1. 如图,小正方形的边长均为1,△ABO为格点三角形,在图中设计符合下列要求的三角形.
(1)在图①网格中画出与△ABO全等,且以OB为公共边的所有格点三角形;
(2)在图②网格中画出一个与△ABO全等,且有一个公共顶点的格点三角形.
(注:顶点在格点的三角形称为格点三角形)

1.(1) 如图,△BOC,△BOD,△BOE 为所求作的三角形.
(2) 如图,△AEF 为所求作的三角形(答案不唯一).

【分析】
要解决格点全等三角形的作图问题，首先可以通过数格点的水平、竖直间隔确定△ABO三边的长度特征，再根据题目要求确定固定边或公共顶点，依据全等三角形SSS判定条件，在网格中寻找满足三边对应相等的格点，完成作图：
(1) 以OB为公共边时，OB长度固定，只需寻找第三个格点，使得该点到O、B的水平、竖直间隔分别与△ABO中A到O、A到B的间隔对应相等，即可保证线段长度相等，枚举所有符合条件的格点即可；
(2) 选择A、B、O中任意一个作为公共顶点，以该顶点为端点作两条线段，使得两条线段的水平、竖直间隔分别与△ABO的两边对应相等，再连接两个端点，即可得到第三条与△ABO第三边长度相等的线段，进而得到符合要求的全等三角形。
【解析】
首先确定△ABO各边的格点间隔特征：OB为竖直方向，间隔3格；A到B的水平间隔3格、竖直间隔1格；A到O的水平间隔4格、竖直间隔3格，对应三边长度分别相等。
(1) 要作以OB为公共边且与△ABO全等的三角形，OB为公共边，只需找格点C，使得到O的水平、竖直间隔与AB的间隔一致，到B的水平、竖直间隔与AO的间隔一致，或到O的间隔与AO一致、到B的间隔与AB一致，在网格中找到所有符合条件的格点，依次连接得到△BOC、△BOD、△BOE，即为所求；
(2) 要作与△ABO全等且有一个公共顶点的三角形，例如选A为公共顶点，作线段AE的水平、竖直间隔与AB一致，AF的水平、竖直间隔与AO一致，连接EF，可验证EF的间隔与OB一致，满足三边对应相等，故△AEF≌△ABO，符合要求，答案不唯一。
【答案】
1.(1) 如图,△BOC,△BOD,△BOE 为所求作的三角形.
(2) 如图,△AEF 为所求作的三角形(答案不唯一).
【知识点】
全等三角形的判定，格点边长判断，格点作图
【点评】
本题结合网格背景考察全等三角形的作图应用，需要先通过格点间隔确定已知三角形的边长特征，再根据题目限制条件寻找符合要求的格点，有利于提升学生的数形结合能力和动手作图能力，注意第一问要找全所有符合条件的三角形，避免漏解。
【难度系数】
0.7

2. 如图,将边长为5的正方形ABCD分割成4个全等的直角三角形和1个小正方形.画出分割示意图,并说明三角形全等的依据.

2. 如图,即为所求图案.
三角形全等的依据是SAS.

【分析】
要完成该分割任务，可利用正方形四个内角均为直角的性质，将正方形的内角作为直角三角形的直角。要得到4个全等的直角三角形，只需让每个直角三角形夹直角的两条边对应相等即可：我们可以在正方形四条边上按统一规则截取两段不等长的线段，再顺次连接各边上的截点，即可得到4个全等直角三角形和中间的小正方形。判断全等时，因为夹直角的两边对应相等，直角为公共的相等角，用SAS判定即可。
【解析】
1. 绘制分割示意图：在边长为5的正方形ABCD的四条边上分别取截点：
①在AB边上取点，使该点到A的长度为3、到B的长度为2；
②在BC边上取点，使该点到B的长度为3、到C的长度为2；
③在CD边上取点，使该点到C的长度为3、到D的长度为2；
④在DA边上取点，使该点到D的长度为3、到A的长度为2；
顺次连接四个截点，即可将正方形分割为4个全等的直角三角形和1个小正方形。
2. 说明全等依据：四个直角三角形的两条直角边长度均为2和3，且夹角都是正方形的内角，度数为90°，满足“两边及其夹角对应相等的两个三角形全等”的判定条件，因此四个三角形全等。
【答案】
如图,即为所求图案.
三角形全等的依据是SAS.
【知识点】
正方形的性质，全等三角形SAS判定，图形分割
【点评】
本题属于几何操作类题目，既需要结合图形性质设计合理的分割方案，又需要熟练掌握全等三角形的判定定理，能够有效锻炼动手实践能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

