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1. 已知$△ ABC$与$△ DEF$相似，且相似比为$\frac{1}{3}$，则$△ ABC$与$△ DEF$的面积比是（
A.$1:1$
B.$1:3$
C.$1:6$
D.$1:9$
D
）A.$1:1$
B.$1:3$
C.$1:6$
D.$1:9$
答案
1.D
解析
【分析】
解决这道题的核心是回忆相似三角形的相关性质，明确相似比和面积比的对应关系：首先我们知道相似三角形的面积比与相似比存在固定的数量关系，只要代入题目给出的相似比计算，就能快速得到结果。第一步先确认相似三角形面积比的规律，第二步代入已知相似比计算，第三步匹配选项即可得到答案。
【解析】
根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方。
已知$△ ABC$与$△ DEF$的相似比为$\frac{1}{3}$，因此二者的面积比为$(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，即面积比为$1:9$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1.相似三角形的性质
2.相似比与面积比的关系
【点评】
本题属于基础概念类考题，考查相似三角形性质的直接应用，解题关键是牢记面积比是相似比的平方，易错点是容易混淆周长比和面积比与相似比的关系，误将面积比等同于相似比。
【难度系数】
0.9
解决这道题的核心是回忆相似三角形的相关性质，明确相似比和面积比的对应关系：首先我们知道相似三角形的面积比与相似比存在固定的数量关系，只要代入题目给出的相似比计算，就能快速得到结果。第一步先确认相似三角形面积比的规律，第二步代入已知相似比计算，第三步匹配选项即可得到答案。
【解析】
根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方。
已知$△ ABC$与$△ DEF$的相似比为$\frac{1}{3}$，因此二者的面积比为$(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，即面积比为$1:9$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1.相似三角形的性质
2.相似比与面积比的关系
【点评】
本题属于基础概念类考题，考查相似三角形性质的直接应用，解题关键是牢记面积比是相似比的平方，易错点是容易混淆周长比和面积比与相似比的关系，误将面积比等同于相似比。
【难度系数】
0.9
2. 已知$△ ABC ∽ △ DEF$，且$AB=3$，$DE=6$。若$△ ABC$的周长为20，则$△ DEF$的周长为（
A.5
B.10
C.40
D.80
C
）A.5
B.10
C.40
D.80
答案
2.C
解析
【分析】
本题考查相似三角形的性质应用，解题思路如下：第一步，先根据相似三角形的对应边求出两个三角形的相似比；第二步，回忆相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比；第三步，结合已知△ABC的周长，代入比例关系即可求出△DEF的周长。
【解析】
∵△ABC∽△DEF，AB与DE是对应边
∴两个三角形的相似比$k=\frac{AB}{DE}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
根据相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，可得
$\frac{C_{△ABC}}{C_{△DEF}}=k=\frac{1}{2}$
已知$C_{△ABC}=20$，代入得：
$\frac{20}{C_{△DEF}}=\frac{1}{2}$
解得$C_{△DEF}=20×2=40$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的性质，相似比的计算
【点评】
本题是基础类题型，核心考查相似三角形周长比与相似比的关系，解题的关键是正确找到对应边计算相似比，熟练掌握相似三角形的相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查相似三角形的性质应用，解题思路如下：第一步，先根据相似三角形的对应边求出两个三角形的相似比；第二步，回忆相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比；第三步，结合已知△ABC的周长，代入比例关系即可求出△DEF的周长。
【解析】
∵△ABC∽△DEF，AB与DE是对应边
∴两个三角形的相似比$k=\frac{AB}{DE}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
根据相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，可得
$\frac{C_{△ABC}}{C_{△DEF}}=k=\frac{1}{2}$
已知$C_{△ABC}=20$，代入得：
$\frac{20}{C_{△DEF}}=\frac{1}{2}$
解得$C_{△DEF}=20×2=40$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的性质，相似比的计算
【点评】
本题是基础类题型，核心考查相似三角形周长比与相似比的关系，解题的关键是正确找到对应边计算相似比，熟练掌握相似三角形的相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3. 如果两个相似三角形的面积比是$1:9$，那么它们的周长比是 （
A.$1:9$
B.$1:3$
C.$1:4.5$
