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3. 如图29.3-2，将$△ OAB$绕着点O顺时针旋转$60°$后得到$△ OA'B'$，若$OB=5$，则$\overset{\frown}{BB'}$的长为（
A.$\dfrac{10π}{3}$
B.$\dfrac{5π}{3}$
C.$\dfrac{25π}{6}$
D.$\dfrac{5π}{6}$
B
）。A.$\dfrac{10π}{3}$
B.$\dfrac{5π}{3}$
C.$\dfrac{25π}{6}$
D.$\dfrac{5π}{6}$
答案
3. B
解析
【分析】
解决本题首先回忆旋转的相关性质：旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，旋转角等于任意一组对应点与旋转中心连线的夹角。首先确定$\overset{\frown}{BB'}$的圆心为点O，半径等于OB的长度，圆心角等于旋转角60°，再代入弧长公式即可计算出弧长。
【解析】
∵△OAB绕点O顺时针旋转60°得到△OA'B'，
∴旋转角∠BOB'=60°，OB=5为$\overset{\frown}{BB'}$所在圆的半径。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（n为弧对应的圆心角度数，r为圆的半径），
将n=60，r=5代入公式得：
$\overset{\frown}{BB'}$的长$=\frac{60×π×5}{180}=\frac{5π}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质，弧长计算
【点评】
本题是基础应用题，核心是结合旋转性质确定弧的圆心角和半径，再代入公式计算，掌握基础概念即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解决本题首先回忆旋转的相关性质：旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，旋转角等于任意一组对应点与旋转中心连线的夹角。首先确定$\overset{\frown}{BB'}$的圆心为点O，半径等于OB的长度，圆心角等于旋转角60°，再代入弧长公式即可计算出弧长。
【解析】
∵△OAB绕点O顺时针旋转60°得到△OA'B'，
∴旋转角∠BOB'=60°，OB=5为$\overset{\frown}{BB'}$所在圆的半径。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（n为弧对应的圆心角度数，r为圆的半径），
将n=60，r=5代入公式得：
$\overset{\frown}{BB'}$的长$=\frac{60×π×5}{180}=\frac{5π}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质，弧长计算
【点评】
本题是基础应用题，核心是结合旋转性质确定弧的圆心角和半径，再代入公式计算，掌握基础概念即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4. 如图29.3-3，在$\odot O$中，AB为直径，点C，D分别在AB两侧，连接AD，CD。若$AB=12$，$∠ D=15°$，则$\overset{\frown}{BC}$的长是（
A.$\frac{5}{2}π$
B.$5π$
C.$15π$
D.$30π$
图29.3-3 图29.3-4 图29.3-5
B
）。A.$\frac{5}{2}π$
B.$5π$
C.$15π$
D.$30π$
图29.3-3 图29.3-4 图29.3-5
答案
4. B
解析
【分析】
要求$\overset{\frown}{BC}$的长，需先回忆弧长公式$l=\frac{nπr}{180}$，公式需要两个核心条件：弧对应的圆心角度数$n$、圆的半径$r$。首先根据直径$AB=12$可直接求出半径$r=6$；接下来求$\overset{\frown}{BC}$对应的圆心角，已知圆周角$∠D=15°$，它所对的弧是$\overset{\frown}{AC}$，根据圆周角定理可先求出$\overset{\frown}{AC}$对应的圆心角，再结合直径对应的平角为$180°$，就能算出$\overset{\frown}{BC}$对应的圆心角，最后代入弧长公式即可求解。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，$AB=12$，
∴$\odot O$的半径$r=\frac{12}{2}=6$，且$∠AOB=180°$。
∵圆周角$∠D=15°$，且$∠D$所对的弧为$\overset{\frown}{AC}$，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴$\overset{\frown}{AC}$对应的圆心角$∠AOC=2×15°=30°$，
