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14.如下图所示，把一根绳子看成线段AB，从P点处把绳子剪断。若 $AP = \frac{2}{5}AB$，且剪断后的两段绳子中较长的一段为30 cm，则这根绳子原来长多少厘米？
答案
已知$AP=\frac{2}{5}AB$，那么$PB=AB-AP=AB-\frac{2}{5}AB=\frac{3}{5}AB$。
因为$\frac{3}{5}＞\frac{2}{5}$，所以较长的一段是PB，长度为30 cm。
$30 ÷ \frac{3}{5}=50$(cm)
解析
【分析】解题时先把绳子的总长度AB看作单位“1”，已知AP占AB的$\frac{2}{5}$，首先用单位“1”减去AP的占比，算出PB段占总长度的分率；接下来比较两段的占比大小，确定较长段对应的分率；最后根据较长段的实际长度为30cm，用对应长度除以对应分率，即可求出绳子原来的总长度。
【解析】
把绳子总长度AB看作单位“1”：
1. 计算PB段占总长度的分率：
$PB = AB - AP = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$
2. 比较两段占比：$\frac{3}{5} ＞ \frac{2}{5}$，因此较长的一段为PB，对应长度是30cm。
3. 计算绳子原长：
$30 ÷ \frac{3}{5} = 30 × \frac{5}{3} = 50$（cm）
【答案】
50cm
【知识点】
分数除法应用、线段和差计算
【点评】
本题结合线段剪切的场景考查分数除法的实际应用，解题关键是找准较长线段对应的分率，再利用“对应量÷对应分率=单位‘1’的量”计算总长度，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
【解析】
把绳子总长度AB看作单位“1”：
1. 计算PB段占总长度的分率：
$PB = AB - AP = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$
2. 比较两段占比：$\frac{3}{5} ＞ \frac{2}{5}$，因此较长的一段为PB，对应长度是30cm。
3. 计算绳子原长：
$30 ÷ \frac{3}{5} = 30 × \frac{5}{3} = 50$（cm）
【答案】
50cm
【知识点】
分数除法应用、线段和差计算
【点评】
本题结合线段剪切的场景考查分数除法的实际应用，解题关键是找准较长线段对应的分率，再利用“对应量÷对应分率=单位‘1’的量”计算总长度，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
三、解决问题
15. 六(1)班学生绘制了一幅长$\frac{1}{100}$ km的“保护环境，人人有责”的主题画，他们7天绘制了这幅画长度的$\frac{5}{7}$，
请你提一个用两步计算解决的数学问题，并解答。
15. 六(1)班学生绘制了一幅长$\frac{1}{100}$ km的“保护环境，人人有责”的主题画，他们7天绘制了这幅画长度的$\frac{5}{7}$，
平均每天绘制多少千米
？请你提一个用两步计算解决的数学问题，并解答。
答案
示例问题：平均每天绘制多少千米。
$\frac{1}{100} × \frac{5}{7} = \frac{1}{140}$(km)
$\frac{1}{140} ÷7 = \frac{1}{980}$(km)
$\frac{1}{100} × \frac{5}{7} = \frac{1}{140}$(km)
$\frac{1}{140} ÷7 = \frac{1}{980}$(km)
解析
【分析】
首先梳理已知条件：主题画总长度为$\frac{1}{100}$km，7天绘制了总长度的$\frac{5}{7}$，要求提出两步计算的问题并解答。我们可以围绕“平均每天的绘制长度”提问题，解题逻辑分为两步：第一步先依据“求一个数的几分之几是多少用乘法”，算出7天总共绘制的长度；第二步将7天的绘制总长度除以天数7，得到平均每天的绘制长度，刚好符合两步计算的要求。
【解析】
提出问题：平均每天绘制多少千米？
第一步：计算7天一共绘制的长度：
$\frac{1}{100} × \frac{5}{7} = \frac{1}{140}$(km)
第二步：计算平均每天绘制的长度：
