦：根据互余两角的三角函数关系$\cosα=\sin(90°-α)$，可得$\cos16°=\sin(90°-16°)=\sin74°$。
②比较$\sin40°$和$\cos16°$的大小：
∵锐角的正弦值随角度的增大而增大，且$40°＜74°$，
∴$\sin40°＜\sin74°$，即$\sin40°＜\cos16°$，
又
∵锐角的正弦值都小于1，
∴$\sin40°＜\cos16°＜1$。
③比较$\tan50°$和前两个数的大小：
∵锐角的正切值随角度的增大而增大，且$50°＞45°$，$\tan45°=1$，
∴$\tan50°＞\tan45°=1$。
综上可得三者大小关系。
【答案】
$\sin 40°＜\cos 16°＜\tan 50°$
【知识点】
锐角三角函数增减性，互余角三角函数关系，特殊角三角函数值
【点评】
本题是三角函数大小比较的常见题型，解题核心是将不同名三角函数统一为同名函数，再结合三角函数的增减性和特殊角的函数值作为中间量进行比较，需注意区分不同三角函数在锐角范围内的增减性，避免混淆出错。
【难度系数】
0.6
9. 在平面直角坐标系中，O是坐标原点，P是第二象限内一点，连接OP.若OP与x轴的负半轴之间的夹角$α=50°$，$OP=13.5$，则点P到x轴的距离约为
10.34
.(结果精确到0.01)答案
9. 10.34
解析
【分析】
要计算点P到x轴的距离，可过点P向x轴作垂线构造直角三角形：点P到x轴的距离就是该直角三角形中角α的对边长度，已知斜边OP的长度和角α的度数，结合锐角正弦函数的定义即可求出对应边长，注意结果按要求精确到0.01。
【解析】
过点P作PA⊥x轴于点A，则∠PAO=90°，PA的长度就是点P到x轴的距离。
在Rt△PAO中，∠POA=α=50°，斜边OP=13.5，
根据正弦函数的定义：$\sinα=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{PA}{OP}$，
可得：$PA=OP·\sin50°$，
代入数值计算：$\sin50°\approx0.7660$，
所以$PA\approx13.5×0.7660=10.341\approx10.34$。
【答案】
10.34
【知识点】
1. 正弦函数的定义
2. 解直角三角形
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查解直角三角形的应用，解题关键是正确构造直角三角形，找准边角对应的三角函数关系，计算时需注意三角函数值的准确度和结果的精度要求。
【难度系数】
0.75
要计算点P到x轴的距离，可过点P向x轴作垂线构造直角三角形：点P到x轴的距离就是该直角三角形中角α的对边长度，已知斜边OP的长度和角α的度数，结合锐角正弦函数的定义即可求出对应边长，注意结果按要求精确到0.01。
【解析】
过点P作PA⊥x轴于点A，则∠PAO=90°，PA的长度就是点P到x轴的距离。
在Rt△PAO中，∠POA=α=50°，斜边OP=13.5，
根据正弦函数的定义：$\sinα=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{PA}{OP}$，
可得：$PA=OP·\sin50°$，
代入数值计算：$\sin50°\approx0.7660$，
所以$PA\approx13.5×0.7660=10.341\approx10.34$。
【答案】
10.34
【知识点】
1. 正弦函数的定义
2. 解直角三角形
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查解直角三角形的应用，解题关键是正确构造直角三角形，找准边角对应的三角函数关系，计算时需注意三角函数值的准确度和结果的精度要求。
【难度系数】
0.75
10.[新课标—探究题](1)通过计算比较大小，并提出你的猜想：
sin 60°
猜想：已知$0°＜α＜45°$,则$\sin 2α$
(2)在$△ ABC$中，$AB=AC=1$，$∠ BAC=2α$，请根据
，，利用面积法验证(1)中的猜想.