∴$\overset{\frown}{BC}$对应的圆心角$∠BOC=180°-30°=150°$。
代入弧长公式得：
$\overset{\frown}{BC}$的长$=\frac{150×π×6}{180}=5π$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理；弧长公式；圆的基本性质
【点评】
本题是圆的基础计算题，解题的关键是熟练掌握圆周角定理和弧长公式，先求出待求弧对应的圆心角与圆的半径，再代入公式计算即可，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
要求$\overset{\frown}{BC}$的长，需先回忆弧长公式$l=\frac{nπr}{180}$，公式需要两个核心条件：弧对应的圆心角度数$n$、圆的半径$r$。首先根据直径$AB=12$可直接求出半径$r=6$；接下来求$\overset{\frown}{BC}$对应的圆心角，已知圆周角$∠D=15°$，它所对的弧是$\overset{\frown}{AC}$，根据圆周角定理可先求出$\overset{\frown}{AC}$对应的圆心角，再结合直径对应的平角为$180°$，就能算出$\overset{\frown}{BC}$对应的圆心角，最后代入弧长公式即可求解。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，$AB=12$，
∴$\odot O$的半径$r=\frac{12}{2}=6$，且$∠AOB=180°$。
∵圆周角$∠D=15°$，且$∠D$所对的弧为$\overset{\frown}{AC}$，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴$\overset{\frown}{AC}$对应的圆心角$∠AOC=2×15°=30°$，
∴$\overset{\frown}{BC}$对应的圆心角$∠BOC=180°-30°=150°$。
代入弧长公式得：
$\overset{\frown}{BC}$的长$=\frac{150×π×6}{180}=5π$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理；弧长公式；圆的基本性质
【点评】
本题是圆的基础计算题，解题的关键是熟练掌握圆周角定理和弧长公式，先求出待求弧对应的圆心角与圆的半径，再代入公式计算即可，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
5. 如图29.3-4，线段AB是$\odot O$的直径，点C，D是圆上两点，连接AC，BD，CD，OC，CB，若$∠ D=30°$，$AC=6$，则阴影部分的面积为（
A.$\dfrac{3}{2}π$
B.$2π$
C.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}π$
D.$π$
B
）.A.$\dfrac{3}{2}π$
B.$2π$
C.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}π$
D.$π$
答案
5. B
解析
【分析】
解题思路如下：首先，根据同弧所对的圆周角相等，由已知∠D=30°得到同弧BC所对的圆周角∠A的度数；其次，利用直径所对的圆周角是直角，得到△ACB是直角三角形，结合已知AC的长度，通过三角函数求出圆的直径，进而得到半径；然后，根据圆心角是同弧所对圆周角的2倍，求出扇形对应的圆心角度数；最后代入扇形面积公式计算阴影部分面积即可。
【解析】
1. 因为∠D和∠A都是弧BC所对的圆周角，根据同弧所对圆周角相等，可得∠A=∠D=30°。
2. 因为AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可知∠ACB=90°，即△ACB是直角三角形。
3. 在Rt△ACB中，AC=6，∠A=30°，由三角函数的定义可知$\cos∠ A=\frac{AC}{AB}$，代入得$AB=\frac{AC}{\cos30°}=\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4\sqrt{3}$，因此⊙O的半径$r=\frac{AB}{2}=2\sqrt{3}$。
4. ∠COB是弧BC所对的圆心角，∠A是弧BC所对的圆周角，根据圆周角定理，圆心角等于同弧所对圆周角的2倍，可得$∠ COB=2∠ A=60°$。
5. 阴影部分为扇形COB，根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$（其中n为圆心角度数，r为半径），代入n=60，r=2√3得：
