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8. 跨学科·语文 [2026亳州期中]在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝.欣赏下面改编的诗歌：大江东去浪淘尽，千古风流人物.而立之年督东吴，早逝英年两位数.十位恰小个位三，个位平方与寿符.这位风流人物去世时的年龄为 （
A.36岁
B.38岁
C.40岁
D.42岁
A
）A.36岁
B.38岁
C.40岁
D.42岁
答案
8.A
解析
【分析】
这是结合古诗文的数字类一元二次方程应用题，解题时先提取核心数量关系：①去世年龄是两位数；②十位数字比个位数字小3；③个位数字的平方等于年龄数值；④去世年龄大于30岁（而立之年才督东吴，去世时间晚于该节点）。我们可以设个位数字为未知数，用含未知数的式子表示十位数字和年龄数值，再根据等量关系列方程求解，最后结合实际背景舍去不符合的解即可。
【解析】
解：设这位风流人物去世年龄的个位数字为$x$，则十位数字为$(x-3)$，年龄的数值可表示为$10(x-3)+x$。
根据“个位平方与寿符”列方程：
$x^2 = 10(x-3) + x$
整理得：$x^2 -11x +30 = 0$
因式分解得：$(x-5)(x-6)=0$
解得：$x_1=5$，$x_2=6$
当$x=5$时，年龄为$5^2=25$岁，$25＜30$，不符合“而立之年督东吴”的条件，舍去；
当$x=6$时，年龄为$6^2=36$岁，$36＞30$，符合题意。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程应用；数字问题；方程验根
【点评】
本题属于跨学科题型，将古诗文背景和数学方程应用结合，既考查了提取等量关系列方程、解方程的能力，也要求结合实际背景验证解的合理性，趣味性较强。
【难度系数】
0.7
这是结合古诗文的数字类一元二次方程应用题，解题时先提取核心数量关系：①去世年龄是两位数；②十位数字比个位数字小3；③个位数字的平方等于年龄数值；④去世年龄大于30岁（而立之年才督东吴，去世时间晚于该节点）。我们可以设个位数字为未知数，用含未知数的式子表示十位数字和年龄数值，再根据等量关系列方程求解，最后结合实际背景舍去不符合的解即可。
【解析】
解：设这位风流人物去世年龄的个位数字为$x$，则十位数字为$(x-3)$，年龄的数值可表示为$10(x-3)+x$。
根据“个位平方与寿符”列方程：
$x^2 = 10(x-3) + x$
整理得：$x^2 -11x +30 = 0$
因式分解得：$(x-5)(x-6)=0$
解得：$x_1=5$，$x_2=6$
当$x=5$时，年龄为$5^2=25$岁，$25＜30$，不符合“而立之年督东吴”的条件，舍去；
当$x=6$时，年龄为$6^2=36$岁，$36＞30$，符合题意。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程应用；数字问题；方程验根
【点评】
本题属于跨学科题型，将古诗文背景和数学方程应用结合，既考查了提取等量关系列方程、解方程的能力，也要求结合实际背景验证解的合理性，趣味性较强。
【难度系数】
0.7
9. 数学文化《九章算术》中有这样一道题：“今有二人同所立.甲行率六，乙行率四.乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会.问：甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4.乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.那么相遇时，甲走了（
A.24步
B.30步
C.32步
D.36步
D
）A.24步
B.30步
C.32步
D.36步
答案
9.D
解析
【分析】
本题是行程问题与勾股定理结合的实际应用题，解题思路如下：①首先明确甲、乙同时出发到相遇时所用时间相同，可设时间为t，分别表示出两人走的总路程；②分析行走路径：甲向南走的10步、乙向东走的路程、甲斜向走的路程恰好构成直角三角形的三边，其中甲斜向走的路程为甲总路程减10，两条直角边分别为10步和乙走的总路程；③利用勾股定理列方程求解时间t，再计算甲走的总路程即可。
【解析】
设甲、乙从出发到相遇共用时$ t $。
由题意得：乙走的路程为$ 4t $，甲走的总路程为$ 6t $，因此甲斜向北偏东方向走的路程为$ 6t - 10 $。
三人行走路径构成直角三角形，根据勾股定理可得：
$10^2 + (4t)^2 = (6t - 10)^2$
展开并整理方程：
