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1.(2024·安徽)我国古代数学家张衡将圆周率取值为$\sqrt{10}$，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为$\frac{22}{7}$。比较大小：$\sqrt{10}\_\_\_\_\_\_\frac{22}{7}$。（填“＞”或“＜”）
答案
＞
解析
【分析】
要比较两个正数的大小，可采用平方法：对于两个正数a、b，若$a^2＞b^2$，则$a＞b$，反之则$a＜b$。本题中两个数均为正数，分别计算它们的平方，可去掉根号转化为有理数的大小比较，再根据平方的大小关系推导原数的大小即可。首先计算$\sqrt{10}$的平方得10，再计算$\frac{22}{7}$的平方得$\frac{484}{49}$，将10通分为分母为49的分数后和$\frac{484}{49}$比较大小，就能得到最终结论。
【解析】
解：$\because \sqrt{10}＞0$，$\frac{22}{7}＞0$，可通过比较两数平方的大小判断原数大小。
计算得：$(\sqrt{10})^2=10=\frac{10×49}{49}=\frac{490}{49}$，
$(\frac{22}{7})^2=\frac{22^2}{7^2}=\frac{484}{49}$，
$\because \frac{490}{49}＞\frac{484}{49}$，即$(\sqrt{10})^2＞(\frac{22}{7})^2$，
$\therefore \sqrt{10}＞\frac{22}{7}$。
【答案】
＞
【知识点】
实数大小比较；平方法；分数比较
【点评】
本题是实数大小比较的基础题型，核心考查将含根号的无理数大小比较转化为有理数大小比较的思路，平方法是解决该类问题的常用技巧，熟练掌握即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要比较两个正数的大小，可采用平方法：对于两个正数a、b，若$a^2＞b^2$，则$a＞b$，反之则$a＜b$。本题中两个数均为正数，分别计算它们的平方，可去掉根号转化为有理数的大小比较，再根据平方的大小关系推导原数的大小即可。首先计算$\sqrt{10}$的平方得10，再计算$\frac{22}{7}$的平方得$\frac{484}{49}$，将10通分为分母为49的分数后和$\frac{484}{49}$比较大小，就能得到最终结论。
【解析】
解：$\because \sqrt{10}＞0$，$\frac{22}{7}＞0$，可通过比较两数平方的大小判断原数大小。
计算得：$(\sqrt{10})^2=10=\frac{10×49}{49}=\frac{490}{49}$，
$(\frac{22}{7})^2=\frac{22^2}{7^2}=\frac{484}{49}$，
$\because \frac{490}{49}＞\frac{484}{49}$，即$(\sqrt{10})^2＞(\frac{22}{7})^2$，
$\therefore \sqrt{10}＞\frac{22}{7}$。
【答案】
＞
【知识点】
实数大小比较；平方法；分数比较
【点评】
本题是实数大小比较的基础题型，核心考查将含根号的无理数大小比较转化为有理数大小比较的思路，平方法是解决该类问题的常用技巧，熟练掌握即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2. 比较大小：$\sqrt[3]{20}$ 3.（填“＞”或“＜”）
答案
＜
解析
【分析】
要比较带立方根的数与有理数的大小，可利用立方运算去掉根号，将无理数与有理数的大小比较转化为两个整数的大小比较：因为对于正数而言，原数越大，它的立方也越大，反之立方越大的正数原数也越大，因此只需分别计算两个数的立方，再比较立方结果的大小即可判断原数的大小关系。
【解析】
先分别计算两个数的立方：
$\because 3^3=27$，$(\sqrt[3]{20})^3=20$，
又$\because 20＜27$，
$\therefore \sqrt[3]{20}＜3$。
【答案】
＜
【知识点】
1. 立方根的性质
2. 实数大小比较
【点评】
本题是实数大小比较的基础题型，利用乘方法将带根号的数转化为有理数再比较大小是常用的解题技巧，熟练掌握立方和立方根的对应关系就能快速解题。
【难度系数】
0.8
要比较带立方根的数与有理数的大小，可利用立方运算去掉根号，将无理数与有理数的大小比较转化为两个整数的大小比较：因为对于正数而言，原数越大，它的立方也越大，反之立方越大的正数原数也越大，因此只需分别计算两个数的立方，再比较立方结果的大小即可判断原数的大小关系。
【解析】
先分别计算两个数的立方：
$\because 3^3=27$，$(\sqrt[3]{20})^3=20$，
又$\because 20＜27$，
$\therefore \sqrt[3]{20}＜3$。
【答案】
＜
【知识点】
1. 立方根的性质
2. 实数大小比较
【点评】
本题是实数大小比较的基础题型，利用乘方法将带根号的数转化为有理数再比较大小是常用的解题技巧，熟练掌握立方和立方根的对应关系就能快速解题。
【难度系数】
0.8
3. 综合实践活动课上，老师给出定理：对于任意两个正数$a,b$，若$a＞b$，则$\sqrt{a}＞\sqrt{b}$. 随后讲解了一道例题：
参考例题的解法，解答下列问题：
(1) 比较$-3\sqrt{5}$和$-5\sqrt{3}$的大小.