3. 有若干个如图所示的全等的等边三角形，试用这些等边三角形拼出一个正六边形。

解：
拼法步骤如下：
1. 取6个与题图全等的等边三角形，将它们的其中一个顶点全部重合于同一个中心点O。
2. 依次将相邻两个等边三角形的一条边完全对齐重合，环绕中心点O排布。
由于等边三角形的内角为60°，6个60°的角在中心点O处相加恰好为360°，可以无缝环绕一周。
最终得到的封闭图形，六条边的长度都等于小等边三角形的边长，六个内角的度数均为60°+60°=120°，满足正六边形“各边相等、各内角都为120°”的性质，即为所求的正六边形。

【分析】
解题时首先回忆正六边形和等边三角形的性质：正六边形各边相等、每个内角为120°，中心周角为360°；等边三角形三边相等、每个内角为60°。首先计算需要的等边三角形数量：周角360°÷等边三角形内角60°=6，因此需要6个等边三角形。拼接时先确定中心点，将6个等边三角形的一个顶点集中在中心点，相邻三角形的边依次对齐重合，最后验证拼接后图形的边和内角是否符合正六边形的特征即可。
【解析】
拼法步骤如下：
1. 取6个与题图全等的等边三角形，将它们的其中一个顶点全部重合于同一个中心点O。
2. 依次将相邻两个等边三角形的一条边完全对齐重合，环绕中心点O排布。
由于等边三角形的内角为60°，6个60°的角在中心点O处相加恰好为360°，可以无缝环绕一周。最终得到的封闭图形，六条边的长度都等于小等边三角形的边长，六个内角的度数均为60°+60°=120°，满足正六边形“各边相等、各内角都为120°”的性质。
【答案】
取6个题图所示的全等等边三角形，将一个顶点重合于中心点O，相邻边对齐环绕中心点排布，得到的封闭图形即为所求正六边形。
【知识点】
等边三角形的性质，正六边形的性质，图形拼接
【点评】
本题将基础几何图形性质和动手操作结合，既需要熟练掌握等边三角形和正六边形的边长、内角特征，也需要结合周角的性质推导所需图形的数量，能有效锻炼逻辑推理和实践验证能力。
【难度系数】
0.7

4. 如图,已知$△ ABC$,以此图为基本图形,通过平移、翻折、旋转等方法,设计一个美观的图案(要求:至少用到上述提到的两种方法).

解：设计方案如下：
1. 以△ABC的边BC的中点为旋转中心，将△ABC旋转180°，得到△A'CB，此时原三角形和旋转后的三角形拼接为一个平行四边形，该步骤使用旋转变换。
2. 将得到的平行四边形沿水平向右的方向，每次平移的距离等于BC的长度，连续平移3次，得到多个并排的全等平行四边形，该步骤使用平移变换。
将所有变换得到的图形组合，即可得到美观的连续花边图案，该设计同时用到了旋转和平移两种要求的变换，符合题目要求。
（注：设计方案不唯一，只要使用至少两种指定的图形变换、图案合理美观均正确）

