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9. 如下图所示,两张同样大的正方形硬纸板,一张剪去1个大圆,另一张剪去4个相同的小圆。哪种剪法剩下的废料多？（
A.第一种
B.第二种
C.一样多
D.无法确定
C
）A.第一种
B.第二种
C.一样多
D.无法确定
答案
9. C
解析
【分析】
要判断哪种剪法剩下的废料多，由于两张正方形硬纸板大小完全相同，因此只需比较两种剪法中剪掉的圆形总面积的大小即可：若剪掉的总面积相等，则剩余废料同样多。我们可以先设正方形的边长为一个未知数，再分别结合圆的直径与正方形边长的关系，计算1个大圆的面积和4个小圆的总面积，最后比较二者大小就能得到结论。
【解析】
设正方形的边长为$a$。
1. 计算第一种剪法剪掉的大圆面积：
大圆的直径等于正方形的边长$a$，因此大圆半径$r_1=\frac{a}{2}$，根据圆的面积公式$S=π r^2$可得：
$S_{大圆}=π×(\frac{a}{2})^2=\frac{π a^2}{4}$
2. 计算第二种剪法剪掉的4个小圆的总面积：
4个小圆按2行2列排列，因此2个小圆的直径之和等于正方形的边长$a$，则每个小圆的直径为$\frac{a}{2}$，小圆半径$r_2=\frac{a}{2}÷2=\frac{a}{4}$。
1个小圆的面积：$S_{小圆}=π×(\frac{a}{4})^2=\frac{π a^2}{16}$
4个小圆的总面积：$S_{总小圆}=4×\frac{π a^2}{16}=\frac{π a^2}{4}$
3. 比较剩余废料面积：
因为$S_{大圆}=S_{总小圆}$，且两张正方形面积相等，剩余废料面积=正方形面积-剪掉的圆形面积，因此两种剪法剩下的废料一样多。
【答案】
C
【知识点】
圆的面积计算，图形关系分析，面积比较
【点评】
本题解题的核心是找准不同剪法中圆的直径和正方形边长的对应关系，通过设字母表示边长的方法，不需要计算具体数值，仅通过面积表达式对比即可得出结论，能有效提升对几何图形数量关系的分析能力。
【难度系数】
0.7
要判断哪种剪法剩下的废料多，由于两张正方形硬纸板大小完全相同，因此只需比较两种剪法中剪掉的圆形总面积的大小即可：若剪掉的总面积相等，则剩余废料同样多。我们可以先设正方形的边长为一个未知数，再分别结合圆的直径与正方形边长的关系，计算1个大圆的面积和4个小圆的总面积，最后比较二者大小就能得到结论。
【解析】
设正方形的边长为$a$。
1. 计算第一种剪法剪掉的大圆面积：
大圆的直径等于正方形的边长$a$，因此大圆半径$r_1=\frac{a}{2}$，根据圆的面积公式$S=π r^2$可得：
$S_{大圆}=π×(\frac{a}{2})^2=\frac{π a^2}{4}$
2. 计算第二种剪法剪掉的4个小圆的总面积：
4个小圆按2行2列排列，因此2个小圆的直径之和等于正方形的边长$a$，则每个小圆的直径为$\frac{a}{2}$，小圆半径$r_2=\frac{a}{2}÷2=\frac{a}{4}$。
1个小圆的面积：$S_{小圆}=π×(\frac{a}{4})^2=\frac{π a^2}{16}$
4个小圆的总面积：$S_{总小圆}=4×\frac{π a^2}{16}=\frac{π a^2}{4}$
3. 比较剩余废料面积：
因为$S_{大圆}=S_{总小圆}$，且两张正方形面积相等，剩余废料面积=正方形面积-剪掉的圆形面积，因此两种剪法剩下的废料一样多。
【答案】
C
【知识点】
圆的面积计算，图形关系分析，面积比较
【点评】
