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1. 如图，已知OC平分$∠ AOB$，$CM⊥ OA$，$CN⊥ OB$，垂足分别为点$M$，$N$，则下列结论中错误的是(
A.$CM=CN$
B.$OM=ON$
C.$∠ MCO=∠ NCO$
D.$∠ MCN=∠ NOM$
D
)A.$CM=CN$
B.$OM=ON$
C.$∠ MCO=∠ NCO$
D.$∠ MCN=∠ NOM$
答案
D
解析
【分析】
解题时首先利用角平分线的性质得到CM=CN，再通过证明Rt△OMC和Rt△ONC全等，得到对应边、对应角相等，逐一验证各选项，即可找出错误的结论。
【解析】
∵OC平分∠AOB，CM⊥OA，CN⊥OB，
∴根据角平分线的性质可得$CM=CN$，故A选项结论正确，不符合题意；
在$Rt△ OMC$和$Rt△ ONC$中：
$\begin{cases} OC=OC \\ CM=CN \end{cases}$
∴$Rt△ OMC≌ Rt△ ONC(\mathrm{HL})$
∴由全等三角形的性质可得$OM=ON$，$∠ MCO=∠ NCO$，故B、C选项结论正确，不符合题意；
根据已知条件无法推出$∠ MCN=∠ NOM$，故D选项结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何题，解题的核心是熟练掌握角平分线的性质，以及全等三角形的判定和性质，通过证明三角形全等来判断边角关系。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用角平分线的性质得到CM=CN，再通过证明Rt△OMC和Rt△ONC全等，得到对应边、对应角相等，逐一验证各选项，即可找出错误的结论。
【解析】
∵OC平分∠AOB，CM⊥OA，CN⊥OB，
∴根据角平分线的性质可得$CM=CN$，故A选项结论正确，不符合题意；
在$Rt△ OMC$和$Rt△ ONC$中：
$\begin{cases} OC=OC \\ CM=CN \end{cases}$
∴$Rt△ OMC≌ Rt△ ONC(\mathrm{HL})$
∴由全等三角形的性质可得$OM=ON$，$∠ MCO=∠ NCO$，故B、C选项结论正确，不符合题意；
根据已知条件无法推出$∠ MCN=∠ NOM$，故D选项结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何题，解题的核心是熟练掌握角平分线的性质，以及全等三角形的判定和性质，通过证明三角形全等来判断边角关系。
【难度系数】
0.8
2.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，说明$∠ AOC = ∠ BOC$的依据是(
A.SAS
B.ASA
C.SSS
D.AAS
C
)A.SAS
B.ASA
C.SSS
D.AAS
答案
C
解析
【分析】
要说明∠AOC=∠BOC，可通过证明两个角所在的三角形全等求解。首先结合尺规作角平分线的操作步骤，找出两个三角形中相等的边：第一步以O为圆心画弧，可得弧与OA、OB的交点到O的距离相等；第二步分别以这两个交点为圆心，相同长度为半径画弧得到点C，可得两个交点到C的距离相等，再加上公共边OC为两个三角形共有，即可得到三边对应相等，从而判定三角形全等，得到对应角相等。
【解析】
设以O为圆心画弧时，弧与OA的交点为D，与OB的交点为E。
由尺规作图的过程可知：
OD = OE（同圆的半径相等），
DC = EC（画弧时所用半径相等），
又
∵ OC = OC（公共边），
∴ △ODC ≌ △OEC（SSS），
∴ ∠AOC = ∠BOC（全等三角形对应角相等），
因此判定依据为SSS。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定；尺规作角平分线
【点评】
本题结合尺规作图考查全等三角形的判定，解题的关键是从作图步骤中提取出相等的线段，属于基础题，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的核心。
【难度系数】
0.8
要说明∠AOC=∠BOC，可通过证明两个角所在的三角形全等求解。首先结合尺规作角平分线的操作步骤，找出两个三角形中相等的边：第一步以O为圆心画弧，可得弧与OA、OB的交点到O的距离相等；第二步分别以这两个交点为圆心，相同长度为半径画弧得到点C，可得两个交点到C的距离相等，再加上公共边OC为两个三角形共有，即可得到三边对应相等，从而判定三角形全等，得到对应角相等。
【解析】
设以O为圆心画弧时，弧与OA的交点为D，与OB的交点为E。
由尺规作图的过程可知：
OD = OE（同圆的半径相等），
DC = EC（画弧时所用半径相等），
又
∵ OC = OC（公共边），