(2) 比较$\sqrt{6}+\sqrt{2}$和$\sqrt{5}+\sqrt{3}$的大小.
参考例题的解法，解答下列问题：
(1) 比较$-3\sqrt{5}$和$-5\sqrt{3}$的大小.
(2) 比较$\sqrt{6}+\sqrt{2}$和$\sqrt{5}+\sqrt{3}$的大小.
答案
解:(1)$(3\sqrt{5})^2=45$,$(5\sqrt{3})^2=75$,$\because 45＜75$,$\therefore 3\sqrt{5}＜5\sqrt{3}$.
$\therefore -3\sqrt{5}＞-5\sqrt{3}$.
(2)$(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2=8+4\sqrt{3}$,$(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2=8+2\sqrt{15}$,$\because (4\sqrt{3})^2=48$,$(2\sqrt{15})^2=60$,$48＜60$,$\therefore 4\sqrt{3}＜2\sqrt{15}$.
$\therefore 8+4\sqrt{3}＜8+2\sqrt{15}$.$\therefore \sqrt{6}+\sqrt{2}＜\sqrt{5}+\sqrt{3}$.
$\therefore -3\sqrt{5}＞-5\sqrt{3}$.
(2)$(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2=8+4\sqrt{3}$,$(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2=8+2\sqrt{15}$,$\because (4\sqrt{3})^2=48$,$(2\sqrt{15})^2=60$,$48＜60$,$\therefore 4\sqrt{3}＜2\sqrt{15}$.
$\therefore 8+4\sqrt{3}＜8+2\sqrt{15}$.$\therefore \sqrt{6}+\sqrt{2}＜\sqrt{5}+\sqrt{3}$.
解析
【分析】
本题可参考例题给出的平方法比较实数大小，依据是“对于正数a、b，若$a^2＞b^2$则$a＞b$”：
1. 第(1)问是两个负的二次根式比较大小，根据负数比较大小的规则“绝对值大的反而小”，先计算两个数的绝对值的平方，比较平方的大小得到绝对值的大小关系，再反转不等号即可得到两个负数的大小关系；
2. 第(2)问是两个正的二次根式的和比较大小，可直接对两个式子分别平方，利用完全平方公式展开化简后，发现两个式子的常数项相同，只需比较剩余的无理项的大小，再次用平方法比较这两个无理项的大小，即可推出原式的大小关系。
【解析】
(1) 先计算两个负数的绝对值的平方：
$(3\sqrt{5})^2=3^2×(\sqrt{5})^2=9×5=45$，
$(5\sqrt{3})^2=5^2×(\sqrt{3})^2=25×3=75$，
∵$45＜75$，且$3\sqrt{5}$和$5\sqrt{3}$都是正数，
∴$3\sqrt{5}＜5\sqrt{3}$，
又
∵两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，
∴$-3\sqrt{5}＞-5\sqrt{3}$。
(2) 两个式子都是正数，分别计算它们的平方：
$(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2=(\sqrt{6})^2+2×\sqrt{6}×\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2=6+2\sqrt{12}+2=8+4\sqrt{3}$，
$(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2=(\sqrt{5})^2+2×\sqrt{5}×\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2=5+2\sqrt{15}+3=8+2\sqrt{15}$，
接下来比较$4\sqrt{3}$和$2\sqrt{15}$的大小，分别平方得：
$(4\sqrt{3})^2=16×3=48$，
$(2\sqrt{15})^2=4×15=60$，
∵$48＜60$，
∴$4\sqrt{3}＜2\sqrt{15}$，
∴$8+4\sqrt{3}＜8+2\sqrt{15}$，即$(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2＜(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2$，
又
∵$\sqrt{6}+\sqrt{2}$和$\sqrt{5}+\sqrt{3}$都是正数，
