思考 2. 有理数的乘方运算的性质有哪些？

见“课前预习”。

【分析】
解答本题可先回顾乘方的定义：求n个相同因数乘积的运算叫做乘方，再按照底数的类型（正数、负数、特殊值0、±1）、指数的奇偶性分类梳理运算规律，即可得到完整的有理数乘方运算性质。
【解析】
有理数乘方运算的性质可分为符号规律和特殊值规律两类：
1. 符号规律：
（1）正数的任何次幂都是正数；
（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
（3）0的任何正整数次幂都是0。
2. 特殊值的乘方规律：
（1）1的任何次幂都是1；
（2）-1的奇次幂为-1，偶次幂为1。
【答案】
①正数的任何次幂都是正数；②负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；③0的任何正整数次幂都是0；④1的任何次幂都是1，-1的奇次幂为-1、偶次幂为1。
【知识点】
有理数乘方性质、乘方符号规律、特殊值乘方运算
【点评】
本题属于基础识记类题目，熟练掌握乘方的运算性质是准确进行乘方运算的前提，记忆时可结合分类讨论的思路，按底数类型和指数奇偶性对应记忆，避免混淆规律。
【难度系数】
0.9

3. 下列各组数中，相等的一组是()。

A.$-(-1)$与$-|-1|$
B.$-3^2$与$(-3)^2$
C.$(-4)^3$与$-4^3$
D.$\frac{2^2}{3}$与$(\frac{2}{3})^2$

C

【分析】
这道题考查有理数的相关运算，解题思路是分别计算每个选项中两个式子的结果，再对比结果是否相等，逐一排除错误选项即可得到正确答案。计算时要注意区分乘方运算中底数是否带括号、符号的处理规则。
【解析】
我们逐个计算各选项的结果：
A选项：$-(-1)=1$，$-|-1|=-1$，$1≠ -1$，不符合要求；
B选项：$-3^2=-9$（先算$3^2=9$，再添加负号），$(-3)^2=(-3)×(-3)=9$，$-9≠ 9$，不符合要求；
C选项：$(-4)^3=(-4)×(-4)×(-4)=-64$，$-4^3=-(4×4×4)=-64$，两个结果相等，符合要求；
D选项：$\frac{2^2}{3}=\frac{4}{3}$，$(\frac{2}{3})^2=\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=\frac{4}{9}$，$\frac{4}{3}≠ \frac{4}{9}$，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
有理数乘方运算，绝对值化简，相反数化简
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心要注意区分乘方运算中底数带括号与不带括号的运算顺序差异，计算时先明确运算顺序、再处理符号，即可避免出错。
【难度系数】
0.8

4.如果$|a - 8| + (b + 1)^2 = 0$，则$b^a$的值是。

1

【分析】
解题时首先回忆非负数的性质：绝对值和偶次平方的结果都是非负数，即大于等于0。当两个非负数的和为0时，说明这两个非负数各自都等于0，据此可以列出关于a、b的一元一次方程，求出a、b的数值后，再代入乘方算式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 绝对值和平方数都具有非负性，即$|a-8|≥0$，$(b+1)^2≥0$，且$|a - 8| + (b + 1)^2 = 0$
∴ $\begin{cases}a-8=0 \\ b+1=0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}a=8 \\ b=-1\end{cases}$
将$a=8$，$b=-1$代入$b^a$得：
$b^a=(-1)^8=1$
【答案】
1
【知识点】
绝对值的非负性；平方的非负性；有理数乘方运算
【点评】
本题是有理数运算部分的常考基础题型，核心考查非负数的性质与乘方的符号规则，解题的关键是熟练掌握“几个非负数的和为0时，每个非负数都为0”的结论，计算乘方时注意区分负数的偶次幂和奇次幂的符号差异。
【难度系数】
0.8

1. 算式$(-4) × (-4) × (-4)$可以记作（）。

A.$(-4) × 3$
B.$-4^3$
C.$(-3)^4$
D.$(-4)^3$

D

【分析】
解题时首先回忆乘方的定义：求几个相同因数的积的运算叫做乘方，n个相同因数a相乘可记作aⁿ，其中a是底数，n是指数。我们先确定题干算式里的相同因数、相同因数的个数，再结合乘方的书写规则逐一判断选项即可，注意要区分负数作为底数时加括号和不加括号的含义差异。
【解析】
根据乘方的定义，n个相同因数a相乘记作$a^n$。题干中算式是3个$(-4)$相乘，相同因数为$-4$，因数的个数为3，因此可记作$(-4)^3$。
逐一分析选项：
A选项：$(-4)×3$表示3个$-4$相加，不是3个$-4$相乘，不符合题意；
B选项：$-4^3$表示$4^3$的相反数，即$-(4×4×4)$，底数是4，与题干的相同因数$-4$不符，不符合题意；
C选项：$(-3)^4$表示4个$-3$相乘，和题干的因数、因数个数均不相同，不符合题意；
D选项：$(-4)^3$表示3个$(-4)$相乘，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
乘方的定义；乘方的书写规范
【点评】
本题考查乘方的基础概念，解题核心是明确乘方的底数是参与运算的相同因数，要注意负数作为底数时必须加括号，避免和不带括号的负数乘方的含义混淆。
【难度系数】
0.9