$100 + 16t^2 = 36t^2 - 120t + 100$
移项合并同类项得：
$20t^2 - 120t = 0$
因式分解得：
$20t(t - 6) = 0$
解得$ t_1 = 0 $（不符合实际，舍去），$ t_2 = 6 $。
因此相遇时甲走的路程为$ 6 × 6 = 36 $步。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的应用；行程问题；一元二次方程的解法
【点评】
本题以古代数学文化为背景，结合了行程问题与几何图形性质，解题的核心是根据行走路径抽象出直角三角形，利用勾股定理建立方程求解，很好地考查了数学建模能力和方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
本题是行程问题与勾股定理结合的实际应用题，解题思路如下：①首先明确甲、乙同时出发到相遇时所用时间相同，可设时间为t，分别表示出两人走的总路程；②分析行走路径：甲向南走的10步、乙向东走的路程、甲斜向走的路程恰好构成直角三角形的三边，其中甲斜向走的路程为甲总路程减10，两条直角边分别为10步和乙走的总路程；③利用勾股定理列方程求解时间t，再计算甲走的总路程即可。
【解析】
设甲、乙从出发到相遇共用时$ t $。
由题意得：乙走的路程为$ 4t $，甲走的总路程为$ 6t $，因此甲斜向北偏东方向走的路程为$ 6t - 10 $。
三人行走路径构成直角三角形，根据勾股定理可得：
$10^2 + (4t)^2 = (6t - 10)^2$
展开并整理方程：
$100 + 16t^2 = 36t^2 - 120t + 100$
移项合并同类项得：
$20t^2 - 120t = 0$
因式分解得：
$20t(t - 6) = 0$
解得$ t_1 = 0 $（不符合实际，舍去），$ t_2 = 6 $。
因此相遇时甲走的路程为$ 6 × 6 = 36 $步。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的应用；行程问题；一元二次方程的解法
【点评】
本题以古代数学文化为背景，结合了行程问题与几何图形性质，解题的核心是根据行走路径抽象出直角三角形，利用勾股定理建立方程求解，很好地考查了数学建模能力和方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
10. [2026杭州期末]如图，一块长12 m、宽8 m的长方形户外草坪，规划了两横两纵等宽的石板小径(阴影部分)，石板小径的总面积占户外草坪总面积的$\frac{3}{8}$，则石板小径的宽度为
1
m.答案
10.1
解析
【分析】
解题时我们可以利用平移法，将分散的空白草坪拼接为一个规则的长方形，简化面积计算过程。首先设石板小径的宽度为x m，先计算草坪的总面积，再根据小径面积占比求出空白草坪的总面积；接着用含x的代数式表示拼接后空白长方形的长和宽，根据空白面积列一元二次方程求解，最后舍去不符合实际意义的根即可得到结果。
【解析】
解：长方形草坪的总面积为 $12 × 8 = 96 \, \mathrm{m}^2$。
由题意得，空白草坪的总面积为 $96 × (1-\frac{3}{8}) = 96 × \frac{5}{8} = 60 \, \mathrm{m}^2$。
设石板小径的宽度为 $x \, \mathrm{m}$，两纵的小径总宽度为$2x$，因此拼接后空白长方形的长为 $(12-2x) \, \mathrm{m}$；两横的小径总宽度为$2x$，因此空白长方形的宽为 $(8-2x) \, \mathrm{m}$。
根据空白面积列方程：
$(12-2x)(8-2x) = 60$
展开并整理方程：
$96 - 40x + 4x^2 = 60 \\4x^2 -40x +36 = 0 \x^2 -10x +9 = 0$
因式分解得：
$(x-1)(x-9) = 0$
解得 $x_1 = 1$，$x_2 =9$。
检验：当$x=9$时，$8-2x = 8-18 = -10 ＜0$，不符合实际意义，故舍去。
因此石板小径的宽度为1 m。
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程的应用；长方形面积计算；平移法拼接图形
【点评】
本题属于几何类方程应用题，核心解题技巧是用平移法将分散的不规则空白区域转化为规则长方形，降低计算难度，解题时需注意对求解出的根进行实际意义检验，排除不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