$\frac{1}{140} ÷7 = \frac{1}{980}$(km)
【答案】
平均每天绘制$\frac{1}{980}$千米。
【知识点】
求一个数的几分之几是多少，分数乘除运算，归一问题
【点评】
本题属于开放性应用题，既考查学生结合已知条件提出合理问题的能力，也考查分数乘除法的实际应用能力，解题时只要理清数量关系，按步骤计算即可。
【难度系数】
0.7
首先梳理已知条件：主题画总长度为$\frac{1}{100}$km，7天绘制了总长度的$\frac{5}{7}$，要求提出两步计算的问题并解答。我们可以围绕“平均每天的绘制长度”提问题，解题逻辑分为两步：第一步先依据“求一个数的几分之几是多少用乘法”，算出7天总共绘制的长度；第二步将7天的绘制总长度除以天数7，得到平均每天的绘制长度，刚好符合两步计算的要求。
【解析】
提出问题：平均每天绘制多少千米？
第一步：计算7天一共绘制的长度：
$\frac{1}{100} × \frac{5}{7} = \frac{1}{140}$(km)
第二步：计算平均每天绘制的长度：
$\frac{1}{140} ÷7 = \frac{1}{980}$(km)
【答案】
平均每天绘制$\frac{1}{980}$千米。
【知识点】
求一个数的几分之几是多少，分数乘除运算，归一问题
【点评】
本题属于开放性应用题，既考查学生结合已知条件提出合理问题的能力，也考查分数乘除法的实际应用能力，解题时只要理清数量关系，按步骤计算即可。
【难度系数】
0.7
16.冬至是北半球一年中白昼最短、黑夜最长的一天。这一天，某地区黑夜时长是白昼时长的$\frac{5}{3}$。这一天，该地区的白昼和黑夜时长分别是多少小时？（一天按24小时计算）
答案
白昼：$24 ÷ (1+\frac{5}{3})=9$(时)
黑夜：$24-9=15$(时)
黑夜：$24-9=15$(时)
解析
【分析】
解题时首先确定单位“1”，由“黑夜时长是白昼时长的$\frac{5}{3}$”可知，把白昼时长看作单位“1”，则黑夜时长对应的分率为$\frac{5}{3}$。一天总时长24小时对应的总分率就是白昼与黑夜的分率之和$1+\frac{5}{3}$，根据“单位‘1’的量=对应总量÷对应分率”，先求出白昼时长，再用总时长减去白昼时长即可得到黑夜时长。
【解析】
解：将该地区白昼时长看作单位“1”。
总时长对应的总分率：$1+\frac{5}{3}=\frac{8}{3}$
白昼时长：$24÷\frac{8}{3}=24×\frac{3}{8}=9$（小时）
黑夜时长：$24-9=15$（小时）
【答案】
白昼9小时，黑夜15小时
【知识点】
分数除法应用、单位“1”判定、量率对应
【点评】
本题是分数实际应用的基础题型，解题核心是准确判断单位“1”，找到总量对应的分率，熟练掌握量率对应关系后即可快速解决同类问题。
【难度系数】
0.8
解题时首先确定单位“1”，由“黑夜时长是白昼时长的$\frac{5}{3}$”可知，把白昼时长看作单位“1”，则黑夜时长对应的分率为$\frac{5}{3}$。一天总时长24小时对应的总分率就是白昼与黑夜的分率之和$1+\frac{5}{3}$，根据“单位‘1’的量=对应总量÷对应分率”，先求出白昼时长，再用总时长减去白昼时长即可得到黑夜时长。
【解析】
解：将该地区白昼时长看作单位“1”。
总时长对应的总分率：$1+\frac{5}{3}=\frac{8}{3}$
白昼时长：$24÷\frac{8}{3}=24×\frac{3}{8}=9$（小时）
黑夜时长：$24-9=15$（小时）
【答案】
白昼9小时，黑夜15小时
【知识点】
分数除法应用、单位“1”判定、量率对应
【点评】
本题是分数实际应用的基础题型，解题核心是准确判断单位“1”，找到总量对应的分率，熟练掌握量率对应关系后即可快速解决同类问题。
【难度系数】
0.8
17.地球绕太阳公转，每$\frac{1}{3}$秒约行10 km，那么地球15分钟大约可以绕太阳公转多少千米？
答案
15分=900秒
$10 ÷ \frac{1}{3}=30$(千米/秒)
$30×900=27000$(km)
$10 ÷ \frac{1}{3}=30$(千米/秒)
$30×900=27000$(km)
解析
【分析】
要计算地球15分钟公转的路程，首先需要统一时间单位，将分钟换算为秒；其次根据“路程÷时间=速度”，用已知的$\frac{1}{3}$秒行驶的10km算出地球公转的速度；最后根据“速度×时间=路程”，用算出的速度乘总时间就能得到总路程。