$S_{阴影}=\frac{60π×(2\sqrt{3})^2}{360}=\frac{60π×12}{360}=2π$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，直角三角形的性质，扇形面积计算
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题的核心是熟练运用圆周角定理实现角的转换，结合直角三角形的边角关系求出圆的半径，再代入扇形面积公式计算即可，是圆章节的常见考查题型。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先，根据同弧所对的圆周角相等，由已知∠D=30°得到同弧BC所对的圆周角∠A的度数；其次，利用直径所对的圆周角是直角，得到△ACB是直角三角形，结合已知AC的长度，通过三角函数求出圆的直径，进而得到半径；然后，根据圆心角是同弧所对圆周角的2倍，求出扇形对应的圆心角度数；最后代入扇形面积公式计算阴影部分面积即可。
【解析】
1. 因为∠D和∠A都是弧BC所对的圆周角，根据同弧所对圆周角相等，可得∠A=∠D=30°。
2. 因为AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可知∠ACB=90°，即△ACB是直角三角形。
3. 在Rt△ACB中，AC=6，∠A=30°，由三角函数的定义可知$\cos∠ A=\frac{AC}{AB}$，代入得$AB=\frac{AC}{\cos30°}=\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4\sqrt{3}$，因此⊙O的半径$r=\frac{AB}{2}=2\sqrt{3}$。
4. ∠COB是弧BC所对的圆心角，∠A是弧BC所对的圆周角，根据圆周角定理，圆心角等于同弧所对圆周角的2倍，可得$∠ COB=2∠ A=60°$。
5. 阴影部分为扇形COB，根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$（其中n为圆心角度数，r为半径），代入n=60，r=2√3得：
$S_{阴影}=\frac{60π×(2\sqrt{3})^2}{360}=\frac{60π×12}{360}=2π$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，直角三角形的性质，扇形面积计算
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题的核心是熟练运用圆周角定理实现角的转换，结合直角三角形的边角关系求出圆的半径，再代入扇形面积公式计算即可，是圆章节的常见考查题型。
【难度系数】
0.7
6. 已知扇形的面积为$6π$，半径为3，则这个扇形的弧长是
4π
（结果保留$π$）。答案
6. 4π
解析
【分析】
要解决已知扇形面积和半径求弧长的问题，首先回忆扇形面积的相关公式，其中扇形面积$S$、弧长$l$、半径$r$满足公式$S=\frac{1}{2}lr$，题目中已经给出$S$和$r$的数值，直接将已知量代入公式，变形求解$l$即可。
【解析】
我们知道扇形面积与弧长、半径的关系公式为：
$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{1}{2}lr$（其中$l$为扇形弧长，$r$为扇形半径）
已知扇形面积$S=6π$，半径$r=3$，代入公式得：
$6π=\frac{1}{2} × l × 3$
对式子变形求解$l$：
$l=6π × 2 ÷ 3 = 4π$
【答案】
$4π$
【知识点】
扇形面积公式、弧长计算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查扇形面积公式的灵活运用，解题时根据已知条件选择合适的扇形面积公式，代入数值计算即可快速得到结果，计算时注意不要遗漏系数$\frac{1}{2}$即可。
【难度系数】
0.8
要解决已知扇形面积和半径求弧长的问题，首先回忆扇形面积的相关公式，其中扇形面积$S$、弧长$l$、半径$r$满足公式$S=\frac{1}{2}lr$，题目中已经给出$S$和$r$的数值，直接将已知量代入公式，变形求解$l$即可。
【解析】
我们知道扇形面积与弧长、半径的关系公式为：
$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{1}{2}lr$（其中$l$为扇形弧长，$r$为扇形半径）
已知扇形面积$S=6π$，半径$r=3$，代入公式得：
$6π=\frac{1}{2} × l × 3$
对式子变形求解$l$：
$l=6π × 2 ÷ 3 = 4π$
【答案】
$4π$
【知识点】
扇形面积公式、弧长计算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查扇形面积公式的灵活运用，解题时根据已知条件选择合适的扇形面积公式，代入数值计算即可快速得到结果，计算时注意不要遗漏系数$\frac{1}{2}$即可。