解题时我们可以利用平移法，将分散的空白草坪拼接为一个规则的长方形，简化面积计算过程。首先设石板小径的宽度为x m，先计算草坪的总面积，再根据小径面积占比求出空白草坪的总面积；接着用含x的代数式表示拼接后空白长方形的长和宽，根据空白面积列一元二次方程求解，最后舍去不符合实际意义的根即可得到结果。
【解析】
解：长方形草坪的总面积为 $12 × 8 = 96 \, \mathrm{m}^2$。
由题意得，空白草坪的总面积为 $96 × (1-\frac{3}{8}) = 96 × \frac{5}{8} = 60 \, \mathrm{m}^2$。
设石板小径的宽度为 $x \, \mathrm{m}$，两纵的小径总宽度为$2x$，因此拼接后空白长方形的长为 $(12-2x) \, \mathrm{m}$；两横的小径总宽度为$2x$，因此空白长方形的宽为 $(8-2x) \, \mathrm{m}$。
根据空白面积列方程：
$(12-2x)(8-2x) = 60$
展开并整理方程：
$96 - 40x + 4x^2 = 60 \\4x^2 -40x +36 = 0 \x^2 -10x +9 = 0$
因式分解得：
$(x-1)(x-9) = 0$
解得 $x_1 = 1$，$x_2 =9$。
检验：当$x=9$时，$8-2x = 8-18 = -10 ＜0$，不符合实际意义，故舍去。
因此石板小径的宽度为1 m。
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程的应用；长方形面积计算；平移法拼接图形
【点评】
本题属于几何类方程应用题，核心解题技巧是用平移法将分散的不规则空白区域转化为规则长方形，降低计算难度，解题时需注意对求解出的根进行实际意义检验，排除不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
11. 立德树人·传统文化 为了增加游客体验感和弘扬中国茶文化，观光茶园计划利用一面墙（墙的最大可利用长度为25 m），用栅栏围成一个长方形宣传区ABCD（靠墙一面不用栅栏），中间再用栅栏分隔成两个小长方形，且在如图所示的位置留两个1 m宽的小门，一个区域用来给游客提供制茶、品茶服务，另一个区域用来讲解茶道文化. 若所用栅栏的总长度为52 m，设栅栏BC的长为x m，解答下列问题：
(1)$AB=\_\_\_\_\_\_\mathrm{m}$(用含$x$的代数式表示)；
(2)若要围成面积为$240\ \mathrm{m}^2$的长方形宣传区$ABCD$，则栅栏$BC$的长为
(3)长方形宣传区$ABCD$的面积能不能等于$280\ \mathrm{m}^2$？请说明理由.
(1)$AB=\_\_\_\_\_\_\mathrm{m}$(用含$x$的代数式表示)；
(2)若要围成面积为$240\ \mathrm{m}^2$的长方形宣传区$ABCD$，则栅栏$BC$的长为
10 m
；(3)长方形宣传区$ABCD$的面积能不能等于$280\ \mathrm{m}^2$？请说明理由.
答案
11.解: (1)$(54-3x)$ (2)$10\ \mathrm{m}$ (3)不能.理由略.
解析
【分析】
(1) 先梳理栅栏组成：垂直于墙的栅栏共3条，每条长度等于BC的长x m；平行于墙的栅栏长度为AB的长度减去2个1m宽的小门长度，结合栅栏总长度为52m，列等式即可推导出AB的代数式，同时注意墙的最大可利用长度为25m，AB不能超过该值。
(2) 利用长方形面积=长×宽的公式，代入AB的代数式和面积240m²列一元二次方程求解，再结合墙的长度限制、边长为正的要求筛选符合题意的解。
(3) 先假设面积能达到280m²，按面积公式列一元二次方程，通过计算根的判别式判断方程是否有实数根，若判别式小于0则方程无实根，说明不可能达到该面积。
【解析】
(1) 由题意得：垂直于墙的栅栏总长度为3x m，平行于墙的栅栏长度为$(AB-2×1)\mathrm{m}$，栅栏总长52m，因此：
$3x + (AB - 2) = 52$
移项化简得：$AB = 54 - 3x$
(2) 根据长方形面积公式列方程：
$x(54 - 3x) = 240$
整理得：$x^2 - 18x + 80 = 0$
因式分解得：$(x-8)(x-10)=0$
解得$x_1=8$，$x_2=10$
当$x=8$时，$AB=54-3×8=30\mathrm{m}$，$30＞25$，超过墙的最大可利用长度，不符合题意，舍去；
当$x=10$时，$AB=54-3×10=24\mathrm{m}$，$24≤25$，符合题意。
故栅栏BC的长为10m。
(3) 不能，理由如下：
假设宣传区面积为$280\mathrm{m}^2$，列方程得：
$x(54 - 3x) = 280$