本题解题的核心是找准不同剪法中圆的直径和正方形边长的对应关系，通过设字母表示边长的方法，不需要计算具体数值，仅通过面积表达式对比即可得出结论，能有效提升对几何图形数量关系的分析能力。
【难度系数】
0.7
10. 下面说法正确的是(
① $π=3.14$。
② 一个圆的面积与半径的比的比值是$π r$。
③ 圆越大，圆周率越大。
④ 扇形是轴对称图形。
A.①②③
B.②③④
C.②④
D.①④
C
)。① $π=3.14$。
② 一个圆的面积与半径的比的比值是$π r$。
③ 圆越大，圆周率越大。
④ 扇形是轴对称图形。
A.①②③
B.②③④
C.②④
D.①④
答案
10. C
解析
【分析】
解题时我们需要逐个判断4个关于圆、扇形的说法是否正确，再选出全对的选项。首先回忆相关知识点逐一验证：首先明确圆周率是固定的无限不循环小数，3.14只是它的近似值；再结合圆的面积公式计算面积和半径的比值；再判断圆周率是否和圆的大小有关；最后根据轴对称图形的定义判断扇形是否符合即可得出结论。
【解析】
我们对每个说法逐一判断：
① π是无限不循环小数，3.14只是π的近似值，二者并不相等，该说法错误；
② 圆的面积公式为$S=π r^2$，圆的面积与半径的比为$π r^2:r$，比值为$π r^2÷ r=π r$，该说法正确；
③ 圆周率是圆的周长与直径的比值，是固定不变的常数，和圆的大小没有关系，该说法错误；
④ 扇形有1条过圆心和弧中点的对称轴，沿对称轴对折后两边可以完全重合，属于轴对称图形，该说法正确。
综上，②④说法正确，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
圆周率的意义；圆的面积计算；轴对称图形的判断
【点评】
本题综合考查了圆与扇形的基础概念，易错点在于容易误认为π等于3.14，或者计算圆面积和半径的比值时出错，只要牢固掌握基础定义和公式就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
解题时我们需要逐个判断4个关于圆、扇形的说法是否正确，再选出全对的选项。首先回忆相关知识点逐一验证：首先明确圆周率是固定的无限不循环小数，3.14只是它的近似值；再结合圆的面积公式计算面积和半径的比值；再判断圆周率是否和圆的大小有关；最后根据轴对称图形的定义判断扇形是否符合即可得出结论。
【解析】
我们对每个说法逐一判断：
① π是无限不循环小数，3.14只是π的近似值，二者并不相等，该说法错误；
② 圆的面积公式为$S=π r^2$，圆的面积与半径的比为$π r^2:r$，比值为$π r^2÷ r=π r$，该说法正确；
③ 圆周率是圆的周长与直径的比值，是固定不变的常数，和圆的大小没有关系，该说法错误；
④ 扇形有1条过圆心和弧中点的对称轴，沿对称轴对折后两边可以完全重合，属于轴对称图形，该说法正确。
综上，②④说法正确，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
圆周率的意义；圆的面积计算；轴对称图形的判断
【点评】
本题综合考查了圆与扇形的基础概念，易错点在于容易误认为π等于3.14，或者计算圆面积和半径的比值时出错，只要牢固掌握基础定义和公式就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
11. 下面每个小方格的边长表示1厘米。
(1) 在图中画一个最大的圆,并标出圆心O和半径r。
(2) 这个圆的面积是(
(3) 在这个圆中画一个扇形,使扇形的面积是圆面积的$\frac{1}{4}$,这个扇形的面积是(
(1) 在图中画一个最大的圆,并标出圆心O和半径r。
