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2. 阅读下列材料：
我们发现，关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，如果$\Delta = b^2 -4ac$的值是一个完全平方数，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，$\Delta$的值一定是一个完全平方数.
定义：两个根都为整数的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$称为“友好方程”，代数式$4ac - b^2$的值为该“友好方程”的“超强代码”，用$Q(a, b, c)$表示，即$Q(a, b, c)=4ac - b^2$；若另一个关于$x$的一元二次方程$px^2+qx+r=0(p≠0)$也为“友好方程”，其“超强代码”记为$Q(p, q, r)$. 当满足$Q(a, b, c)-Q(p, q, r)=4c$时，则称一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$是一元二次方程$px^2+qx+r=0(p≠0)$的“最佳搭子方程”.
(1)“友好方程”$x^2 -x -6=0$的“超强代码”是
(2)关于$x$的一元二次方程$x^2 -(2m -1)x + m^2 -2m -3=0$（$m$为整数，且$4＜m＜15$）是“友好方程”，请求出该方程的“超强代码”；
(3)若关于$x$的一元二次方程$x^2 + (1 - m)x + m -2=0$是$x^2 -(1 -n)x -n=0$（$m$，$n$均为正整数，且$m≠n$）的“最佳搭子方程”，且$x^2 + (1 - m)x + m -2=0$的一个根是$x^2 -(1 -n)x -n=0$的一个根的2倍，求$m$和$n$的值.
我们发现，关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，如果$\Delta = b^2 -4ac$的值是一个完全平方数，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，$\Delta$的值一定是一个完全平方数.
定义：两个根都为整数的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$称为“友好方程”，代数式$4ac - b^2$的值为该“友好方程”的“超强代码”，用$Q(a, b, c)$表示，即$Q(a, b, c)=4ac - b^2$；若另一个关于$x$的一元二次方程$px^2+qx+r=0(p≠0)$也为“友好方程”，其“超强代码”记为$Q(p, q, r)$. 当满足$Q(a, b, c)-Q(p, q, r)=4c$时，则称一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$是一元二次方程$px^2+qx+r=0(p≠0)$的“最佳搭子方程”.
(1)“友好方程”$x^2 -x -6=0$的“超强代码”是
-25
；(2)关于$x$的一元二次方程$x^2 -(2m -1)x + m^2 -2m -3=0$（$m$为整数，且$4＜m＜15$）是“友好方程”，请求出该方程的“超强代码”；
(3)若关于$x$的一元二次方程$x^2 + (1 - m)x + m -2=0$是$x^2 -(1 -n)x -n=0$（$m$，$n$均为正整数，且$m≠n$）的“最佳搭子方程”，且$x^2 + (1 - m)x + m -2=0$的一个根是$x^2 -(1 -n)x -n=0$的一个根的2倍，求$m$和$n$的值.
答案
2. (1)$-25$
(2)$x^2-(2m-1)x+m^2-2m-3=0$，$\Delta=[-(2m-1)]^2-4×1×(m^2-2m-3)=4m+13$且为平方数. $\because4＜m＜15$，$\therefore29＜4m+13＜73$，故 $4m+13=36$ 或 49 或 64，解得 $m=\dfrac{23}{4}$ 或 9 或 $\dfrac{51}{4}$. $\because m$ 为整数，$\therefore m=9$，故原方程为 $x^2-17x+60=0$. $\therefore Q(a，b，c)=4×1×60-(-17)^2=-49$. $\therefore$该方程的“超强代码”为 $-49$.
(3)方程 $x^2+(1-m)x+m-2=0$ 的“超强代码”为 $Q(a，b，c)=4×1×(m-2)-(1-m)^2=-m^2+6m-9$，方程的解为 $x_1=m-2$，$x_2=1$；方程 $x^2-(1-n)x-n=0$ 的“超强代码”为 $Q(p，q，r)=4×1×(-n)-(1-n)^2=-n^2-2n-1$，方程的解为 $x_3=-n$，$x_4=1$，$\therefore Q(a，b，c)-Q(p，q，r)=(-m^2+6m-9)-(-n^2-2n-1)=4(m-2)$，整理得 $(m+n)(n-m+2)=0$. $\because m$，$n$ 均为正整数，且 $m≠ n$，$\therefore m+n＞0$，$n-m+2=0$，即 $m=n+2$. 又 $\because x^2+(1-m)x+m-2=0$ 的一个根是 $x^2-(1-n)x-n=0$ 的一个根的 2 倍，$\therefore$①当 $x_1=2x_4$ 时，$m-2=2$，解得 $m=4$，$n=2$；②当 $x_1=2x_3$ 时，$m-2=2(-n)$，即 $(n+2)-2=2(-n)$，解得 $n=0$(不符合题意，舍去)；③当 $x_2=2x_3$ 时，$1=-2n$，解得 $n=-\dfrac{1}{2}$(不符合题意，舍去). 综上所述，$m=4$，$n=2$.