∴$\sqrt{6}+\sqrt{2}＜\sqrt{5}+\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-3\sqrt{5}＞-5\sqrt{3}}$
(2) $\boldsymbol{\sqrt{6}+\sqrt{2}＜\sqrt{5}+\sqrt{3}}$
【知识点】
实数大小比较，二次根式运算，平方法比较大小
【点评】
本题考查二次根式相关的大小比较，核心方法是平方法，解题时要注意：比较负数大小时，得到绝对值的大小关系后要反转不等号；比较两个根式和的大小时，先平方化简后再比较剩余部分的大小，灵活运用二次根式的运算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.7
本题可参考例题给出的平方法比较实数大小，依据是“对于正数a、b，若$a^2＞b^2$则$a＞b$”：
1. 第(1)问是两个负的二次根式比较大小，根据负数比较大小的规则“绝对值大的反而小”，先计算两个数的绝对值的平方，比较平方的大小得到绝对值的大小关系，再反转不等号即可得到两个负数的大小关系；
2. 第(2)问是两个正的二次根式的和比较大小，可直接对两个式子分别平方，利用完全平方公式展开化简后，发现两个式子的常数项相同，只需比较剩余的无理项的大小，再次用平方法比较这两个无理项的大小，即可推出原式的大小关系。
【解析】
(1) 先计算两个负数的绝对值的平方：
$(3\sqrt{5})^2=3^2×(\sqrt{5})^2=9×5=45$，
$(5\sqrt{3})^2=5^2×(\sqrt{3})^2=25×3=75$，
∵$45＜75$，且$3\sqrt{5}$和$5\sqrt{3}$都是正数，
∴$3\sqrt{5}＜5\sqrt{3}$，
又
∵两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，
∴$-3\sqrt{5}＞-5\sqrt{3}$。
(2) 两个式子都是正数，分别计算它们的平方：
$(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2=(\sqrt{6})^2+2×\sqrt{6}×\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2=6+2\sqrt{12}+2=8+4\sqrt{3}$，
$(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2=(\sqrt{5})^2+2×\sqrt{5}×\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2=5+2\sqrt{15}+3=8+2\sqrt{15}$，
接下来比较$4\sqrt{3}$和$2\sqrt{15}$的大小，分别平方得：
$(4\sqrt{3})^2=16×3=48$，
$(2\sqrt{15})^2=4×15=60$，
∵$48＜60$，
∴$4\sqrt{3}＜2\sqrt{15}$，
∴$8+4\sqrt{3}＜8+2\sqrt{15}$，即$(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2＜(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2$，
又
∵$\sqrt{6}+\sqrt{2}$和$\sqrt{5}+\sqrt{3}$都是正数，
∴$\sqrt{6}+\sqrt{2}＜\sqrt{5}+\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-3\sqrt{5}＞-5\sqrt{3}}$
(2) $\boldsymbol{\sqrt{6}+\sqrt{2}＜\sqrt{5}+\sqrt{3}}$
【知识点】
实数大小比较，二次根式运算，平方法比较大小
【点评】
本题考查二次根式相关的大小比较，核心方法是平方法，解题时要注意：比较负数大小时，得到绝对值的大小关系后要反转不等号；比较两个根式和的大小时，先平方化简后再比较剩余部分的大小，灵活运用二次根式的运算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.7
4.课堂上,老师出了一道题:比较$\frac{\sqrt{19}-2}{3}$与$\frac{2}{3}$的大小.
小明的解法如下:
解:$\frac{\sqrt{19}-2}{3}-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{19}-2-2}{3}=\frac{\sqrt{19}-4}{3}$.
$\because 19＞16,\therefore \sqrt{19}＞4.\therefore \sqrt{19}-4＞0$.
$\therefore \frac{\sqrt{19}-4}{3}＞0.\therefore \frac{\sqrt{19}-2}{3}＞\frac{2}{3}$.