∴ △ODC ≌ △OEC（SSS），
∴ ∠AOC = ∠BOC（全等三角形对应角相等），
因此判定依据为SSS。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定；尺规作角平分线
【点评】
本题结合尺规作图考查全等三角形的判定，解题的关键是从作图步骤中提取出相等的线段，属于基础题，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的核心。
【难度系数】
0.8
3.如图，已知OC平分$∠ AOB$，点D为OC上任意一点，$DE⊥ OB$于E。若$DE=6\ \mathrm{cm}$，则点D到边OA的距离为(
A.4 cm
B.6 cm
C.5 cm
D.3 cm
B
)A.4 cm
B.6 cm
C.5 cm
D.3 cm
答案
B
解析
【分析】
解题时首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。题目中已知OC是∠AOB的角平分线，点D在OC上，DE是点D到OB边的距离，要求点D到OA边的距离，直接应用角平分线的性质即可得到两个距离相等，进而求出结果。
【解析】
过点D作DF⊥OA，垂足为F。
因为OC平分∠AOB，点D在OC上，且DE⊥OB，DF⊥OA，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得DF=DE。
已知DE=6cm，所以DF=6cm，即点D到边OA的距离为6cm。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质，点到直线的距离
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题型，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质，明确点到直线的距离是垂线段的长度。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。题目中已知OC是∠AOB的角平分线，点D在OC上，DE是点D到OB边的距离，要求点D到OA边的距离，直接应用角平分线的性质即可得到两个距离相等，进而求出结果。
【解析】
过点D作DF⊥OA，垂足为F。
因为OC平分∠AOB，点D在OC上，且DE⊥OB，DF⊥OA，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得DF=DE。
已知DE=6cm，所以DF=6cm，即点D到边OA的距离为6cm。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质，点到直线的距离
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题型，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质，明确点到直线的距离是垂线段的长度。
【难度系数】
0.8
4.如图，已知∠AOB，作射线OC，使OC平分∠AOB，作图的合理顺序是
②③①
。①作射线OC；②以点O为圆心、任意长为半径作弧，分别交OA，OB于点D，E；③分别以点D，E为圆心，以大于$\frac{1}{2}DE$的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C。答案
②③①
解析
【分析】
本题考查角平分线的尺规作图步骤，解题时首先回忆角平分线的作图逻辑：首先需要在∠AOB的两条边上确定两个公共端点为O的等长线段，即先画弧得到点D、E；再找到角内部到D、E两点距离相等的点C；最后连接O和C得到角平分线，按照这个逻辑梳理步骤顺序即可。
【解析】
用尺规作∠AOB的角平分线的正确步骤如下：
1. 以点O为圆心、任意长为半径作弧，分别交OA，OB于点D，E，对应步骤②；
2. 分别以点D，E为圆心，以大于$\frac{1}{2}DE$的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C，对应步骤③；
3. 作射线OC，此时OC即为∠AOB的角平分线，对应步骤①。
因此作图的合理顺序是②③①。
【答案】
②③①
【知识点】
角平分线的尺规作图
【点评】
本题属于基础作图题，重点考查角平分线尺规作图的操作顺序，需要牢记每一步的操作要求，尤其注意第二步作弧时半径必须大于$\frac{1}{2}DE$，否则两弧无法相交得到点C。
【难度系数】
0.9
本题考查角平分线的尺规作图步骤，解题时首先回忆角平分线的作图逻辑：首先需要在∠AOB的两条边上确定两个公共端点为O的等长线段，即先画弧得到点D、E；再找到角内部到D、E两点距离相等的点C；最后连接O和C得到角平分线，按照这个逻辑梳理步骤顺序即可。
【解析】
