操作一:如图①,准备一张等腰三角形纸片ABC,将其对折使两腰AB,AC重合,展开纸片,折痕为AD,此时BD CD(填“＞”“＜”“=”);

操作二:如图②,过点D分别作DE⊥AB,垂足为E,DF⊥AC,垂足为F;
操作三:如图③,再次将其对折使两腰AB,AC重合,观察DE与DF的关系.
猜想:DE DF(填“＞”“＜”“=”).
内容探究
证明:如图②,由操作一可知,D是BC的 .
∵AB=AC,∴AD是∠BAC的 (依据: ).
∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE DF(依据: ).
如果DE,DF分别是AB,AC上的中线或∠ADB,∠ADC的平分线,它们还相等吗?请说明理由.由等腰三角形是轴对称图形,利用类似的方法,还可以得到等腰三角形中哪些线段相等?并证明该结论(写出一条即可).
探究应用
1.数学活动课上,老师提出了一个问题:等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗?如图,在等腰△ABC中,AB=AC,D是边BC的中点,同学们就这个问题展开如下探究.
【初步探究】

(1)小丽认为:不用连接AD,通过证明△BDE≌△CDF也能得到这个结论.请在上面的表格中写出小丽的证法.
【类比探究】(2)如图③,老师提出:若在等腰△ABC中,作腰AB上的高CG,则CG与DE存在确定的数量关系.请你直接写出这个数量关系,并进行验证.

内容探究部分：
当DE,DF分别是AB,AC上的中线时,DE=DF.
理由如下：
∵ AB=AC,
∴ BE=CF(中线定义).
由折叠的性质,得BD=CD.
又
∵ ∠B=∠C,
∴ △BDE≌△CDF,
∴ DE=DF.
当DE,DF分别是∠ADB,∠ADC的平分线时,DE=DF.
理由如下：
由题知AD⊥BC(三线合一),
∴ ∠ADB=∠ADC=90°.
∵ DE平分∠ADB,DF平分∠ADC,
∴ ∠ADE=∠ADF=45°.
由折叠的性质,得∠BAD=∠CAD.
又
∵ AD是公共边,
∴ △ADE≌△ADF,
∴ DE=DF.
利用类似的方法,还可以得到等腰三角形中两腰上的高相等(答案不唯一).
证明如下：
如解图,分别过点B,C作△ABC边AC,AB上的高BM,CN.
由面积公式,得$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BM=\frac{1}{2}AB· CN$,
∵ AB=AC,
∴ BM=CN,即等腰三角形中两腰上的高相等.

1. (1)证明:
∵ DE⊥AB,DF⊥AC,
∴ ∠DEB=∠DFC=90°.
∵ AB=AC,
∴ ∠B=∠C.
∵ D是BC的中点,
∴ BD=CD.
在△BDE和△CDF中,$\begin{cases} ∠DEB=∠DFC, \\ ∠B=∠C, \\ BD=CD, \end{cases}$
∴ △BDE≌△CDF(AAS),
∴ DE=DF.
(2)解:CG=2DE,验证如下:
如解图,连接AD.
∵ AB=AC,D是BC的中点,
∴ AD是∠BAC的平分线.
∵ DE⊥AB,DF⊥AC,
∴ DE=DF.
∵ $S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}$,
∴ $\frac{1}{2}AB· CG=\frac{1}{2}AB· DE+\frac{1}{2}AC· DF=\frac{1}{2}AB· DE+\frac{1}{2}AB· DE=\frac{1}{2}AB· 2DE$,
∴ CG=2DE.