【解析】
第一步：换算时间单位，1分钟=60秒，因此：
$15分=15×60=900秒$
第二步：计算地球公转的速度，已知$\frac{1}{3}$秒行10km，速度为：
$10 ÷ \frac{1}{3}=30$(千米/秒)
第三步：计算900秒行驶的总路程：
$30×900=27000$(km)
【答案】
27000km
【知识点】
行程问题、分数除法、时间单位换算
【点评】
本题结合生活常识出题，既考查了单位换算的细心程度，也考查了分数除法的运算能力和行程公式的应用，解题时要注意先统一单位再计算，避免因单位不匹配出错。
【难度系数】
0.8
要计算地球15分钟公转的路程，首先需要统一时间单位，将分钟换算为秒；其次根据“路程÷时间=速度”，用已知的$\frac{1}{3}$秒行驶的10km算出地球公转的速度；最后根据“速度×时间=路程”，用算出的速度乘总时间就能得到总路程。
【解析】
第一步：换算时间单位，1分钟=60秒，因此：
$15分=15×60=900秒$
第二步：计算地球公转的速度，已知$\frac{1}{3}$秒行10km，速度为：
$10 ÷ \frac{1}{3}=30$(千米/秒)
第三步：计算900秒行驶的总路程：
$30×900=27000$(km)
【答案】
27000km
【知识点】
行程问题、分数除法、时间单位换算
【点评】
本题结合生活常识出题，既考查了单位换算的细心程度，也考查了分数除法的运算能力和行程公式的应用，解题时要注意先统一单位再计算，避免因单位不匹配出错。
【难度系数】
0.8
18.艾糍是我国南方多地的传统特色小吃。刘阿姨做艾糍时，用一袋$\frac{6}{5}$ kg的糯米粉与水混合，搅拌成浆体，倒满3只碗后，还剩这袋糯米粉的$\frac{2}{5}$。平均每只碗内倒了这袋糯米粉的几分之几？
答案
$1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$
$\frac{3}{5} ÷3=\frac{1}{5}$
$\frac{3}{5} ÷3=\frac{1}{5}$
解析
【分析】
解题时首先明确题目所求的是每只碗所用糯米粉占整袋的分率，而非具体质量，因此题干给出的$\frac{6}{5}$kg是多余干扰条件。我们将整袋糯米粉的总量看作单位“1”，第一步先计算3只碗一共用去这袋糯米粉的分率，用单位“1”减去剩余的分率即可得到；第二步把用去的总分率平均分成3份，每份就是每只碗所用糯米粉的占比，用除法计算即可。
【解析】
解：将这袋糯米粉的总质量看作单位“1”。
1. 计算3只碗一共用去糯米粉的分率：
$1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$
2. 计算平均每只碗倒的分率：
$\frac{3}{5} ÷3=\frac{1}{5}$
【答案】
$\frac{1}{5}$
【知识点】
单位“1”的应用、分数除法运算
【点评】
本题的易错点是被给出的糯米粉具体质量误导，解题核心是明确所求为分率，找准单位“1”后先求出3碗对应的总分率，再用平均分的思路计算即可，能很好地考查学生对分数应用题的辨析能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确题目所求的是每只碗所用糯米粉占整袋的分率，而非具体质量，因此题干给出的$\frac{6}{5}$kg是多余干扰条件。我们将整袋糯米粉的总量看作单位“1”，第一步先计算3只碗一共用去这袋糯米粉的分率，用单位“1”减去剩余的分率即可得到；第二步把用去的总分率平均分成3份，每份就是每只碗所用糯米粉的占比，用除法计算即可。
【解析】
解：将这袋糯米粉的总质量看作单位“1”。
1. 计算3只碗一共用去糯米粉的分率：
$1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$
2. 计算平均每只碗倒的分率：
$\frac{3}{5} ÷3=\frac{1}{5}$
【答案】
$\frac{1}{5}$
【知识点】
单位“1”的应用、分数除法运算
【点评】
本题的易错点是被给出的糯米粉具体质量误导，解题核心是明确所求为分率，找准单位“1”后先求出3碗对应的总分率，再用平均分的思路计算即可，能很好地考查学生对分数应用题的辨析能力。
【难度系数】
0.7