2. 下列各式相等的一组是()。

A.$2^3$和$2×3$
B.$-(-2)^2$与$(-2)^2$
C.$-3^2$和$3^2$
D.$-2^3$和$(-2)^3$

D

【分析】
本题考查有理数乘方的运算，解题思路如下：首先明确乘方的定义：$a^n$表示n个a相乘，同时注意运算顺序：当负号不在括号内时，先计算乘方再添加负号；当负号在括号内时，负号属于底数，需将负数整体作为因数进行乘方运算。我们只需分别计算每个选项中两个式子的结果，对比结果是否相等即可选出正确答案。
【解析】
我们依次计算每个选项：
A选项：$2^3=2×2×2=8$，$2×3=6$，$8≠6$，两组式子不相等，不符合要求；
B选项：先计算$-(-2)^2$：先算乘方$(-2)^2=(-2)×(-2)=4$，再添加负号得$-4$；$(-2)^2=4$，$-4≠4$，两组式子不相等，不符合要求；
C选项：$-3^2=-3×3=-9$，$3^2=3×3=9$，$-9≠9$，两组式子不相等，不符合要求；
D选项：先计算$-2^3$：先算乘方$2^3=2×2×2=8$，再添加负号得$-8$；再计算$(-2)^3=(-2)×(-2)×(-2)=-8$，$-8=-8$，两组式子相等，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
有理数乘方运算、乘方运算符号规则
【点评】
本题是乘方运算的典型基础题，解题的核心是要清晰区分负号是否属于底数，明确不同形式下的运算顺序，避免因混淆底数导致计算错误。
【难度系数】
0.8

3. 下列各组数中,互为相反数的是()。

A.$-(-3)$和$|-3|$
B.$(-3)^2$和$-3^2$
C.$-3^3$和$(-3)^3$
D.$\frac{1}{3}$和$-3$

B

【分析】
要判断两个数是否互为相反数，首先明确相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，且互为相反数的两个数和为0。解题时先分别计算每个选项中两个数的结果，再对比结果是否符合相反数的特征即可。计算时要特别注意乘方运算中，带括号的乘方和不带括号的乘方的运算顺序差异，避免符号计算错误。
【解析】
我们先回忆相反数的判定规则：若两个数绝对值相等、符号相反，则两数互为相反数。接下来逐个计算各选项的值：
选项A：$-(-3)=3$，$|-3|=3$，两数相等，不是相反数；
选项B：$(-3)^2=(-3)×(-3)=9$，$-3^2=-(3×3)=-9$，9和-9只有符号不同，互为相反数；
选项C：$-3^3=-(3×3×3)=-27$，$(-3)^3=(-3)×(-3)×(-3)=-27$，两数相等，不是相反数；
选项D：$\frac{1}{3}$和$-3$绝对值不相等，不是相反数。
综上，符合要求的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
相反数的定义,有理数的乘方运算,绝对值的化简
【点评】
本题是基础概念与运算结合的题目，易错点在于乘方运算的符号处理，要明确带括号的乘方是对括号内的整体取乘方，不带括号的负数乘方是先算正数的乘方再添加负号，计算准确后就能快速判断出结果。
【难度系数】
0.75

4.如图,将一张长方形的纸对折,对折1次可得到1条折痕(图中虚线),连续对折3次(对折时每次折痕与上次折痕保持平行),可以得到7条折痕,那么连续对折5次后,可以得到的折痕的条数是()。


A.31
B.32
C.33
D.34

A

【分析】
我们可以先从题目给出的对折1次、2次、3次对应的折痕数量入手，寻找折痕数和对折次数的规律：观察可知对折1次折痕1条，对折2次折痕3条，对折3次折痕7条，这几个数分别对应2的1次方减1、2的2次方减1、2的3次方减1，由此可归纳出对折n次的折痕数公式，代入n=5即可计算出结果。
【解析】
首先整理已知的对折次数与对应折痕数：
对折1次：折痕条数 = 1 = $2^1 - 1$
对折2次：折痕条数 = 3 = $2^2 - 1$
对折3次：折痕条数 = 7 = $2^3 - 1$
归纳可得规律：对折n次时，得到的折痕条数为$2^n - 1$。
当对折次数$n=5$时，折痕条数 = $2^5 - 1 = 32 - 1 = 31$。
因此本题选A选项。
【答案】
A
【知识点】
乘方的应用，规律探究，有理数运算
【点评】
本题结合折纸的生活情境考查乘方的实际应用，解题的核心是从简单的特例出发归纳出通用规律，再利用规律求解，能很好地锻炼逻辑推理和知识应用能力。
【难度系数】
0.7