【难度系数】
0.8
7. 如图29.3-5，将三角尺ABC(其中∠ABC=60°，∠C=90°)绕点B顺时针转动一个角度到A'BC'的位置，使得点A，B，C'在同一条直线上，若BC的长为15 cm，那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为
20π cm
。答案
7. 20π cm
解析
【分析】
要计算顶点A运动的路径长，首先明确A的运动轨迹是绕点B旋转的圆弧，路径长即为该圆弧的长度，需用弧长公式求解。解题步骤如下：①确定圆弧的圆心为B，半径为AB的长度；②结合直角三角形的性质求出AB的长；③根据点A、B、C'共线的条件求出旋转角（即圆弧对应的圆心角）；④代入弧长公式计算结果。
【解析】
顶点A从开始到结束所经过的路径是以点B为圆心、AB长为半径的弧，对应圆心角为旋转角∠ABA'。
1. 求AB的长度：
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，因此∠BAC=30°。根据含30°角的直角三角形性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，BC是∠BAC对的直角边，故AB=2BC。
已知BC=15 cm，因此AB=2×15=30 cm。
2. 求旋转角∠ABA'的度数：
由旋转的性质可知，∠A'BC'=∠ABC=60°。
因为点A、B、C'在同一条直线上，平角为180°，因此∠ABA'=180°-∠A'BC'=180°-60°=120°。
3. 计算弧长：
弧长公式为$l=\frac{nπ r}{180}$（其中n为圆心角度数，r为半径），将n=120，r=30代入得：
$l=\frac{120π×30}{180}=20π$（cm）
【答案】
20π cm
【知识点】
弧长的计算；旋转的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是几何运动类基础题，解题的核心是准确判断动点的运动轨迹，结合旋转性质找到对应圆心角和半径，再套用公式计算即可，是圆章节的常见考查题型。
【难度系数】
0.7
要计算顶点A运动的路径长，首先明确A的运动轨迹是绕点B旋转的圆弧，路径长即为该圆弧的长度，需用弧长公式求解。解题步骤如下：①确定圆弧的圆心为B，半径为AB的长度；②结合直角三角形的性质求出AB的长；③根据点A、B、C'共线的条件求出旋转角（即圆弧对应的圆心角）；④代入弧长公式计算结果。
【解析】
顶点A从开始到结束所经过的路径是以点B为圆心、AB长为半径的弧，对应圆心角为旋转角∠ABA'。
1. 求AB的长度：
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，因此∠BAC=30°。根据含30°角的直角三角形性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，BC是∠BAC对的直角边，故AB=2BC。
已知BC=15 cm，因此AB=2×15=30 cm。
2. 求旋转角∠ABA'的度数：
由旋转的性质可知，∠A'BC'=∠ABC=60°。
因为点A、B、C'在同一条直线上，平角为180°，因此∠ABA'=180°-∠A'BC'=180°-60°=120°。
3. 计算弧长：
弧长公式为$l=\frac{nπ r}{180}$（其中n为圆心角度数，r为半径），将n=120，r=30代入得：
$l=\frac{120π×30}{180}=20π$（cm）
【答案】
20π cm
【知识点】
弧长的计算；旋转的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是几何运动类基础题，解题的核心是准确判断动点的运动轨迹，结合旋转性质找到对应圆心角和半径，再套用公式计算即可，是圆章节的常见考查题型。
【难度系数】
0.7
8. 如图29.3-6，在平面直角坐标系中，$△ ABC$的三个顶点都在格点上(每个方格的边长均为1个单位长度)。
图29.3-6
(1) 请画出$△ ABC$关于$y$轴对称的图形$△ A_1B_1C_1$；
(2) 将$△ ABC$绕点$O$顺时针旋转$180°$，画出旋转后得到的$△ A_2B_2C_2$，并写出点$B_2$的坐标________；
(3) 在第(2)小题的条件下，求线段$OB$在旋转过程中扫过的面积(结果保留$π$)。
图29.3-6
(1) 请画出$△ ABC$关于$y$轴对称的图形$△ A_1B_1C_1$；
(2) 将$△ ABC$绕点$O$顺时针旋转$180°$，画出旋转后得到的$△ A_2B_2C_2$，并写出点$B_2$的坐标________；
(3) 在第(2)小题的条件下，求线段$OB$在旋转过程中扫过的面积(结果保留$π$)。
答案
解：(1) 如图，$△ A_1B_1C_1$即为所作。
(2) 如图，$△ A_2B_2C_2$即为所作。