整理得：$3x^2 - 54x + 280 = 0$
计算判别式$\Delta=(-54)^2 - 4×3×280=2916-3360=-444＜0$
因此该一元二次方程无实数根，即长方形宣传区的面积不能等于$280\mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) $\boxed{(54-3x)}$
(2) $\boxed{10\ \mathrm{m}}$
(3) 不能，理由见解析
【知识点】
列代数式；一元二次方程的实际应用；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题结合生活场景考查一元二次方程的几何应用，解题时要注意结合实际限制条件对解进行筛选，避免忽略墙的长度限制出现多解错误，是一元二次方程应用的典型题型。
【难度系数】
0.65
(1) 先梳理栅栏组成：垂直于墙的栅栏共3条，每条长度等于BC的长x m；平行于墙的栅栏长度为AB的长度减去2个1m宽的小门长度，结合栅栏总长度为52m，列等式即可推导出AB的代数式，同时注意墙的最大可利用长度为25m，AB不能超过该值。
(2) 利用长方形面积=长×宽的公式，代入AB的代数式和面积240m²列一元二次方程求解，再结合墙的长度限制、边长为正的要求筛选符合题意的解。
(3) 先假设面积能达到280m²，按面积公式列一元二次方程，通过计算根的判别式判断方程是否有实数根，若判别式小于0则方程无实根，说明不可能达到该面积。
【解析】
(1) 由题意得：垂直于墙的栅栏总长度为3x m，平行于墙的栅栏长度为$(AB-2×1)\mathrm{m}$，栅栏总长52m，因此：
$3x + (AB - 2) = 52$
移项化简得：$AB = 54 - 3x$
(2) 根据长方形面积公式列方程：
$x(54 - 3x) = 240$
整理得：$x^2 - 18x + 80 = 0$
因式分解得：$(x-8)(x-10)=0$
解得$x_1=8$，$x_2=10$
当$x=8$时，$AB=54-3×8=30\mathrm{m}$，$30＞25$，超过墙的最大可利用长度，不符合题意，舍去；
当$x=10$时，$AB=54-3×10=24\mathrm{m}$，$24≤25$，符合题意。
故栅栏BC的长为10m。
(3) 不能，理由如下：
假设宣传区面积为$280\mathrm{m}^2$，列方程得：
$x(54 - 3x) = 280$
整理得：$3x^2 - 54x + 280 = 0$
计算判别式$\Delta=(-54)^2 - 4×3×280=2916-3360=-444＜0$
因此该一元二次方程无实数根，即长方形宣传区的面积不能等于$280\mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) $\boxed{(54-3x)}$
(2) $\boxed{10\ \mathrm{m}}$
(3) 不能，理由见解析
【知识点】
列代数式；一元二次方程的实际应用；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题结合生活场景考查一元二次方程的几何应用，解题时要注意结合实际限制条件对解进行筛选，避免忽略墙的长度限制出现多解错误，是一元二次方程应用的典型题型。
【难度系数】
0.65
12.运算能力 如图,在长方形ABCD中,AB=6 cm,BC=12 cm,点P从点A开始沿边AB向点B以1 cm/s的速度运动,点Q从点B开始沿边BC向点C以2 cm/s的速度运动,当点P到达点B或点Q到达点C时,两点停止运动.已知点P,Q分别从点A,B同时出发,设运动时间为t s.
(1)$△ PBQ$的面积为
(2)当$△ PBQ$的面积等于$8\ \mathrm{cm}^2$时,求t的值.
(3)是否存在面积等于$10\ \mathrm{cm}^2$的$△ PBQ$？若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
(1)$△ PBQ$的面积为
$(-t^2+6t)\mathrm{cm}^2$
（用含t的代数式表示）.(2)当$△ PBQ$的面积等于$8\ \mathrm{cm}^2$时,求t的值.
(3)是否存在面积等于$10\ \mathrm{cm}^2$的$△ PBQ$？若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
答案
12.解: (1)$(-t^2+6t)\mathrm{cm}^2$ (2)$t=2$或$t=4$.
(3)不存在.理由略.
(3)不存在.理由略.