D.$1:8$
B
）A.$1:9$
B.$1:3$
C.$1:4.5$
D.$1:8$
答案
3.B
解析
【分析】
解题时先回忆相似三角形的相关性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形的周长比等于相似比。解题步骤为：第一步根据已知的面积比求出两个三角形的相似比，第二步再根据周长比和相似比的关系得到周长比即可。
【解析】
设这两个相似三角形的相似比为$k$，
根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：
$k^2=\frac{1}{9}$
因为相似比为正数，所以$k=\frac{1}{3}$，即相似比为$1:3$。
又因为相似三角形的周长比等于相似比，所以它们的周长比为$1:3$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形面积比性质；相似三角形周长比性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查相似三角形性质的直接应用，只要牢记相似三角形的面积比、周长比与相似比的对应关系，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆相似三角形的相关性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形的周长比等于相似比。解题步骤为：第一步根据已知的面积比求出两个三角形的相似比，第二步再根据周长比和相似比的关系得到周长比即可。
【解析】
设这两个相似三角形的相似比为$k$，
根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：
$k^2=\frac{1}{9}$
因为相似比为正数，所以$k=\frac{1}{3}$，即相似比为$1:3$。
又因为相似三角形的周长比等于相似比，所以它们的周长比为$1:3$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形面积比性质；相似三角形周长比性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查相似三角形性质的直接应用，只要牢记相似三角形的面积比、周长比与相似比的对应关系，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
4.(2025·广州)如图,在$△ ABC$中,点D,E分别在AB,AC上,$DE// BC$.若$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{3}$,则$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=$
$\frac{1}{9}$
.答案
4.$\frac{1}{9}$
解析
【分析】
解题时首先根据已知DE//BC的条件，可推导得到△ADE和△ABC的两组对应角相等，从而判定两个三角形相似；再结合相似三角形的核心性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，将已知的线段比$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{3}$作为相似比代入计算，即可得到两个三角形的面积比值。
【解析】
解：
∵$DE// BC$，
∴$∠ ADE=∠ B$，$∠ AED=∠ C$（两直线平行，同位角相等），
∴$△ ADE ∽ △ ABC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，且$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=(\frac{DE}{BC})^2=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$。
【答案】
$\frac{1}{9}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础题型，主要考查相似三角形的判定与性质的应用，解题的关键是准确识别相似三角形，牢记相似三角形面积比和相似比的关系，整体计算量小，掌握相关知识点即可快速作答。
【难度系数】
0.85
解题时首先根据已知DE//BC的条件，可推导得到△ADE和△ABC的两组对应角相等，从而判定两个三角形相似；再结合相似三角形的核心性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，将已知的线段比$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{3}$作为相似比代入计算，即可得到两个三角形的面积比值。
【解析】
解：
∵$DE// BC$，
∴$∠ ADE=∠ B$，$∠ AED=∠ C$（两直线平行，同位角相等），
∴$△ ADE ∽ △ ABC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，且$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=(\frac{DE}{BC})^2=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$。
【答案】
$\frac{1}{9}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础题型，主要考查相似三角形的判定与性质的应用，解题的关键是准确识别相似三角形，牢记相似三角形面积比和相似比的关系，整体计算量小，掌握相关知识点即可快速作答。
【难度系数】
0.85