(2)$x^2-(2m-1)x+m^2-2m-3=0$，$\Delta=[-(2m-1)]^2-4×1×(m^2-2m-3)=4m+13$且为平方数. $\because4＜m＜15$，$\therefore29＜4m+13＜73$，故 $4m+13=36$ 或 49 或 64，解得 $m=\dfrac{23}{4}$ 或 9 或 $\dfrac{51}{4}$. $\because m$ 为整数，$\therefore m=9$，故原方程为 $x^2-17x+60=0$. $\therefore Q(a，b，c)=4×1×60-(-17)^2=-49$. $\therefore$该方程的“超强代码”为 $-49$.
(3)方程 $x^2+(1-m)x+m-2=0$ 的“超强代码”为 $Q(a，b，c)=4×1×(m-2)-(1-m)^2=-m^2+6m-9$，方程的解为 $x_1=m-2$，$x_2=1$；方程 $x^2-(1-n)x-n=0$ 的“超强代码”为 $Q(p，q，r)=4×1×(-n)-(1-n)^2=-n^2-2n-1$，方程的解为 $x_3=-n$，$x_4=1$，$\therefore Q(a，b，c)-Q(p，q，r)=(-m^2+6m-9)-(-n^2-2n-1)=4(m-2)$，整理得 $(m+n)(n-m+2)=0$. $\because m$，$n$ 均为正整数，且 $m≠ n$，$\therefore m+n＞0$，$n-m+2=0$，即 $m=n+2$. 又 $\because x^2+(1-m)x+m-2=0$ 的一个根是 $x^2-(1-n)x-n=0$ 的一个根的 2 倍，$\therefore$①当 $x_1=2x_4$ 时，$m-2=2$，解得 $m=4$，$n=2$；②当 $x_1=2x_3$ 时，$m-2=2(-n)$，即 $(n+2)-2=2(-n)$，解得 $n=0$(不符合题意，舍去)；③当 $x_2=2x_3$ 时，$1=-2n$，解得 $n=-\dfrac{1}{2}$(不符合题意，舍去). 综上所述，$m=4$，$n=2$.
解析
【分析】
(1) 本小问直接应用新定义“超强代码”的公式，只需确定方程对应a、b、c的取值，代入$Q(a,b,c)=4ac-b^2$计算即可。
(2) 根据“友好方程”的性质，根为整数时判别式$\Delta$必为完全平方数，先计算方程的判别式，结合m的取值范围和整数要求筛选出符合条件的m值，再代入公式计算“超强代码”。
(3) 第一步分别计算两个方程的“超强代码”，结合“最佳搭子方程”的定义列出等式，化简得到m与n的数量关系；第二步分别求解两个方程的根，结合“一个根是另一个方程根的2倍”的条件分情况讨论，排除不符合正整数要求的解，最终得到m、n的取值。
【解析】
(1) 对于方程$x^2 -x -6=0$，$a=1$，$b=-1$，$c=-6$，代入公式得：
$Q=4×1×(-6)-(-1)^2=-24-1=-25$。
(2) 计算方程$x^2 -(2m -1)x + m^2 -2m -3=0$的判别式：
$\Delta=[-(2m-1)]^2-4×1×(m^2-2m-3)=4m+13$
∵方程是“友好方程”，
∴$\Delta$为完全平方数
∵$4＜m＜15$，
∴$29＜4m+13＜73$，此范围内的完全平方数为36、49、64
①当$4m+13=36$时，$m=\frac{23}{4}$，非整数，舍去；
②当$4m+13=49$时，$m=9$，符合整数要求；
③当$4m+13=64$时，$m=\frac{51}{4}$，非整数，舍去。
将$m=9$代入原方程得$x^2-17x+60=0$，则“超强代码”为：
$Q=4×1×60-(-17)^2=240-289=-49$。
(3) 先计算两个方程的“超强代码”和根：
①方程$x^2 + (1 - m)x + m -2=0$：
$Q_1=4×1×(m-2)-(1-m)^2=-m^2+6m-9$，因式分解得根为$x_1=1$，$x_2=m-2$；
②方程$x^2 -(1 -n)x -n=0$：
$Q_2=4×1×(-n)-(1-n)^2=-n^2-2n-1$，因式分解得根为$x_3=1$，$x_4=-n$。
根据“最佳搭子方程”的定义：$Q_1-Q_2=4(m-2)$，代入化简得：
$(m+n)(n-m+2)=0$
∵m、n为正整数，$m≠n$，