解析
【分析】
解题时先确定运动时间t的取值范围：点P走完全程AB需6s，点Q走完全程BC需6s，故0≤t≤6。
(1) 先根据速度和时间分别表示出PB、BQ的长度，再结合∠B为直角，利用直角三角形面积公式即可列出面积的代数式；
(2) 令第一问得到的面积代数式等于8，得到一元二次方程，求解后验证根是否在t的取值范围内即可；
(3) 假设存在，令面积代数式等于10，得到一元二次方程，通过计算判别式判断方程是否有实数根，即可得出结论。
【解析】
首先确定t的取值范围：点P从A到B的时间为6÷1=6s，点Q从B到C的时间为12÷2=6s，故t的取值范围是0≤t≤6。
(1) 运动t秒时，AP=t cm，因此PB=AB-AP=(6-t)cm，BQ=2t cm。
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠B=90°，
∴$S_{△ PBQ}=\frac{1}{2} · PB · BQ=\frac{1}{2} × (6-t) × 2t=-t^2+6t$，单位为$\mathrm{cm}^2$。
(2) 由题意得：$-t^2+6t=8$，
整理得：$t^2-6t+8=0$，
因式分解得：$(t-2)(t-4)=0$，
解得$t_1=2$，$t_2=4$，两个解均满足0≤t≤6，符合题意。
(3) 不存在，理由如下：
假设存在面积为$10\ \mathrm{cm}^2$的$△ PBQ$，则$-t^2+6t=10$，
整理得：$t^2-6t+10=0$，
计算判别式$\Delta=(-6)^2-4×1×10=36-40=-4＜0$，
∴该一元二次方程无实数根，因此不存在面积等于$10\ \mathrm{cm}^2$的$△ PBQ$。
【答案】
(1) $(-t^2+6t)\mathrm{cm}^2$
(2) $t=2$或$t=4$
(3) 不存在
【知识点】
一元二次方程应用，动点问题求解，根的判别式应用
【点评】
本题结合动点场景考查一元二次方程的实际应用，解题时需先明确动点的运动范围，避免求出的解不符合实际情况，判断是否存在类问题可通过方程根的情况来判定，对学生的方程应用能力和几何基础有一定要求。
【难度系数】
0.7
解题时先确定运动时间t的取值范围：点P走完全程AB需6s，点Q走完全程BC需6s，故0≤t≤6。
(1) 先根据速度和时间分别表示出PB、BQ的长度，再结合∠B为直角，利用直角三角形面积公式即可列出面积的代数式；
(2) 令第一问得到的面积代数式等于8，得到一元二次方程，求解后验证根是否在t的取值范围内即可；
(3) 假设存在，令面积代数式等于10，得到一元二次方程，通过计算判别式判断方程是否有实数根，即可得出结论。
【解析】
首先确定t的取值范围：点P从A到B的时间为6÷1=6s，点Q从B到C的时间为12÷2=6s，故t的取值范围是0≤t≤6。
(1) 运动t秒时，AP=t cm，因此PB=AB-AP=(6-t)cm，BQ=2t cm。
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠B=90°，
∴$S_{△ PBQ}=\frac{1}{2} · PB · BQ=\frac{1}{2} × (6-t) × 2t=-t^2+6t$，单位为$\mathrm{cm}^2$。
(2) 由题意得：$-t^2+6t=8$，
整理得：$t^2-6t+8=0$，
因式分解得：$(t-2)(t-4)=0$，
解得$t_1=2$，$t_2=4$，两个解均满足0≤t≤6，符合题意。
(3) 不存在，理由如下：
假设存在面积为$10\ \mathrm{cm}^2$的$△ PBQ$，则$-t^2+6t=10$，
整理得：$t^2-6t+10=0$，
计算判别式$\Delta=(-6)^2-4×1×10=36-40=-4＜0$，
∴该一元二次方程无实数根，因此不存在面积等于$10\ \mathrm{cm}^2$的$△ PBQ$。
【答案】
(1) $(-t^2+6t)\mathrm{cm}^2$
(2) $t=2$或$t=4$
(3) 不存在
【知识点】
一元二次方程应用，动点问题求解，根的判别式应用
【点评】
本题结合动点场景考查一元二次方程的实际应用，解题时需先明确动点的运动范围，避免求出的解不符合实际情况，判断是否存在类问题可通过方程根的情况来判定，对学生的方程应用能力和几何基础有一定要求。
【难度系数】
0.7