5. (2024·云南)如图，AB与CD相交于点O，且$AC// BD$。若$\frac{OA+OC+AC}{OB+OD+BD}=\frac{1}{2}$，则$\frac{AC}{BD}=$
$\frac{1}{2}$
。答案
5.$\frac{1}{2}$
解析
【分析】
解题时首先结合已知条件思考：已知$AC// BD$，可先推导三角形相似：由平行线的性质可得两组内错角相等，从而判定$△ AOC ∽ △ BOD$；再回忆相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，题目给出的分式恰好是$△ AOC$与$△ BOD$的周长之比，因此周长比即为相似比，对应边$AC$与$BD$的比值就等于周长比。
【解析】
解：$\because AC// BD$
$\therefore ∠ A=∠ B$，$∠ C=∠ D$（两直线平行，内错角相等）
$\therefore △ AOC ∽ △ BOD$（两角分别相等的两个三角形相似）
根据相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比（对应边的比），可得：
$\frac{C_{△ AOC}}{C_{△ BOD}}=\frac{AC}{BD}$
已知$\frac{OA+OC+AC}{OB+OD+BD}=\frac{1}{2}$，即$\frac{C_{△ AOC}}{C_{△ BOD}}=\frac{1}{2}$
$\therefore \frac{AC}{BD}=\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、平行线的性质
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是先通过平行线判定三角形相似，再利用相似三角形周长比等于相似比的性质直接得到对应边的比值，熟练掌握相似三角形的判定与性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合已知条件思考：已知$AC// BD$，可先推导三角形相似：由平行线的性质可得两组内错角相等，从而判定$△ AOC ∽ △ BOD$；再回忆相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，题目给出的分式恰好是$△ AOC$与$△ BOD$的周长之比，因此周长比即为相似比，对应边$AC$与$BD$的比值就等于周长比。
【解析】
解：$\because AC// BD$
$\therefore ∠ A=∠ B$，$∠ C=∠ D$（两直线平行，内错角相等）
$\therefore △ AOC ∽ △ BOD$（两角分别相等的两个三角形相似）
根据相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比（对应边的比），可得：
$\frac{C_{△ AOC}}{C_{△ BOD}}=\frac{AC}{BD}$
已知$\frac{OA+OC+AC}{OB+OD+BD}=\frac{1}{2}$，即$\frac{C_{△ AOC}}{C_{△ BOD}}=\frac{1}{2}$
$\therefore \frac{AC}{BD}=\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、平行线的性质
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是先通过平行线判定三角形相似，再利用相似三角形周长比等于相似比的性质直接得到对应边的比值，熟练掌握相似三角形的判定与性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
6. 如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点。若$\frac{AM}{AN}=\frac{1}{2}$，则$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=$
$\frac{1}{4}$
。答案
6.$\frac{1}{4}$
解析
【分析】
解题时首先回忆相似三角形的性质：相似三角形的对应中线之比等于相似比，面积比等于相似比的平方。首先判断AM、AN分别是△ADE和△ABC的对应中线，已知AM与AN的比值，即可得到两个相似三角形的相似比，再利用面积比和相似比的关系就能求出两个三角形的面积比。
【解析】
解：
∵△ADE∽△ABC，M是DE的中点，N是BC的中点，
∴AM、AN分别是△ADE和△ABC对应边上的中线，
根据相似三角形的性质，相似三角形对应中线的比等于相似比，
可得两个三角形的相似比$k=\frac{AM}{AN}=\frac{1}{2}$，
又
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴$\frac{S_{△ADE}}{S_{△ABC}}=k^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
相似三角形对应线段性质；相似三角形面积比性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，解题核心是准确识别相似三角形的对应中线，再结合相似比和面积比的关系计算，只要熟练掌握相似三角形的相关性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆相似三角形的性质：相似三角形的对应中线之比等于相似比，面积比等于相似比的平方。首先判断AM、AN分别是△ADE和△ABC的对应中线，已知AM与AN的比值，即可得到两个相似三角形的相似比，再利用面积比和相似比的关系就能求出两个三角形的面积比。
【解析】
解：
∵△ADE∽△ABC，M是DE的中点，N是BC的中点，