5. $(-3)^5$ 的底数是 ，指数是 ，读作 。

-3；5；负三的五次方

【分析】
拿到这道题，首先回忆有理数乘方的基本定义：n个相同因数a相乘记作$a^n$，其中$a$是底数（即相同的因数），$n$是指数（即相同因数的个数），读作$a$的$n$次方。观察题目中的式子$(-3)^5$，括号把$-3$括在一起，说明参与乘法运算的相同因数是$-3$，不是$3$，据此即可确定底数、指数，再按照规则读出式子即可。
【解析】
根据乘方的定义：
1. $(-3)^5$表示5个$-3$相乘，因此相同的因数也就是底数为$-3$；
2. 相同因数的个数是5，因此指数为5；
3. 按照乘方的读法规则，该式读作负三的五次方。
【答案】
-3；5；负三的五次方
【知识点】
乘方的定义；底数与指数识别；乘方的读法
【点评】
本题是乘方模块的基础概念题，主要考察对乘方各部分构成及读法的掌握，解题的关键是注意区分带括号的负数乘方和不带括号的负数乘方的底数差异，避免概念混淆。
【难度系数】
0.9

6.计算：$(-\dfrac{2}{3})^2 =$ 。

$\dfrac{4}{9}$

【分析】
解题时首先要明确有理数乘方的意义：$a^n$表示n个a相乘。本题中底数是$-\dfrac{2}{3}$，指数是2，即表示2个$-\dfrac{2}{3}$相乘，再结合有理数乘法的运算法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，即可算出结果，计算时注意不要搞错底数的符号。
【解析】
根据乘方的定义可得：
$(-\dfrac{2}{3})^2 = (-\dfrac{2}{3}) × (-\dfrac{2}{3})$
根据有理数乘法法则，两个负数相乘结果为正，再计算绝对值的乘积：
$= +(\dfrac{2}{3} × \dfrac{2}{3})$
$= \dfrac{2×2}{3×3}$
$= \dfrac{4}{9}$
【答案】
$\dfrac{4}{9}$
【知识点】
有理数乘方的意义；有理数的乘法运算
【点评】
本题是有理数乘方的基础运算题，重点考查对乘方定义的理解，计算时需注意区分底数带括号和不带括号的区别，准确判断运算结果的符号是解题的关键。
【难度系数】
0.9

7.计算：
(1) $5^2$；
(2) $-4^3$；
(3) $(-3)^4$；
(4) $(-0.2)^3$；
(5) $(-\dfrac{1}{2})^5$。

(1)25
(2)$-64$
(3)81
(4)$-\dfrac{1}{125}$
(5)$-\dfrac{1}{32}$

【分析】
解决这类有理数乘方计算问题，首先要明确乘方的意义：$a^n$表示n个相同的因数a相乘，其次要准确区分底数：①若底数为正数，乘方结果恒为正；②若底数为负数，需结合指数判断符号：负数的奇次幂为负，偶次幂为正；③若负号没有括在底数的括号内，如$-4^3$，含义是$4^3$的相反数，先算乘方再添负号。最后按照乘法运算规则计算即可。
【解析】
(1) $5^2$表示2个5相乘，计算得：$5^2=5×5=25$；
(2) $-4^3$表示$4^3$的相反数，先算$4^3$：$4^3=4×4×4=64$，因此$-4^3=-64$；
(3) $(-3)^4$表示4个$-3$相乘，指数4是偶数，结果为正，计算得：$(-3)^4=(-3)×(-3)×(-3)×(-3)=81$；
(4) $(-0.2)^3$表示3个$-0.2$相乘，指数3是奇数，结果为负，先把$0.2$化为$\frac{1}{5}$，计算得：$(-0.2)^3=(-\frac{1}{5})×(-\frac{1}{5})×(-\frac{1}{5})=-\frac{1}{125}$；
(5) $(-\frac{1}{2})^5$表示5个$-\frac{1}{2}$相乘，指数5是奇数，结果为负，计算得：$(-\frac{1}{2})^5=(-\frac{1}{2})×(-\frac{1}{2})×(-\frac{1}{2})×(-\frac{1}{2})×(-\frac{1}{2})=-\frac{1}{32}$。
【答案】
(1)25；(2)$-64$；(3)81；(4)$-\dfrac{1}{125}$；(5)$-\dfrac{1}{32}$
【知识点】
乘方的意义；有理数乘方符号法则；有理数乘法运算
【点评】
本题是有理数乘方的基础计算题，解题的核心是准确判断底数、正确应用乘方的符号法则，只要掌握基础概念，计算细心即可得分。
【难度系数】
0.9