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1. 对一边长为40 cm的正方形硬纸板进行适当的裁剪，折成一个长方体盒子.（纸板的厚度忽略不计）
（1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的正方形，可将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子.
①要使折成的长方体盒子的底面积为484 cm²，那么剪掉的正方形的边长为多少？
②折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，请说明理由.
（2）若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上），将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子. 若折成的一个长方体盒子的表面积为550 cm²，求此时长方体盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况即可）.
（1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的正方形，可将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子.
①要使折成的长方体盒子的底面积为484 cm²，那么剪掉的正方形的边长为多少？
②折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，请说明理由.
（2）若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上），将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子. 若折成的一个长方体盒子的表面积为550 cm²，求此时长方体盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况即可）.
答案
(1)①设剪掉的正方形的边长为 $x$ cm. 依题意，$(40-2x)^2=484$，解得 $x_1=31$(不符合题意，舍去)，$x_2=9$. 所以剪掉的正方形的边长为 9 cm.
②设剪掉的正方形的边长为 $x$ cm，则盒子的侧面积 $S=4×(40-2x)x=-8(x-10)^2+800$. $\because-8(x-10)^2≤0$，$\therefore-8(x-10)^2+800≤800$. 故当 $x=10$，即剪掉的正方形的边长为 10 cm 时，折成的长方体盒子的侧面积最大为 $800\ \mathrm{cm}^2$.
(2)在如图的一种裁剪图中，设折成的长方体盒子的高为 $x$ cm. 依题意，$40(40-2x)+2(20-x)x=550$，解得 $x_1=-35$(不符合题意，舍去)，$x_2=15$. 故折成的长方体盒子的高为 15 cm. 所以此时长方体盒子的长、宽、高分别为 10 cm、5 cm、15 cm.
解析
【分析】
（1）①首先明确折成的无盖长方体底面是正方形，边长为原正方形边长减去2倍剪掉的小正方形边长，设剪掉的小正方形边长为x cm，根据底面积公式列一元二次方程求解，最后结合实际意义舍去不符合要求的解即可。
②侧面积是4个相同长方形的面积和，先列出侧面积关于x的函数表达式，可得到开口向下的二次函数，通过配方找到顶点即可得到最大值和对应的x值。
（2）折有盖长方体时，设盒子的高为x cm，结合裁剪方式和表面积公式列方程求解，舍去不合理的解后就能得到符合要求的长宽高。
【解析】
(1)①设剪掉的正方形的边长为 $x$ cm，折成的无盖长方体底面边长为$(40-2x)$ cm。
依题意列方程：$(40-2x)^2=484$
解得 $x_1=31$，此时$40-2x＜0$，不符合实际舍去；$x_2=9$。
②设剪掉的正方形的边长为 $x$ cm，盒子侧面积为$S$ cm²。
侧面积由4个相同的长方形组成，因此：
$S=4×(40-2x)x=-8x^2+160x$
配方得$S=-8(x-10)^2+800$
$\because-8＜0$，二次函数开口向下，$\therefore$当$x=10$时，$S$取得最大值800。
(2)设折成的长方体盒子的高为 $x$ cm，依题意列方程：
$40(40-2x)+2(20-x)x=550$
整理得$x^2+20x-525=0$，解得 $x_1=-35$（舍去），$x_2=15$。
此时高为15 cm，长为$40-2×15=10$ cm，宽为$20-15=5$ cm。
【答案】
(1)①剪掉的正方形的边长为 9 cm.
②当剪掉的正方形的边长为 10 cm 时，折成的长方体盒子的侧面积最大为 $800\ \mathrm{cm}^2$.
(2)此时长方体盒子的长、宽、高分别为 10 cm、5 cm、15 cm.
【知识点】
一元二次方程应用，二次函数最值，长方体表面积计算
【点评】
本题结合裁剪折叠的实际场景，考查了方程和函数思想在几何问题中的应用，解题时需要注意结合实际意义对解进行取舍，能有效锻炼学生的建模能力和实际问题解决能力。
【难度系数】
0.7
（1）①首先明确折成的无盖长方体底面是正方形，边长为原正方形边长减去2倍剪掉的小正方形边长，设剪掉的小正方形边长为x cm，根据底面积公式列一元二次方程求解，最后结合实际意义舍去不符合要求的解即可。
②侧面积是4个相同长方形的面积和，先列出侧面积关于x的函数表达式，可得到开口向下的二次函数，通过配方找到顶点即可得到最大值和对应的x值。
（2）折有盖长方体时，设盒子的高为x cm，结合裁剪方式和表面积公式列方程求解，舍去不合理的解后就能得到符合要求的长宽高。
【解析】
(1)①设剪掉的正方形的边长为 $x$ cm，折成的无盖长方体底面边长为$(40-2x)$ cm。
依题意列方程：$(40-2x)^2=484$
解得 $x_1=31$，此时$40-2x＜0$，不符合实际舍去；$x_2=9$。
②设剪掉的正方形的边长为 $x$ cm，盒子侧面积为$S$ cm²。
侧面积由4个相同的长方形组成，因此：
$S=4×(40-2x)x=-8x^2+160x$
配方得$S=-8(x-10)^2+800$
$\because-8＜0$，二次函数开口向下，$\therefore$当$x=10$时，$S$取得最大值800。
(2)设折成的长方体盒子的高为 $x$ cm，依题意列方程：
$40(40-2x)+2(20-x)x=550$
整理得$x^2+20x-525=0$，解得 $x_1=-35$（舍去），$x_2=15$。
此时高为15 cm，长为$40-2×15=10$ cm，宽为$20-15=5$ cm。
【答案】
(1)①剪掉的正方形的边长为 9 cm.
②当剪掉的正方形的边长为 10 cm 时，折成的长方体盒子的侧面积最大为 $800\ \mathrm{cm}^2$.
(2)此时长方体盒子的长、宽、高分别为 10 cm、5 cm、15 cm.
【知识点】
一元二次方程应用，二次函数最值，长方体表面积计算
【点评】
本题结合裁剪折叠的实际场景，考查了方程和函数思想在几何问题中的应用，解题时需要注意结合实际意义对解进行取舍，能有效锻炼学生的建模能力和实际问题解决能力。
【难度系数】
0.7