sin 60°
=
2sin 30°cos 30°.猜想：已知$0°＜α＜45°$,则$\sin 2α$
=
$2\sin α\cos α$.(2)在$△ ABC$中，$AB=AC=1$，$∠ BAC=2α$，请根据
，，利用面积法验证(1)中的猜想.答案
10.(1)= =
(2)由题图1得$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· \sin 2α · AC$,由图2得$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× 2AB· \sin α · AC· \cos α,\therefore \sin 2α=2\sin α\cos α.$
(2)由题图1得$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· \sin 2α · AC$,由图2得$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× 2AB· \sin α · AC· \cos α,\therefore \sin 2α=2\sin α\cos α.$
解析
【分析】
(1) 先分别计算左右两边特殊角的三角函数值，比较大小后即可得出规律，提出合理猜想。
(2) 利用面积法验证猜想的核心是用两种不同方式表示△ABC的面积，根据同一三角形面积相等列等式，化简后即可得到结论。第一步先结合图1，通过AC边上的高BE表示出△ABC的面积；第二步结合图2，利用等腰三角形三线合一的性质，通过底边BC和底边上的高AD表示出△ABC的面积；第三步让两个面积表达式相等，整理即可验证猜想。
【解析】
(1) 计算得：$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$2\sin30°\cos30°=2×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，因此$\sin60°=2\sin30°\cos30°$；
结合计算结果可猜想：当$0°＜α＜45°$时，$\sin2α=2\sinα\cosα$。
(2) 证明：
在图1中，$BE⊥ AC$，$AB=AC=1$，$∠ BAC=2α$，
在$Rt△ ABE$中，$BE=AB·\sin2α=\sin2α$，
因此$△ ABC$的面积$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BE=\frac{1}{2}AB· AC·\sin2α=\frac{1}{2}\sin2α$。
在图2中，$AD⊥ BC$，$AB=AC$，由等腰三角形三线合一得：$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=α$，$BC=2BD$，
在$Rt△ ABD$中，$BD=AB·\sinα=\sinα$，$AD=AB·\cosα=\cosα$，因此$BC=2\sinα$，
因此$△ ABC$的面积$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×2AB·\sinα· AC·\cosα=\sinα\cosα$。
因为两种方式表示的是同一个三角形的面积，所以$\frac{1}{2}\sin2α=\sinα\cosα$，
两边同乘2得：$\sin2α=2\sinα\cosα$，猜想得证。
【答案】
(1) $=$；$=$
(2) 验证成立，$\sin2α=2\sinα\cosα$
【知识点】
特殊角三角函数值；等腰三角形性质；三角形面积计算
【点评】
本题通过猜想、验证的探究过程考查三角函数的基础应用，既需要熟练掌握特殊角的三角函数计算，也需要灵活运用面积法建立等量关系，能够有效锻炼逻辑推导能力和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
(1) 先分别计算左右两边特殊角的三角函数值，比较大小后即可得出规律，提出合理猜想。
(2) 利用面积法验证猜想的核心是用两种不同方式表示△ABC的面积，根据同一三角形面积相等列等式，化简后即可得到结论。第一步先结合图1，通过AC边上的高BE表示出△ABC的面积；第二步结合图2，利用等腰三角形三线合一的性质，通过底边BC和底边上的高AD表示出△ABC的面积；第三步让两个面积表达式相等，整理即可验证猜想。
【解析】
(1) 计算得：$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$2\sin30°\cos30°=2×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，因此$\sin60°=2\sin30°\cos30°$；
结合计算结果可猜想：当$0°＜α＜45°$时，$\sin2α=2\sinα\cosα$。
(2) 证明：
在图1中，$BE⊥ AC$，$AB=AC=1$，$∠ BAC=2α$，
在$Rt△ ABE$中，$BE=AB·\sin2α=\sin2α$，
因此$△ ABC$的面积$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BE=\frac{1}{2}AB· AC·\sin2α=\frac{1}{2}\sin2α$。
在图2中，$AD⊥ BC$，$AB=AC$，由等腰三角形三线合一得：$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=α$，$BC=2BD$，
在$Rt△ ABD$中，$BD=AB·\sinα=\sinα$，$AD=AB·\cosα=\cosα$，因此$BC=2\sinα$，
因此$△ ABC$的面积$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×2AB·\sinα· AC·\cosα=\sinα\cosα$。
因为两种方式表示的是同一个三角形的面积，所以$\frac{1}{2}\sin2α=\sinα\cosα$，
两边同乘2得：$\sin2α=2\sinα\cosα$，猜想得证。
【答案】
(1) $=$；$=$
(2) 验证成立，$\sin2α=2\sinα\cosα$
【知识点】
特殊角三角函数值；等腰三角形性质；三角形面积计算
【点评】
本题通过猜想、验证的探究过程考查三角函数的基础应用，既需要熟练掌握特殊角的三角函数计算，也需要灵活运用面积法建立等量关系，能够有效锻炼逻辑推导能力和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