∴AM、AN分别是△ADE和△ABC对应边上的中线，
根据相似三角形的性质，相似三角形对应中线的比等于相似比，
可得两个三角形的相似比$k=\frac{AM}{AN}=\frac{1}{2}$，
又
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴$\frac{S_{△ADE}}{S_{△ABC}}=k^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
相似三角形对应线段性质；相似三角形面积比性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，解题核心是准确识别相似三角形的对应中线，再结合相似比和面积比的关系计算，只要熟练掌握相似三角形的相关性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
7.(2025·绥化改编)两个相似三角形的最长边分别是10 cm和6 cm，并且它们的周长之和为48 cm，那么较小三角形的周长是
18
cm.答案
7.18
解析
【分析】
首先回忆相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，而相似比等于对应边的比。本题中两个相似三角形的最长边是对应边，先由最长边的长度求出相似比，再得到周长比，最后结合两个三角形的周长之和为48cm，设未知数列方程即可求出较小三角形的周长。
【解析】
解：
∵两个三角形是相似三角形，最长边分别为10 cm和6 cm，
∴这两个相似三角形的相似比为 $ \frac{10}{6}=\frac{5}{3} $，
根据相似三角形的周长比等于相似比，可知两个三角形的周长比为 $ 5:3 $。
设较大三角形的周长为 $ 5x $ cm，较小三角形的周长为 $ 3x $ cm，
由题意得：$ 5x + 3x = 48 $，
合并同类项得：$ 8x = 48 $，
解得：$ x = 6 $，
∴较小三角形的周长为 $ 3x = 3×6 = 18 $ cm。
【答案】
18
【知识点】
相似三角形的相似比；相似三角形周长性质；一元一次方程的应用
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，解题的核心是找准对应边求出相似比，再结合周长的数量关系列式计算，熟练掌握相似三角形的相关性质是解题的前提。
【难度系数】
0.8
首先回忆相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，而相似比等于对应边的比。本题中两个相似三角形的最长边是对应边，先由最长边的长度求出相似比，再得到周长比，最后结合两个三角形的周长之和为48cm，设未知数列方程即可求出较小三角形的周长。
【解析】
解：
∵两个三角形是相似三角形，最长边分别为10 cm和6 cm，
∴这两个相似三角形的相似比为 $ \frac{10}{6}=\frac{5}{3} $，
根据相似三角形的周长比等于相似比，可知两个三角形的周长比为 $ 5:3 $。
设较大三角形的周长为 $ 5x $ cm，较小三角形的周长为 $ 3x $ cm，
由题意得：$ 5x + 3x = 48 $，
合并同类项得：$ 8x = 48 $，
解得：$ x = 6 $，
∴较小三角形的周长为 $ 3x = 3×6 = 18 $ cm。
【答案】
18
【知识点】
相似三角形的相似比；相似三角形周长性质；一元一次方程的应用
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，解题的核心是找准对应边求出相似比，再结合周长的数量关系列式计算，熟练掌握相似三角形的相关性质是解题的前提。
【难度系数】
0.8
8.如图，$△ ABC ∽ △ ADE$，$S_{△ ABC}: S_{四边形BDEC}=1:2$，其中$CB=\sqrt{2}$，则$DE$的长为
$\sqrt{6}$
。答案
8.$\sqrt{6}$
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先根据△ABC与四边形BDEC的面积比，推导得到△ABC与△ADE的面积比；第二步，回忆相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，而相似比等于对应边的比，即BC与DE的比；第三步，将已知的BC长度代入比例关系，解方程求出DE的长即可。
【解析】
解：
∵ $S_{△ ABC}: S_{四边形BDEC}=1:2$
∴ $S_{△ ABC}: S_{△ ADE}=1:(1+2)=1:3$
又
∵ $△ ABC ∽ △ ADE$，根据相似三角形的性质，相似三角形面积比等于相似比的平方，对应边成比例，可得：
$\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ ADE}}=( \frac{BC}{DE} )^2$
将$S_{△ ABC}:S_{△ ADE}=1:3$，$CB=\sqrt{2}$代入得：
$\frac{1}{3}=( \frac{\sqrt{2}}{DE} )^2$
化简得：$\frac{2}{DE^2}=\frac{1}{3}$，解得$DE^2=6$
∵DE为三角形边长，长度为正
∴$DE=\sqrt{6}$
【答案】
$\sqrt{6}$
【知识点】
相似三角形面积比性质、相似三角形对应边成比例
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，解题的易错点是容易直接将题干给出的三角形与四边形的面积比当成两个相似三角形的面积比，做题时要注意先推导两个相似三角形的面积比再代入性质计算。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：第一步，先根据△ABC与四边形BDEC的面积比，推导得到△ABC与△ADE的面积比；第二步，回忆相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，而相似比等于对应边的比，即BC与DE的比；第三步，将已知的BC长度代入比例关系，解方程求出DE的长即可。