∴$m+n＞0$，则$n-m+2=0$，即$m=n+2$。
结合根的倍数关系分情况讨论：
①当$m-2=2×1$时，$m=4$，则$n=2$，符合要求；
②当$m-2=2×(-n)$时，代入$m=n+2$得$n=0$，非正整数，舍去；
③当$1=2×(-n)$时，$n=-\frac{1}{2}$，不符合要求，舍去。
综上，$m=4$，$n=2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-25}$；(2) $\boldsymbol{-49}$；(3) $\boldsymbol{m=4}$，$\boldsymbol{n=2}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，因式分解法解方程，新定义运算
【点评】
本题结合新定义考查一元二次方程的综合应用，解题核心是先准确理解新定义的规则，再结合方程的性质、整数限制条件逐步推导，分类讨论时要兼顾所有可能的情况，同时注意排除不符合题意的解。
【难度系数】
0.5
(1) 本小问直接应用新定义“超强代码”的公式，只需确定方程对应a、b、c的取值，代入$Q(a,b,c)=4ac-b^2$计算即可。
(2) 根据“友好方程”的性质，根为整数时判别式$\Delta$必为完全平方数，先计算方程的判别式，结合m的取值范围和整数要求筛选出符合条件的m值，再代入公式计算“超强代码”。
(3) 第一步分别计算两个方程的“超强代码”，结合“最佳搭子方程”的定义列出等式，化简得到m与n的数量关系；第二步分别求解两个方程的根，结合“一个根是另一个方程根的2倍”的条件分情况讨论，排除不符合正整数要求的解，最终得到m、n的取值。
【解析】
(1) 对于方程$x^2 -x -6=0$，$a=1$，$b=-1$，$c=-6$，代入公式得：
$Q=4×1×(-6)-(-1)^2=-24-1=-25$。
(2) 计算方程$x^2 -(2m -1)x + m^2 -2m -3=0$的判别式：
$\Delta=[-(2m-1)]^2-4×1×(m^2-2m-3)=4m+13$
∵方程是“友好方程”，
∴$\Delta$为完全平方数
∵$4＜m＜15$，
∴$29＜4m+13＜73$，此范围内的完全平方数为36、49、64
①当$4m+13=36$时，$m=\frac{23}{4}$，非整数，舍去；
②当$4m+13=49$时，$m=9$，符合整数要求；
③当$4m+13=64$时，$m=\frac{51}{4}$，非整数，舍去。
将$m=9$代入原方程得$x^2-17x+60=0$，则“超强代码”为：
$Q=4×1×60-(-17)^2=240-289=-49$。
(3) 先计算两个方程的“超强代码”和根：
①方程$x^2 + (1 - m)x + m -2=0$：
$Q_1=4×1×(m-2)-(1-m)^2=-m^2+6m-9$，因式分解得根为$x_1=1$，$x_2=m-2$；
②方程$x^2 -(1 -n)x -n=0$：
$Q_2=4×1×(-n)-(1-n)^2=-n^2-2n-1$，因式分解得根为$x_3=1$，$x_4=-n$。
根据“最佳搭子方程”的定义：$Q_1-Q_2=4(m-2)$，代入化简得：
$(m+n)(n-m+2)=0$
∵m、n为正整数，$m≠n$，
∴$m+n＞0$，则$n-m+2=0$，即$m=n+2$。
结合根的倍数关系分情况讨论：
①当$m-2=2×1$时，$m=4$，则$n=2$，符合要求；
②当$m-2=2×(-n)$时，代入$m=n+2$得$n=0$，非正整数，舍去；
③当$1=2×(-n)$时，$n=-\frac{1}{2}$，不符合要求，舍去。
综上，$m=4$，$n=2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-25}$；(2) $\boldsymbol{-49}$；(3) $\boldsymbol{m=4}$，$\boldsymbol{n=2}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，因式分解法解方程，新定义运算
【点评】
本题结合新定义考查一元二次方程的综合应用，解题核心是先准确理解新定义的规则，再结合方程的性质、整数限制条件逐步推导，分类讨论时要兼顾所有可能的情况，同时注意排除不符合题意的解。
【难度系数】
0.5