(2) 这个圆的面积是(
9π
)平方厘米。(3) 在这个圆中画一个扇形,使扇形的面积是圆面积的$\frac{1}{4}$,这个扇形的面积是(
$\frac{9}{4}π$
)平方厘米。答案
11. (1) 略 (2) 9π (3) $\frac{9}{4}π$
解析
【分析】
解题思路如下：1. 解决第一问：在方格纸中画最大的圆，圆的直径最大只能等于方格纸较短边的长度，先数出方格短边的格子数得到直径长度，再取方格中心为圆心，直径的一半为半径画圆并标注即可。2. 解决第二问：已知圆的半径，直接代入圆的面积公式计算即可。3. 解决第三问：扇形面积是圆面积的$\frac{1}{4}$，直接用圆的面积乘$\frac{1}{4}$就能得到扇形的面积。
【解析】
(1) 观察方格纸可知，较短边的长度为6厘米（共6个小格，每格边长1厘米），因此最大圆的直径为6厘米，半径$r=6÷2=3$厘米。选取方格纸的中心位置作为圆心O，以3厘米为半径画圆，标注出圆心O和半径r即可，画图略。
(2) 根据圆的面积公式$S=π r^2$，将$r=3$代入得：$S=π×3^2=9π$（平方厘米）。
(3) 已知扇形面积是圆面积的$\frac{1}{4}$，因此扇形面积为：$9π×\frac{1}{4}=\frac{9}{4}π$（平方厘米）。
【答案】
(1) 略
(2) $9π$
(3) $\frac{9}{4}π$
【知识点】
圆的认识；圆的面积计算；扇形面积计算
【点评】
本题结合方格纸考察圆的相关性质及面积计算，解题的核心是准确确定方格中最大圆的半径，整体侧重对基础几何公式的运用，能较好地检验学生对圆和扇形相关知识的掌握程度。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 解决第一问：在方格纸中画最大的圆，圆的直径最大只能等于方格纸较短边的长度，先数出方格短边的格子数得到直径长度，再取方格中心为圆心，直径的一半为半径画圆并标注即可。2. 解决第二问：已知圆的半径，直接代入圆的面积公式计算即可。3. 解决第三问：扇形面积是圆面积的$\frac{1}{4}$，直接用圆的面积乘$\frac{1}{4}$就能得到扇形的面积。
【解析】
(1) 观察方格纸可知，较短边的长度为6厘米（共6个小格，每格边长1厘米），因此最大圆的直径为6厘米，半径$r=6÷2=3$厘米。选取方格纸的中心位置作为圆心O，以3厘米为半径画圆，标注出圆心O和半径r即可，画图略。
(2) 根据圆的面积公式$S=π r^2$，将$r=3$代入得：$S=π×3^2=9π$（平方厘米）。
(3) 已知扇形面积是圆面积的$\frac{1}{4}$，因此扇形面积为：$9π×\frac{1}{4}=\frac{9}{4}π$（平方厘米）。
【答案】
(1) 略
(2) $9π$
(3) $\frac{9}{4}π$
【知识点】
圆的认识；圆的面积计算；扇形面积计算
【点评】
本题结合方格纸考察圆的相关性质及面积计算，解题的核心是准确确定方格中最大圆的半径，整体侧重对基础几何公式的运用，能较好地检验学生对圆和扇形相关知识的掌握程度。
【难度系数】
0.7
12. 以圆为基本图形，通过添加学过的图形，设计一个有趣的图案，使这个图案有4条对称轴。
答案
答：可以设计古铜钱样式的图案：先画一个圆，在圆内部画出4个顶点都落在圆上的最大正方形，这个组合图案共有4条对称轴，分别是正方形两组对边中点所在的直线、正方形两条对角线所在的直线，符合题目要求。
解析
【分析】