【解析】
解：
∵ $S_{△ ABC}: S_{四边形BDEC}=1:2$
∴ $S_{△ ABC}: S_{△ ADE}=1:(1+2)=1:3$
又
∵ $△ ABC ∽ △ ADE$，根据相似三角形的性质，相似三角形面积比等于相似比的平方，对应边成比例，可得：
$\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ ADE}}=( \frac{BC}{DE} )^2$
将$S_{△ ABC}:S_{△ ADE}=1:3$，$CB=\sqrt{2}$代入得：
$\frac{1}{3}=( \frac{\sqrt{2}}{DE} )^2$
化简得：$\frac{2}{DE^2}=\frac{1}{3}$，解得$DE^2=6$
∵DE为三角形边长，长度为正
∴$DE=\sqrt{6}$
【答案】
$\sqrt{6}$
【知识点】
相似三角形面积比性质、相似三角形对应边成比例
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，解题的易错点是容易直接将题干给出的三角形与四边形的面积比当成两个相似三角形的面积比，做题时要注意先推导两个相似三角形的面积比再代入性质计算。
【难度系数】
0.6
9.如图,在矩形ABCD中,E是边AD上一点,且AE=2DE,BD与CE相交于点F.若△DEF的面积是3,则△BCF的面积是
27
.答案
9.27
解析
【分析】
首先利用矩形对边平行且相等的性质，可得AD//BC、AD=BC；结合AE=2DE的条件，可推出DE与BC的比值为1:3；由AD//BC可判定△DEF与△BCF相似，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，代入已知△DEF的面积即可求出△BCF的面积。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，AD=BC，
∵AE=2DE，即DE:AD=1:3，
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{DE}{AD}=\frac{1}{3}$，
∵AD//BC，
∴∠EDF=∠CBF，∠DEF=∠BCF，
∴△DEF∽△BCF，
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得：
$\frac{S_{△ DEF}}{S_{△ BCF}}=(\frac{DE}{BC})^2=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，
已知$S_{△ DEF}=3$，
∴$S_{△ BCF}=3×9=27$。
【答案】
27
【知识点】
矩形的性质；相似三角形的判定；相似三角形面积比性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，解题核心是通过矩形对边平行的特征找到相似三角形，结合线段比例得到相似比后利用面积比的性质求解，是平面几何中较为常见的基础考法。
【难度系数】
0.7
首先利用矩形对边平行且相等的性质，可得AD//BC、AD=BC；结合AE=2DE的条件，可推出DE与BC的比值为1:3；由AD//BC可判定△DEF与△BCF相似，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，代入已知△DEF的面积即可求出△BCF的面积。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，AD=BC，
∵AE=2DE，即DE:AD=1:3，
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{DE}{AD}=\frac{1}{3}$，
∵AD//BC，
∴∠EDF=∠CBF，∠DEF=∠BCF，
∴△DEF∽△BCF，
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得：
$\frac{S_{△ DEF}}{S_{△ BCF}}=(\frac{DE}{BC})^2=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，
已知$S_{△ DEF}=3$，
∴$S_{△ BCF}=3×9=27$。
【答案】
27
【知识点】
矩形的性质；相似三角形的判定；相似三角形面积比性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，解题核心是通过矩形对边平行的特征找到相似三角形，结合线段比例得到相似比后利用面积比的性质求解，是平面几何中较为常见的基础考法。
【难度系数】
0.7
10. 如图，在$△ ABC$和$△ DEC$中，$∠ A = ∠ D$，$∠ BCE = ∠ ACD$。
(1)求证：$△ ABC ∽ △ DEC$。
(2)若$S_{△ ABC}: S_{△ DEC}=4:9$，$BC=6$，求$EC$的长。
(1)求证：$△ ABC ∽ △ DEC$。
(2)若$S_{△ ABC}: S_{△ DEC}=4:9$，$BC=6$，求$EC$的长。
答案
10. 解:(1)证明:$\because ∠BCE=∠ACD,\therefore ∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE$,即$∠ACB=∠DCE$. 又$\because ∠A=∠D,\therefore △ABC∽△DEC$.