我们把这种比较大小的方法称为作差法.
请利用上述方法比较实数$\frac{\sqrt{94}-3}{9}$与$\frac{2}{3}$的大小.
小明的解法如下:
解:$\frac{\sqrt{19}-2}{3}-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{19}-2-2}{3}=\frac{\sqrt{19}-4}{3}$.
$\because 19＞16,\therefore \sqrt{19}＞4.\therefore \sqrt{19}-4＞0$.
$\therefore \frac{\sqrt{19}-4}{3}＞0.\therefore \frac{\sqrt{19}-2}{3}＞\frac{2}{3}$.
我们把这种比较大小的方法称为作差法.
请利用上述方法比较实数$\frac{\sqrt{94}-3}{9}$与$\frac{2}{3}$的大小.
答案
解:$\frac{\sqrt{94}-3}{9}-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{94}-3}{9}-\frac{6}{9}=\frac{\sqrt{94}-9}{9}$.$\because 94＞81$,$\therefore \sqrt{94}＞9$.$\therefore \sqrt{94}-9＞0$.$\therefore \frac{\sqrt{94}-9}{9}＞0$.$\therefore \frac{\sqrt{94}-3}{9}＞\frac{2}{3}$.
解析
【分析】
要比较两个实数的大小，可按照题目给出的作差法步骤思考：第一步将两个实数作差；第二步对差通分化简，得到最简形式；第三步判断差的正负：若差为正，则被减数大于减数，若差为负则被减数小于减数。判断差的正负时，可将整数9转化为$\sqrt{81}$，通过比较被开方数94和81的大小，就能得出$\sqrt{94}$和9的大小关系，进而判断分子的正负，最终确定差的符号，得到两数的大小关系。
【解析】
$\frac{\sqrt{94}-3}{9}-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{94}-3}{9}-\frac{6}{9}=\frac{\sqrt{94}-9}{9}$
$\because 94＞81$
$\therefore \sqrt{94}＞\sqrt{81}=9$
$\therefore \sqrt{94}-9＞0$
$\therefore \frac{\sqrt{94}-9}{9}＞0$
$\therefore \frac{\sqrt{94}-3}{9}＞\frac{2}{3}$
【答案】
$\frac{\sqrt{94}-3}{9}＞\frac{2}{3}$
【知识点】
作差法比较大小；无理数估算；实数运算
【点评】
本题是实数大小比较的基础题型，核心考查作差法的应用，解题关键是掌握作差法的步骤，通过比较被开方数大小估算无理数范围，进而判断差的符号，能很好地巩固实数运算和大小比较的相关方法。
【难度系数】
0.8
要比较两个实数的大小，可按照题目给出的作差法步骤思考：第一步将两个实数作差；第二步对差通分化简，得到最简形式；第三步判断差的正负：若差为正，则被减数大于减数，若差为负则被减数小于减数。判断差的正负时，可将整数9转化为$\sqrt{81}$，通过比较被开方数94和81的大小，就能得出$\sqrt{94}$和9的大小关系，进而判断分子的正负，最终确定差的符号，得到两数的大小关系。
【解析】
$\frac{\sqrt{94}-3}{9}-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{94}-3}{9}-\frac{6}{9}=\frac{\sqrt{94}-9}{9}$
$\because 94＞81$
$\therefore \sqrt{94}＞\sqrt{81}=9$
$\therefore \sqrt{94}-9＞0$
$\therefore \frac{\sqrt{94}-9}{9}＞0$
$\therefore \frac{\sqrt{94}-3}{9}＞\frac{2}{3}$
【答案】
$\frac{\sqrt{94}-3}{9}＞\frac{2}{3}$
【知识点】
作差法比较大小；无理数估算；实数运算
【点评】
本题是实数大小比较的基础题型，核心考查作差法的应用，解题关键是掌握作差法的步骤，通过比较被开方数大小估算无理数范围，进而判断差的符号，能很好地巩固实数运算和大小比较的相关方法。
【难度系数】
0.8
5. 用作商法比较大小：$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}$与$\frac{\sqrt{5}}{2}$。
答案
解:$\frac{\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}}{\frac{\sqrt{5}}{2}}=\frac{2\sqrt{7}}{5}$,$\because (2\sqrt{7})^2=28$,$5^2=25$,$\therefore 2\sqrt{7}＞5$.$\therefore \frac{2\sqrt{7}}{5}＞1$.