解题时先明确题目两个核心要求：一是以圆为基础添加已学过的图形，二是最终组合图案要有4条对称轴。首先回忆学过的平面图形中，恰好有4条对称轴的典型图形是正方形；接下来只需让圆和正方形的对称轴完全重合即可，把正方形的中心和圆心对齐，让正方形四个顶点都落在圆上（也就是圆的内接最大正方形），此时两个图形的对称轴完全重合，组合后的图案就会保留4条对称轴，还可以设计成大家熟悉的古铜钱样式，满足“有趣的图案”的要求。
【解析】
步骤1：先画一个任意大小的圆，确定圆心位置；
步骤2：以圆心为中心，在圆内部画最大的正方形，保证正方形的4个顶点都落在圆的圆周上；
步骤3：验证对称轴：该组合图形的对称轴共有4条，分别是正方形两组对边中点的连线、正方形两条对角线所在的直线，这4条直线同时也是圆的对称轴，完全符合题目要求，这个组合图案就是常见的古铜钱样式，造型有趣。
【答案】
可以设计古铜钱样式的图案：先画一个圆，在圆内部画出4个顶点都落在圆上的最大正方形，这个组合图案共有4条对称轴，分别是正方形两组对边中点所在的直线、正方形两条对角线所在的直线，符合题目要求。
【知识点】
对称轴的认识，圆的特征，正方形的特征
【点评】
本题属于开放性设计类题目，既考查对常见平面图形对称轴数量的掌握情况，也锻炼学生的创新设计能力，解题关键是保证添加的图形与圆的对称轴完全重合，确保最终组合图案的对称轴数量符合要求。
【难度系数】
0.7
解题时先明确题目两个核心要求：一是以圆为基础添加已学过的图形，二是最终组合图案要有4条对称轴。首先回忆学过的平面图形中，恰好有4条对称轴的典型图形是正方形；接下来只需让圆和正方形的对称轴完全重合即可，把正方形的中心和圆心对齐，让正方形四个顶点都落在圆上（也就是圆的内接最大正方形），此时两个图形的对称轴完全重合，组合后的图案就会保留4条对称轴，还可以设计成大家熟悉的古铜钱样式，满足“有趣的图案”的要求。
【解析】
步骤1：先画一个任意大小的圆，确定圆心位置；
步骤2：以圆心为中心，在圆内部画最大的正方形，保证正方形的4个顶点都落在圆的圆周上；
步骤3：验证对称轴：该组合图形的对称轴共有4条，分别是正方形两组对边中点的连线、正方形两条对角线所在的直线，这4条直线同时也是圆的对称轴，完全符合题目要求，这个组合图案就是常见的古铜钱样式，造型有趣。
【答案】
可以设计古铜钱样式的图案：先画一个圆，在圆内部画出4个顶点都落在圆上的最大正方形，这个组合图案共有4条对称轴，分别是正方形两组对边中点所在的直线、正方形两条对角线所在的直线，符合题目要求。
【知识点】
对称轴的认识，圆的特征，正方形的特征
【点评】
本题属于开放性设计类题目，既考查对常见平面图形对称轴数量的掌握情况，也锻炼学生的创新设计能力，解题关键是保证添加的图形与圆的对称轴完全重合，确保最终组合图案的对称轴数量符合要求。
【难度系数】
0.7
13. 琳琳用圆规和直尺设计出了下面的图案，她是怎样画出来的？试着在旁边画一画。
答案
画法：
1. 用直尺画出一个正方形。
2. 用直尺找出正方形四条边的中点。
3. 调整圆规，使两脚间的距离等于正方形边长的一半。
4. 分别以正方形每条边的中点为圆心，向正方形内部画出以该边为直径的半圆，画出4个半圆后即可得到题图的图案。
答：按照上述步骤即可画出该图案。
1. 用直尺画出一个正方形。
2. 用直尺找出正方形四条边的中点。
3. 调整圆规，使两脚间的距离等于正方形边长的一半。
4. 分别以正方形每条边的中点为圆心，向正方形内部画出以该边为直径的半圆，画出4个半圆后即可得到题图的图案。
答：按照上述步骤即可画出该图案。
解析
【分析】
首先观察图案的构成：外部轮廓是正方形，内部的花瓣形图案由4条相同的半圆弧围成。我们可以从外到内拆解绘图思路：第一步先绘制外围的正方形；接着观察内部圆弧的特征，每条圆弧都是半圆的一部分，且每个半圆的直径恰好对应正方形的一条边，由此可确定半圆的圆心是正方形对应边的中点，半径为正方形边长的一半；最后分别以四条边的中点为圆心，向正方形内部画4个半圆，就能得到目标图案。