(2)$\because △ABC∽△DEC,\therefore \frac{S_{△ABC}}{S_{△DEC}}=(\frac{BC}{EC})^{2}=\frac{4}{9}.\therefore \frac{BC}{EC}=\frac{2}{3}$,即$\frac{6}{EC}=\frac{2}{3}.\therefore EC=9$.
(2)$\because △ABC∽△DEC,\therefore \frac{S_{△ABC}}{S_{△DEC}}=(\frac{BC}{EC})^{2}=\frac{4}{9}.\therefore \frac{BC}{EC}=\frac{2}{3}$,即$\frac{6}{EC}=\frac{2}{3}.\therefore EC=9$.
解析
【分析】
(1)要证明两个三角形相似，已知一组对应角∠A=∠D，根据“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理，只需再推导出另一组对应角相等即可。结合已知∠BCE=∠ACD，给两个角同时加上公共角∠ACE，即可得到∠ACB=∠DCE，满足相似的判定条件。
(2)已知两个相似三角形的面积比，根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，可先求出两个三角形的相似比，再结合已知BC的长度，列比例式即可求出EC的长度。
【解析】
(1)证明：
$\because ∠BCE=∠ACD$，
$\therefore ∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE$，
即$∠ ACB=∠ DCE$。
又$\because ∠A=∠D$，
$\therefore △ABC∽△DEC$。
(2)解：
$\because △ABC∽△DEC$，
$\therefore $相似三角形的面积比等于相似比的平方，即$\frac{S_{△ABC}}{S_{△DEC}}=(\frac{BC}{EC})^{2}$。
代入$S_{△ ABC}: S_{△ DEC}=4:9$，$BC=6$，可得：
$(\frac{6}{EC})^2=\frac{4}{9}$，
$\therefore \frac{6}{EC}=\frac{2}{3}$（线段长度为正数，故取正根），
解得$EC=9$。
【答案】
(1) 已证$△ ABC ∽ △ DEC$；
(2) $EC=9$
【知识点】
相似三角形判定；相似三角形性质
【点评】
本题属于相似三角形的基础常考题，解题核心是先通过角的和差关系推导对应等角，完成相似证明，再结合相似三角形面积比与相似比的关系求解线段，解题时注意相似比的前后项要与三角形的对应关系一致，不要混淆。
【难度系数】
0.8
(1)要证明两个三角形相似，已知一组对应角∠A=∠D，根据“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理，只需再推导出另一组对应角相等即可。结合已知∠BCE=∠ACD，给两个角同时加上公共角∠ACE，即可得到∠ACB=∠DCE，满足相似的判定条件。
(2)已知两个相似三角形的面积比，根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，可先求出两个三角形的相似比，再结合已知BC的长度，列比例式即可求出EC的长度。
【解析】
(1)证明：
$\because ∠BCE=∠ACD$，
$\therefore ∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE$，
即$∠ ACB=∠ DCE$。
又$\because ∠A=∠D$，
$\therefore △ABC∽△DEC$。
(2)解：
$\because △ABC∽△DEC$，
$\therefore $相似三角形的面积比等于相似比的平方，即$\frac{S_{△ABC}}{S_{△DEC}}=(\frac{BC}{EC})^{2}$。
代入$S_{△ ABC}: S_{△ DEC}=4:9$，$BC=6$，可得：
$(\frac{6}{EC})^2=\frac{4}{9}$，
$\therefore \frac{6}{EC}=\frac{2}{3}$（线段长度为正数，故取正根），
解得$EC=9$。
【答案】
(1) 已证$△ ABC ∽ △ DEC$；
(2) $EC=9$
【知识点】
相似三角形判定；相似三角形性质
【点评】
本题属于相似三角形的基础常考题，解题核心是先通过角的和差关系推导对应等角，完成相似证明，再结合相似三角形面积比与相似比的关系求解线段，解题时注意相似比的前后项要与三角形的对应关系一致，不要混淆。
【难度系数】
0.8