$\therefore \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}＞\frac{\sqrt{5}}{2}$.
$\therefore \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}＞\frac{\sqrt{5}}{2}$.
解析
【分析】
要比较两个正数的大小，可采用作商法：若两个正数a、b满足$\frac{a}{b}＞1$，则$a＞b$；若$\frac{a}{b}=1$，则$a=b$；若$\frac{a}{b}＜1$，则$a＜b$。本题中两个数均为正数，符合作商法的使用条件。解题时先计算两个数的商，将商化简后，通过平方法比较商的分子和分母的大小，判断商与1的大小关系，最终即可得出两个数的大小。
【解析】
首先计算两个数的商：
$\frac{\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}}{\frac{\sqrt{5}}{2}}=\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}} × \frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{7}}{(\sqrt{5})^2}=\frac{2\sqrt{7}}{5}$
接下来比较$2\sqrt{7}$和5的大小，对两个正数分别平方：
$\because (2\sqrt{7})^2=4 × 7=28$，$5^2=25$，$28＞25$
$\therefore 2\sqrt{7}＞5$，由此可得$\frac{2\sqrt{7}}{5}＞1$
因为$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}$和$\frac{\sqrt{5}}{2}$均为正数，商大于1，所以被除数大于除数。
【答案】
$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}＞\frac{\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
作商法比较大小，二次根式运算，平方法比较大小
【点评】
本题是实数大小比较的基础题型，重点考查作商法的应用规则，以及含二次根式的数的大小比较技巧，解题时要注意作商法仅适用于同号的两个数比较大小，结合平方法可以快速解决带根号的正数大小比较问题。
【难度系数】
0.8
要比较两个正数的大小，可采用作商法：若两个正数a、b满足$\frac{a}{b}＞1$，则$a＞b$；若$\frac{a}{b}=1$，则$a=b$；若$\frac{a}{b}＜1$，则$a＜b$。本题中两个数均为正数，符合作商法的使用条件。解题时先计算两个数的商，将商化简后，通过平方法比较商的分子和分母的大小，判断商与1的大小关系，最终即可得出两个数的大小。
【解析】
首先计算两个数的商：
$\frac{\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}}{\frac{\sqrt{5}}{2}}=\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}} × \frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{7}}{(\sqrt{5})^2}=\frac{2\sqrt{7}}{5}$
接下来比较$2\sqrt{7}$和5的大小，对两个正数分别平方：
$\because (2\sqrt{7})^2=4 × 7=28$，$5^2=25$，$28＞25$
$\therefore 2\sqrt{7}＞5$，由此可得$\frac{2\sqrt{7}}{5}＞1$
因为$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}$和$\frac{\sqrt{5}}{2}$均为正数，商大于1，所以被除数大于除数。
【答案】
$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}＞\frac{\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
作商法比较大小，二次根式运算，平方法比较大小
【点评】
本题是实数大小比较的基础题型，重点考查作商法的应用规则，以及含二次根式的数的大小比较技巧，解题时要注意作商法仅适用于同号的两个数比较大小，结合平方法可以快速解决带根号的正数大小比较问题。
【难度系数】
0.8
6. 新考向·阅读理解 认真阅读下列解答过程：
比较 $2-\sqrt{3}$ 与 $\sqrt{3}-\sqrt{2}$ 的大小.
解：$\because \frac{1}{2-\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})×(2+\sqrt{3})}=2+\sqrt{3}$，
$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})×(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$，
又$\because 2＞\sqrt{2}$，
$\therefore 2+\sqrt{3}＞\sqrt{3}+\sqrt{2}. \therefore \frac{1}{2-\sqrt{3}}＞\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}.$
$\therefore 2-\sqrt{3}＜\sqrt{3}-\sqrt{2}.$
请仿照上述方法比较 $\sqrt{6}-\sqrt{5}$ 与 $\sqrt{5}-2$ 的大小.
比较 $2-\sqrt{3}$ 与 $\sqrt{3}-\sqrt{2}$ 的大小.