【分析】
解题时首先要明确平移、翻折、旋转这三种图形变换的共同性质：变换前后的图形全等，仅位置发生改变。题目要求至少使用两种变换设计图案，我们可以先选择一种变换对原三角形进行变换得到基础组合图形，再选择另一种变换对基础组合图形进行复制排列，最终形成美观的图案即可。比如可以先选用旋转变换将单个三角形拼成平行四边形，再选用平移变换将平行四边形平移得到连续的花边图案，即可满足题目要求。
【解析】
我们可以按照以下步骤设计图案：
1. 旋转变换：找到△ABC的边BC的中点作为旋转中心，将△ABC绕该点旋转180°，得到△A'CB，此时原三角形与旋转后的三角形拼接为一个平行四边形。
2. 平移变换：将得到的平行四边形沿水平向右的方向，以BC的长度为每次平移的距离，连续平移3次，得到多个并排的全等平行四边形。
最终将所有变换得到的图形组合，就形成了美观的连续花边图案，该设计用到了旋转和平移两种变换，符合题目要求。
（设计方案不唯一，只要使用至少两种指定的图形变换、图案合理美观均正确）
【答案】
设计方案如下：
1. 以△ABC的边BC的中点为旋转中心，将△ABC旋转180°，得到△A'CB，此时原三角形和旋转后的三角形拼接为一个平行四边形，该步骤使用旋转变换。
2. 将得到的平行四边形沿水平向右的方向，每次平移的距离等于BC的长度，连续平移3次，得到多个并排的全等平行四边形，该步骤使用平移变换。
将所有变换得到的图形组合，即可得到美观的连续花边图案，该设计同时用到了旋转和平移两种要求的变换，符合题目要求。
（注：设计方案不唯一，只要使用至少两种指定的图形变换、图案合理美观均正确）
【知识点】
图形的旋转变换；图形的平移变换；图案设计
【点评】
本题属于开放性操作类题目，主要考查对图形变换性质的理解与实际应用能力，答案不唯一，只要符合变换规则、图案合理即可，能够有效锻炼创新思维和动手实践能力。
【难度系数】
0.8

5. 陈同学用10块高度都是2 cm的相同长方体小木块垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角尺(AC=BC, ∠ACB=90°),点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合.
(1)求证$△ ADC ≌ △ CEB$.
(2)求两堵木墙之间的距离.

5. (1)由题意,得
AC=BC,∠ACB=90°,AD⊥DE,BE⊥DE.
∴ ∠ACD + ∠ECB = 90°, ∠ADC = ∠CEB=90°.
∴ ∠ACD+∠DAC=90°.
∴ ∠ECB=∠DAC.
在△ADC 和△CEB 中,
$\begin{cases}∠ADC=∠CEB,\\∠DAC=∠ECB,\\AC=CB,\end{cases}$
∴ △ADC≌△CEB(AAS).
(2)由(1)知△ADC≌△CEB,
∴ DC=EB,AD=CE.
又 EB=14 cm,AD=6 cm,
∴ DC=14 cm,CE=6 cm.
∴ DE=DC+CE=20 cm.
答:两堵木墙之间的距离为20 cm.

【分析】
(1) 要证明△ADC≌△CEB，先梳理已知条件：由题意得AC=BC，∠ACB=90°，木墙与地面垂直可得AD⊥DE、BE⊥DE，即∠ADC=∠CEB=90°；再利用直角三角形两锐角互余的性质，结合∠ACB=90°，可推导出∠DAC与∠ECB都是∠ACD的余角，根据同角的余角相等得到∠DAC=∠ECB，此时两个三角形满足两组角对应相等、一组对边对应相等，即可用AAS判定全等。
(2) 两堵木墙之间的距离是线段DE的长度，DE可拆分为DC+CE，由全等三角形的性质可知对应边相等，即DC=BE、CE=AD；先根据小木块的高度和数量算出AD、BE的长度，代入求和即可得到DE的长度。
【解析】
(1) 由题意，得
AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴ ∠ACD + ∠ECB = 90°，∠ADC = ∠CEB=90°，
∴ ∠ACD+∠DAC=90°，
∴ ∠ECB=∠DAC，
在△ADC 和△CEB 中，
$\begin{cases}∠ADC=∠CEB,\\∠DAC=∠ECB,\\AC=CB,\end{cases}$
∴ △ADC≌△CEB(AAS)。
(2) 由(1)知△ADC≌△CEB，
∴ DC=EB，AD=CE，
由题意得，左侧木墙共3块小木块，AD=3×2=6 cm，右侧木墙共7块小木块，EB=7×2=14 cm，
∴ DC=14 cm，CE=6 cm，
∴ DE=DC+CE=14+6=20 cm。
【答案】
(1) △ADC≌△CEB得证；
(2) 两堵木墙之间的距离为20 cm。
【知识点】
全等三角形的判定；全等三角形的性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题结合生活场景考查全等三角形的相关知识，解题的关键是利用同角的余角相等推导得到相等的角，进而证明三角形全等，再借助全等的性质转化线段求解，是几何知识在实际问题中的基础应用。
【难度系数】
0.7