点$B_2$的坐标为$(-4,-2)$
(3) 由勾股定理，得$OB=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$。
∴ $OB$ 在旋转过程中扫过的面积为
$\dfrac{180 · π× (2\sqrt{5})^2}{360}=10π$。
解析
【分析】
1. 第(1)问解题思路：利用关于y轴对称的点的坐标特征“纵坐标不变，横坐标互为相反数”，先确定△ABC三个顶点的对称点坐标，再顺次连接对应点即可得到所求图形。
2. 第(2)问解题思路：绕原点顺时针旋转180°属于中心对称变换，对应点的坐标特征为“横、纵坐标均为原坐标的相反数”，先找到三个顶点旋转后的对应点，顺次连接得到旋转后的图形，再直接读取B₂的坐标即可。
3. 第(3)问解题思路：线段OB旋转180°扫过的图形是圆心角为180°的扇形，半径为OB的长度，先通过勾股定理计算OB的长度，再代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 先确定△ABC各顶点坐标：A(1,4)，B(4,2)，C(3,5)，根据y轴对称的坐标规律，得到对应点A₁(-1,4)、B₁(-4,2)、C₁(-3,5)，顺次连接A₁、B₁、C₁，即可得到△A₁B₁C₁。
(2) 根据绕原点旋转180°的坐标规律，得到A、B、C的对应点坐标为A₂(-1,-4)、B₂(-4,-2)、C₂(-3,-5)，顺次连接A₂、B₂、C₂，即可得到△A₂B₂C₂，点B₂的坐标可直接读取为(-4,-2)。
(3) 已知点B坐标为(4,2)，由勾股定理得：
$OB=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$
线段OB旋转180°扫过的图形是圆心角为180°、半径为$2\sqrt{5}$的扇形，代入扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$，得：
$S=\frac{180×π×(2\sqrt{5})^2}{360}=\frac{1}{2}×π×20=10π$
【答案】
(1) 作图见解析；
(2) 作图见，点$B_2$的坐标为$\boldsymbol{(-4,-2)}$；
(3) $\boldsymbol{10π}$
【知识点】
轴对称作图；旋转变换；扇形面积计算
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查图形的对称、旋转变换及扇形面积的计算，属于基础常考题，解题的关键是熟练掌握不同变换下点的坐标变化规律，牢记扇形面积公式。
【难度系数】
0.7
1. 第(1)问解题思路：利用关于y轴对称的点的坐标特征“纵坐标不变，横坐标互为相反数”，先确定△ABC三个顶点的对称点坐标，再顺次连接对应点即可得到所求图形。
2. 第(2)问解题思路：绕原点顺时针旋转180°属于中心对称变换，对应点的坐标特征为“横、纵坐标均为原坐标的相反数”，先找到三个顶点旋转后的对应点，顺次连接得到旋转后的图形，再直接读取B₂的坐标即可。
3. 第(3)问解题思路：线段OB旋转180°扫过的图形是圆心角为180°的扇形，半径为OB的长度，先通过勾股定理计算OB的长度，再代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 先确定△ABC各顶点坐标：A(1,4)，B(4,2)，C(3,5)，根据y轴对称的坐标规律，得到对应点A₁(-1,4)、B₁(-4,2)、C₁(-3,5)，顺次连接A₁、B₁、C₁，即可得到△A₁B₁C₁。
(2) 根据绕原点旋转180°的坐标规律，得到A、B、C的对应点坐标为A₂(-1,-4)、B₂(-4,-2)、C₂(-3,-5)，顺次连接A₂、B₂、C₂，即可得到△A₂B₂C₂，点B₂的坐标可直接读取为(-4,-2)。
(3) 已知点B坐标为(4,2)，由勾股定理得：
$OB=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$
线段OB旋转180°扫过的图形是圆心角为180°、半径为$2\sqrt{5}$的扇形，代入扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$，得：
$S=\frac{180×π×(2\sqrt{5})^2}{360}=\frac{1}{2}×π×20=10π$
【答案】
(1) 作图见解析；
(2) 作图见
，点$B_2$的坐标为$\boldsymbol{(-4,-2)}$；(3) $\boldsymbol{10π}$
【知识点】
轴对称作图；旋转变换；扇形面积计算
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查图形的对称、旋转变换及扇形面积的计算，属于基础常考题，解题的关键是熟练掌握不同变换下点的坐标变化规律，牢记扇形面积公式。
【难度系数】
0.7