【解析】
绘图步骤如下：
1. 先用直尺画一个大小合适的正方形。
2. 借助直尺测量，找到正方形四条边的中点并做好标记。
3. 调整圆规两脚的间距，使间距等于正方形边长的一半（即半圆的半径）。
4. 依次以正方形四条边的中点为圆心，向正方形内部画出以对应边为直径的半圆，4个半圆全部画完后就得到题中的图案。
【答案】
画法：
1. 用直尺画出一个正方形。
2. 用直尺找出正方形四条边的中点。
3. 调整圆规，使两脚间的距离等于正方形边长的一半。
4. 分别以正方形每条边的中点为圆心，向正方形内部画出以该边为直径的半圆，画出4个半圆后即可得到题图的图案。
答：按照上述步骤即可画出该图案。
【知识点】
正方形的特征，圆的画法，图案设计
【点评】
本题需要先观察分析复杂图案的组成结构，将其拆解为正方形、半圆等基础图形，再结合基础图形的绘制方法逐步操作，能够有效锻炼图形观察能力和动手作图能力。
【难度系数】
0.7
首先观察图案的构成：外部轮廓是正方形，内部的花瓣形图案由4条相同的半圆弧围成。我们可以从外到内拆解绘图思路：第一步先绘制外围的正方形；接着观察内部圆弧的特征，每条圆弧都是半圆的一部分，且每个半圆的直径恰好对应正方形的一条边，由此可确定半圆的圆心是正方形对应边的中点，半径为正方形边长的一半；最后分别以四条边的中点为圆心，向正方形内部画4个半圆，就能得到目标图案。
【解析】
绘图步骤如下：
1. 先用直尺画一个大小合适的正方形。
2. 借助直尺测量，找到正方形四条边的中点并做好标记。
3. 调整圆规两脚的间距，使间距等于正方形边长的一半（即半圆的半径）。
4. 依次以正方形四条边的中点为圆心，向正方形内部画出以对应边为直径的半圆，4个半圆全部画完后就得到题中的图案。
【答案】
画法：
1. 用直尺画出一个正方形。
2. 用直尺找出正方形四条边的中点。
3. 调整圆规，使两脚间的距离等于正方形边长的一半。
4. 分别以正方形每条边的中点为圆心，向正方形内部画出以该边为直径的半圆，画出4个半圆后即可得到题图的图案。
答：按照上述步骤即可画出该图案。
【知识点】
正方形的特征，圆的画法，图案设计
【点评】
本题需要先观察分析复杂图案的组成结构，将其拆解为正方形、半圆等基础图形，再结合基础图形的绘制方法逐步操作，能够有效锻炼图形观察能力和动手作图能力。
【难度系数】
0.7
四、解决问题。
14. 一个圆形花园，直径是35米。现在要沿着花园四周每隔5米栽一棵树，能栽多少棵树？（π取3）
14. 一个圆形花园，直径是35米。现在要沿着花园四周每隔5米栽一棵树，能栽多少棵树？（π取3）
答案
14. $3×35÷5=21$(棵)
答:最多能栽21棵树。
答:最多能栽21棵树。
解析
【分析】
这道题是结合圆周长计算的封闭路线植树问题，解题思路如下：首先要明确沿圆形花园四周栽树属于封闭路线的植树场景，这类场景中栽树的总长度就是圆形花园的周长，所以第一步需要用圆的周长公式算出花园的周长；其次封闭路线的植树规律是：栽树棵数=间隔数，因此用周长除以相邻两棵树的间隔距离，就能得到栽树的总棵数。
【解析】
1. 计算圆形花园的周长：
根据圆的周长公式$C=π d$（$d$为圆的直径），代入已知条件$π=3$，$d=35$米，可得：
$C=3×35=105$（米）
2. 计算栽树棵数：
封闭路线植树时，栽树棵数等于间隔数，间隔距离为5米，因此：
$105÷5=21$（棵）
【答案】
21棵
【知识点】
圆的周长计算、封闭路线植树问题