用尺规作∠AOB的角平分线的正确步骤如下：
1. 以点O为圆心、任意长为半径作弧，分别交OA，OB于点D，E，对应步骤②；
2. 分别以点D，E为圆心，以大于$\frac{1}{2}DE$的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C，对应步骤③；
3. 作射线OC，此时OC即为∠AOB的角平分线，对应步骤①。
因此作图的合理顺序是②③①。
【答案】
②③①
【知识点】
角平分线的尺规作图
【点评】
本题属于基础作图题，重点考查角平分线尺规作图的操作顺序，需要牢记每一步的操作要求，尤其注意第二步作弧时半径必须大于$\frac{1}{2}DE$，否则两弧无法相交得到点C。
【难度系数】
0.9
5.如图，AD是$△ ABC$中$∠ BAC$的平分线，$DE⊥ AB$交AB于点E，$DF⊥ AC$交AC于点F。若$△ ABC$的面积为7，$DE=2$，$AB=4$，则$AC=$
3
。答案
3
解析
【分析】
首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，由此可以得到DF和DE长度相等。再观察△ABC的面积可以拆成△ABD和△ACD的面积之和，两个小三角形的高分别是DE和DF，底分别是AB和AC，已知总面积、AB和DE的长度，代入面积公式就可以求出AC的长度。
【解析】
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴根据角平分线的性质，DF = DE = 2。
又
∵$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}$，
三角形面积公式为$S=\frac{1}{2}×底×高$，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×AB×DE + \frac{1}{2}×AC×DF$，
将$S_{△ ABC}=7$，$DE=DF=2$，$AB=4$代入得：
$7=\frac{1}{2}×4×2 + \frac{1}{2}×AC×2$，
计算得：$7 = 4 + AC$，
解得$AC = 3$。
【答案】
3
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题解题的核心是利用角平分线的性质得到两条高相等，再通过面积的和差关系建立等式求解，属于基础题型，熟练掌握角平分线性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，由此可以得到DF和DE长度相等。再观察△ABC的面积可以拆成△ABD和△ACD的面积之和，两个小三角形的高分别是DE和DF，底分别是AB和AC，已知总面积、AB和DE的长度，代入面积公式就可以求出AC的长度。
【解析】
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴根据角平分线的性质，DF = DE = 2。
又
∵$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}$，
三角形面积公式为$S=\frac{1}{2}×底×高$，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×AB×DE + \frac{1}{2}×AC×DF$，
将$S_{△ ABC}=7$，$DE=DF=2$，$AB=4$代入得：
$7=\frac{1}{2}×4×2 + \frac{1}{2}×AC×2$，
计算得：$7 = 4 + AC$，
解得$AC = 3$。
【答案】
3
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题解题的核心是利用角平分线的性质得到两条高相等，再通过面积的和差关系建立等式求解，属于基础题型，熟练掌握角平分线性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
6. 如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AD=4,连接BD,BD⊥CD,∠ADB=∠C。若点P是BC边上的动点,则DP的最小值为
4
。答案
4
解析
【分析】
要找到DP的最小值，首先根据“垂线段最短”的性质，可知当DP垂直于BC时，DP的长度最小。接下来推导这个最短长度与已知AD的关系：由已知∠A=∠BDC=90°，∠ADB=∠C，结合三角形内角和可推出BD是∠ABC的角平分线，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得到DP的最小值等于AD的长度。
【解析】
解：根据垂线段最短的性质，当DP⊥BC时，DP的长度最小。
