6. 如图，AD是∠BAC的平分线，∠B=∠EAC，ED⊥AD于点D. 求证：ED平分∠AEB.

6. 证明:如解图,延长 $AD$ 交 $BC$ 于点 $F$.
$\because AD$ 是$∠ BAC$ 的平分线,
$\therefore ∠ BAD=∠ CAD$.
$\because ∠ DFE=∠ B+∠ BAD,∠ DAE=∠ EAC+∠ CAD,∠ B=∠ EAC$,
$\therefore ∠ DFE=∠ DAE$,
$\therefore AE=FE$.
$\because ED⊥ AD$,
$\therefore ED$ 平分$∠ AEB$.

如图,已知$AE=FE$,$BD=CD$. 延长$AD$到点$M$,使$DM=AD$,连接$BM$,则$BF=BM=AC$.

证明：
在$△ ADC$和$△ MDB$中，
$\{\begin{array}{l}AD=MD \\∠ ADC=∠ MDB \\CD=BD\end{array} $
$\therefore △ ADC ≌ △ MDB(\mathrm{SAS})$
$\therefore AC=BM$，$∠ CAD=∠ M$
$\because AE=FE$
$\therefore ∠ CAD=∠ AFE$
又$\because ∠ AFE=∠ BFM$
$\therefore ∠ M=∠ BFM$
$\therefore BF=BM$
$\therefore BF=BM=AC$

7. 如图，AD是$△ ABC$的中线，点E在AD上，连接BE，且$BE=AC$，求证：$∠ BED=∠ CAD$.

7. 证明:如解图,延长 $AD$ 至点 $F$,使 $DF = AD$,连接 $BF$.
$\because AD$ 是$△ ABC$ 的中线,
$\therefore BD=CD$.
在 $△ ADC$ 和 $△ FDB$ 中,
$\begin{cases}AD=FD, \\∠ ADC=∠ FDB, \\CD=BD,\end{cases}$
$\therefore △ ADC≌ △ FDB(\mathrm{SAS})$,
$\therefore AC=BF,∠ CAD=∠ F$.
$\because BE=AC$,
$\therefore BE=BF$,
$\therefore ∠ F=∠ BED$,
$\therefore ∠ BED=∠ CAD$.

8. 如图,在$△ ABC$中,AD为中线,E为AB上一点,连接CE交AD于点F,且$AE=EF$.求证:$AB=CF$.

8. 证明:如解图,延长 $FD$ 至点 $H$,使 $DH = FD$,连接 $BH$.
$\because AD$ 是$△ ABC$ 的中线,
$\therefore BD=CD$.
在 $△ BDH$ 和 $△ CDF$ 中,
$\begin{cases}BD=CD, \\∠ BDH=∠ CDF, \\DH=DF,\end{cases}$
$\therefore △ BDH≌ △ CDF(\mathrm{SAS})$,
$\therefore ∠ H=∠ CFD,CF=BH$.
$\because AE=EF$,
$\therefore ∠ EAF=∠ AFE$.
$\because ∠ AFE=∠ CFD$,
$\therefore ∠ EAF=∠ H$,
$\therefore AB=BH$,
$\therefore AB=CF$.

9. 如图, 在$△ ABC$中, $AD$ 平分 $∠ BAC$, $∠ B = 2∠ ADB$, $AB=4$, $CD=7$, 则 $AC$ 的长为 ()


A.10
B.11
C.12
D.15

9. B

10. 如图,已知E为△ABC内部一点,连接AE并延长交边BC于点D,连接BE,CE,∠BED=∠BAC=2∠DEC.若AC=AB,求证:BE=2AE.

10. 证明:如解图,在 $EB$ 上截取 $EF=AE$,连接 $AF$,设 $∠ BED=∠ BAC=2α$,
$\therefore ∠ FAE=∠ AFE=α,∠ DEC=α$,
$\therefore ∠ AEC=∠ AFB$.
$\because ∠ CAD+∠ BAD=∠ BAC=2α,∠ ABE+∠ BAD=∠ BED=2α$,
$\therefore ∠ CAE=∠ ABE$.
在 $△ CAE$ 和 $△ ABF$ 中,
$\begin{cases}∠ AEC=∠ BFA, \\∠ CAE=∠ ABF, \\AC=BA,\end{cases}$
$\therefore △ CAE≌ △ ABF(\mathrm{AAS})$,
$\therefore BF=AE=EF$,
$\therefore BE=2AE$.