解：$\because \frac{1}{2-\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})×(2+\sqrt{3})}=2+\sqrt{3}$，
$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})×(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$，
又$\because 2＞\sqrt{2}$，
$\therefore 2+\sqrt{3}＞\sqrt{3}+\sqrt{2}. \therefore \frac{1}{2-\sqrt{3}}＞\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}.$
$\therefore 2-\sqrt{3}＜\sqrt{3}-\sqrt{2}.$
请仿照上述方法比较 $\sqrt{6}-\sqrt{5}$ 与 $\sqrt{5}-2$ 的大小.
答案
解:$\because \frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{5}}{(\sqrt{6}-\sqrt{5})×(\sqrt{6}+\sqrt{5})}=\sqrt{6}+\sqrt{5}$,$\frac{1}{\sqrt{5}-2}=\frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5}-2)×(\sqrt{5}+2)}=\sqrt{5}+2$,又$\because \sqrt{6}＞2$,$\therefore \sqrt{6}+\sqrt{5}＞\sqrt{5}+2$.
$\therefore \frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}＞\frac{1}{\sqrt{5}-2}$.$\therefore \sqrt{6}-\sqrt{5}＜\sqrt{5}-2$.
$\therefore \frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}＞\frac{1}{\sqrt{5}-2}$.$\therefore \sqrt{6}-\sqrt{5}＜\sqrt{5}-2$.
解析
【分析】
本题可仿照示例使用倒数法比较两个正数的大小，核心逻辑是：对于两个正数，倒数越大，对应的原数越小。解题步骤如下：第一步分别计算两个待比较数的倒数，第二步对倒数做分母有理化简化形式，第三步比较化简后两个倒数的大小，第四步根据倒数的大小关系反推原数的大小关系。
【解析】
解：$\because \frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{5}}{(\sqrt{6}-\sqrt{5})×(\sqrt{6}+\sqrt{5})}=\sqrt{6}+\sqrt{5}$，
$\frac{1}{\sqrt{5}-2}=\frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5}-2)×(\sqrt{5}+2)}=\sqrt{5}+2$，
又$\because \sqrt{6}＞2$，
$\therefore \sqrt{6}+\sqrt{5}＞\sqrt{5}+2$，
$\therefore \frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}＞\frac{1}{\sqrt{5}-2}$，
又$\because \sqrt{6}-\sqrt{5}$和$\sqrt{5}-2$均为正数，
$\therefore \sqrt{6}-\sqrt{5}＜\sqrt{5}-2$。
【答案】
$\sqrt{6}-\sqrt{5}＜\sqrt{5}-2$
【知识点】
分母有理化，实数大小比较，二次根式运算
【点评】
本题属于阅读理解类题型，需要先读懂题干给出的解题方法逻辑，再将方法迁移应用到新的问题中，既考查二次根式运算的基础能力，也考查知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.7
本题可仿照示例使用倒数法比较两个正数的大小，核心逻辑是：对于两个正数，倒数越大，对应的原数越小。解题步骤如下：第一步分别计算两个待比较数的倒数，第二步对倒数做分母有理化简化形式，第三步比较化简后两个倒数的大小，第四步根据倒数的大小关系反推原数的大小关系。
【解析】
解：$\because \frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{5}}{(\sqrt{6}-\sqrt{5})×(\sqrt{6}+\sqrt{5})}=\sqrt{6}+\sqrt{5}$，
$\frac{1}{\sqrt{5}-2}=\frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5}-2)×(\sqrt{5}+2)}=\sqrt{5}+2$，
又$\because \sqrt{6}＞2$，
$\therefore \sqrt{6}+\sqrt{5}＞\sqrt{5}+2$，
$\therefore \frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}＞\frac{1}{\sqrt{5}-2}$，
又$\because \sqrt{6}-\sqrt{5}$和$\sqrt{5}-2$均为正数，
$\therefore \sqrt{6}-\sqrt{5}＜\sqrt{5}-2$。
【答案】
$\sqrt{6}-\sqrt{5}＜\sqrt{5}-2$
【知识点】
分母有理化，实数大小比较，二次根式运算
【点评】
本题属于阅读理解类题型，需要先读懂题干给出的解题方法逻辑，再将方法迁移应用到新的问题中，既考查二次根式运算的基础能力，也考查知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.7