∵ ∠A=90°，BD⊥CD，
∴ ∠A=∠BDC=90°。
∵ ∠ADB=∠C，
∴ $180°-∠ A-∠ ADB = 180°-∠ BDC-∠ C$，即$∠ ABD=∠ DBC$，
∴ BD平分$∠ ABC$。
又
∵ $DA⊥ AB$，$DP⊥ BC$，
∴ 根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$DP=AD$。
∵ $AD=4$，
∴ DP的最小值为4。
【答案】
4
【知识点】
垂线段最短；角平分线的性质；三角形内角和
【点评】
本题将垂线段最短的性质和角平分线的性质结合考查，解题的关键是先确定DP取最小值的位置，再通过角的关系证明BD是角平分线，进而得到待求线段的长度，对几何性质的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
要找到DP的最小值，首先根据“垂线段最短”的性质，可知当DP垂直于BC时，DP的长度最小。接下来推导这个最短长度与已知AD的关系：由已知∠A=∠BDC=90°，∠ADB=∠C，结合三角形内角和可推出BD是∠ABC的角平分线，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得到DP的最小值等于AD的长度。
【解析】
解：根据垂线段最短的性质，当DP⊥BC时，DP的长度最小。
∵ ∠A=90°，BD⊥CD，
∴ ∠A=∠BDC=90°。
∵ ∠ADB=∠C，
∴ $180°-∠ A-∠ ADB = 180°-∠ BDC-∠ C$，即$∠ ABD=∠ DBC$，
∴ BD平分$∠ ABC$。
又
∵ $DA⊥ AB$，$DP⊥ BC$，
∴ 根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$DP=AD$。
∵ $AD=4$，
∴ DP的最小值为4。
【答案】
4
【知识点】
垂线段最短；角平分线的性质；三角形内角和
【点评】
本题将垂线段最短的性质和角平分线的性质结合考查，解题的关键是先确定DP取最小值的位置，再通过角的关系证明BD是角平分线，进而得到待求线段的长度，对几何性质的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
7.如图，AC，AB是两条笔直的交叉公路，M，N是两个车站。欲在$∠ BAC$内部建一个加油站P，使加油站到公路两边的距离相等，且离M，N两个车站的距离也相等，则此加油站P应建在何处？（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法。）
答案
解:如图,点 P 就是所求的点。
解析
【分析】
要确定加油站P的位置，可将题目条件拆解为两个部分分别推导对应的位置特征：①到公路AB、AC的距离相等，根据角平分线的性质可知，满足该条件的点都在∠BAC的角平分线上；②到车站M、N的距离相等，根据线段垂直平分线的性质可知，满足该条件的点都在线段MN的垂直平分线上。同时满足两个条件的点就是两条线的交点，即为所求的P点。
【解析】
第一步：作∠BAC的角平分线，该线上所有点到AB、AC的距离相等；第二步：作线段MN的垂直平分线，该线上所有点到M、N的距离相等；两条线的交点P同时满足两个条件，即为所求的加油站位置。
【答案】
解:如图,点 P 就是所求的点。
【知识点】
角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图
【点评】
本题是几何作图的基础题型，解题关键是将题目中的距离要求转化为对应的几何轨迹，通过求两个轨迹的交点确定目标点的位置，能很好地考查对基础几何性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
要确定加油站P的位置，可将题目条件拆解为两个部分分别推导对应的位置特征：①到公路AB、AC的距离相等，根据角平分线的性质可知，满足该条件的点都在∠BAC的角平分线上；②到车站M、N的距离相等，根据线段垂直平分线的性质可知，满足该条件的点都在线段MN的垂直平分线上。同时满足两个条件的点就是两条线的交点，即为所求的P点。
【解析】
第一步：作∠BAC的角平分线，该线上所有点到AB、AC的距离相等；第二步：作线段MN的垂直平分线，该线上所有点到M、N的距离相等；两条线的交点P同时满足两个条件，即为所求的加油站位置。
【答案】
解:如图,点 P 就是所求的点。
【知识点】
角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图
【点评】
本题是几何作图的基础题型，解题关键是将题目中的距离要求转化为对应的几何轨迹，通过求两个轨迹的交点确定目标点的位置，能很好地考查对基础几何性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