【点评】
本题融合了几何计算和植树问题两个考点，解题的核心是牢记封闭路线中植树棵数和间隔数相等的规律，避免和非封闭路线的植树公式混淆。
【难度系数】
0.7
这道题是结合圆周长计算的封闭路线植树问题，解题思路如下：首先要明确沿圆形花园四周栽树属于封闭路线的植树场景，这类场景中栽树的总长度就是圆形花园的周长，所以第一步需要用圆的周长公式算出花园的周长；其次封闭路线的植树规律是：栽树棵数=间隔数，因此用周长除以相邻两棵树的间隔距离，就能得到栽树的总棵数。
【解析】
1. 计算圆形花园的周长：
根据圆的周长公式$C=π d$（$d$为圆的直径），代入已知条件$π=3$，$d=35$米，可得：
$C=3×35=105$（米）
2. 计算栽树棵数：
封闭路线植树时，栽树棵数等于间隔数，间隔距离为5米，因此：
$105÷5=21$（棵）
【答案】
21棵
【知识点】
圆的周长计算、封闭路线植树问题
【点评】
本题融合了几何计算和植树问题两个考点，解题的核心是牢记封闭路线中植树棵数和间隔数相等的规律，避免和非封闭路线的植树公式混淆。
【难度系数】
0.7
15. 计算涂色部分的面积。(单位:厘米)
(1)
(2)
(1)
(2)
答案
15. (1) $(6-π)$平方厘米
(2) 24 平方厘米
(2) 24 平方厘米
解析
【分析】
第(1)题：采用“整体减空白”的思路求解，先算出包含涂色部分的规则基础图形总面积，再计算空白曲线图形的面积，二者的差就是涂色部分的面积。
第(2)题：采用“割补转化”的思路求解，不需要单独计算每个小块涂色部分的面积，通过平移、拼接将不规则的涂色部分转化为规则图形，直接用规则图形的面积公式计算即可。
【解析】
(1) 观察图形可知，整体是长3厘米、宽2厘米的长方形，空白部分是直径为2厘米的整圆。
① 长方形面积：$3×2=6$（平方厘米）
② 圆的半径：$2÷2=1$（厘米），圆的面积：$π×1^2=π$（平方厘米）
③ 涂色部分面积：$6-π$（平方厘米）
(2) 观察图形可知，将零散的涂色部分通过平移拼接后，可转化为长6厘米、宽4厘米的长方形。
涂色部分面积：$6×4=24$（平方厘米）
【答案】
(1) $(6-π)$平方厘米
(2) 24 平方厘米
【知识点】
组合图形面积计算，圆的面积计算，割补法求面积
【点评】
本题重点考察组合图形面积的求解能力，需要灵活运用转化思想，把陌生的不规则图形转化为已经学过的规则图形计算，注意计算圆的面积时要找准半径。
【难度系数】
0.7
第(1)题：采用“整体减空白”的思路求解，先算出包含涂色部分的规则基础图形总面积，再计算空白曲线图形的面积，二者的差就是涂色部分的面积。
第(2)题：采用“割补转化”的思路求解，不需要单独计算每个小块涂色部分的面积，通过平移、拼接将不规则的涂色部分转化为规则图形，直接用规则图形的面积公式计算即可。
【解析】
(1) 观察图形可知，整体是长3厘米、宽2厘米的长方形，空白部分是直径为2厘米的整圆。
① 长方形面积：$3×2=6$（平方厘米）
② 圆的半径：$2÷2=1$（厘米），圆的面积：$π×1^2=π$（平方厘米）
③ 涂色部分面积：$6-π$（平方厘米）
(2) 观察图形可知，将零散的涂色部分通过平移拼接后，可转化为长6厘米、宽4厘米的长方形。
涂色部分面积：$6×4=24$（平方厘米）
【答案】
(1) $(6-π)$平方厘米
(2) 24 平方厘米
【知识点】
组合图形面积计算，圆的面积计算，割补法求面积
【点评】
本题重点考察组合图形面积的求解能力，需要灵活运用转化思想，把陌生的不规则图形转化为已经学过的规则图形计算，注意计算圆的面积时要找准半径。
【难度系数】
0.7
