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10.如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,AF平分∠BAC交DE于点G.若AE=3,EC=1,AD=2,BD=4,则AG:AF的值为
$\frac{1}{2}$
.答案
10. $\frac{1}{2}$
解析
【分析】
解题时首先计算AB、AC的长度，通过两边对应成比例且夹角相等证明△ADE与△ACB相似，再结合AF是两个三角形的公共角平分线，利用相似三角形对应角平分线的比等于相似比即可求出AG:AF的值。
【解析】
解：由题意得：
$AB=AD+BD=2+4=6$，$AC=AE+EC=3+1=4$
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，$\frac{AE}{AB}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$
又
∵$∠ DAE=∠ CAB$（公共角）
∴$△ ADE ∽ △ ACB$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）
∵AF平分$∠ BAC$
∴AG是$△ ADE$的角平分线，AF是$△ ACB$的角平分线
根据相似三角形的性质：相似三角形对应角平分线的比等于相似比
∴$\frac{AG}{AF}=\frac{1}{2}$，即$AG:AF=\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础题，重点考查相似三角形的判定与性质的综合应用，解题的突破口是先根据已知线段长度得到对应边的比例关系，证明三角形相似，再结合相似三角形的性质计算比值。
【难度系数】
0.7
解题时首先计算AB、AC的长度，通过两边对应成比例且夹角相等证明△ADE与△ACB相似，再结合AF是两个三角形的公共角平分线，利用相似三角形对应角平分线的比等于相似比即可求出AG:AF的值。
【解析】
解：由题意得：
$AB=AD+BD=2+4=6$，$AC=AE+EC=3+1=4$
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，$\frac{AE}{AB}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$
又
∵$∠ DAE=∠ CAB$（公共角）
∴$△ ADE ∽ △ ACB$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）
∵AF平分$∠ BAC$
∴AG是$△ ADE$的角平分线，AF是$△ ACB$的角平分线
根据相似三角形的性质：相似三角形对应角平分线的比等于相似比
∴$\frac{AG}{AF}=\frac{1}{2}$，即$AG:AF=\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础题，重点考查相似三角形的判定与性质的综合应用，解题的突破口是先根据已知线段长度得到对应边的比例关系，证明三角形相似，再结合相似三角形的性质计算比值。
【难度系数】
0.7
11.如图，E，F分别为AC，BC的中点，D是EC上一点，且$∠ CBD=∠ A$.若$AC=6$，$BC=4.2$，$DF=2$，则BE的长为
$\frac{20}{7}$
.答案
11. $\frac{20}{7}$
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，先找角的关系，已知∠CBD=∠A，加上公共角∠C，用两角分别相等的判定定理证明△CBD∽△CAB；第二步，明确中线的定义：E是AC中点，因此BE是△CAB中AC边上的中线，F是BC中点，因此DF是△CBD中BC边上的中线；第三步，结合相似三角形对应中线的比等于相似比的性质，列比例式代入已知数据求解BE即可。
【解析】
1. 证明三角形相似：
∵∠CBD=∠A，∠C是△CBD和△CAB的公共角，
∴△CBD∽△CAB（两角分别相等的两个三角形相似）。
2. 确定相似比与对应中线：
两个三角形的相似比为$\frac{BC}{AC}=\frac{4.2}{6}=\frac{7}{10}$；
∵E为AC中点，
∴BE是△CAB的AC边上的中线，
∵F为BC中点，
∴DF是△CBD的BC边上的中线。
3. 利用相似性质列方程求解：
根据相似三角形对应中线的比等于相似比，可得：
$\frac{DF}{BE}=\frac{BC}{AC}=\frac{7}{10}$，
将DF=2代入得：$\frac{2}{BE}=\frac{7}{10}$，
解得$BE=\frac{2×10}{7}=\frac{20}{7}$。
【答案】
$\frac{20}{7}$
【知识点】
相似三角形的AA判定；相似三角形对应中线的性质；中线的定义
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题核心是准确识别相似三角形的对应中线，再结合比例式计算，掌握相似三角形的判定和对应线段的比例性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步，先找角的关系，已知∠CBD=∠A，加上公共角∠C，用两角分别相等的判定定理证明△CBD∽△CAB；第二步，明确中线的定义：E是AC中点，因此BE是△CAB中AC边上的中线，F是BC中点，因此DF是△CBD中BC边上的中线；第三步，结合相似三角形对应中线的比等于相似比的性质，列比例式代入已知数据求解BE即可。
【解析】
1. 证明三角形相似：
∵∠CBD=∠A，∠C是△CBD和△CAB的公共角，
∴△CBD∽△CAB（两角分别相等的两个三角形相似）。
2. 确定相似比与对应中线：
两个三角形的相似比为$\frac{BC}{AC}=\frac{4.2}{6}=\frac{7}{10}$；
∵E为AC中点，
∴BE是△CAB的AC边上的中线，
∵F为BC中点，
∴DF是△CBD的BC边上的中线。
3. 利用相似性质列方程求解：
根据相似三角形对应中线的比等于相似比，可得：
$\frac{DF}{BE}=\frac{BC}{AC}=\frac{7}{10}$，
将DF=2代入得：$\frac{2}{BE}=\frac{7}{10}$，
解得$BE=\frac{2×10}{7}=\frac{20}{7}$。
【答案】
$\frac{20}{7}$
【知识点】
相似三角形的AA判定；相似三角形对应中线的性质；中线的定义
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题核心是准确识别相似三角形的对应中线，再结合比例式计算，掌握相似三角形的判定和对应线段的比例性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
12.如图,已知$△ ABC ∽ △ A'B'C'$,它们的相似比为$k$,$AD$,$A'D'$分别是$△ ABC$和$△ A'B'C'$的中线.求证:$\frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}=k$.
答案
12. 证明:$\because △ ABC∽△ A'B'C', \therefore \frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=k, ∠ B=∠ B'. \because AD,A'D'$分别是$△ ABC,△ A'B'C'$的中线, $\therefore BD=\frac{1}{2} BC, B'D'=\frac{1}{2} B'C'. \therefore \frac{BD}{B'D'}=\frac{\frac{1}{2} BC}{\frac{1}{2} B'C'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AB}{A'B'}=k. \therefore △ ABD∽△ A'B'D'. \therefore \frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}=k.$
解析
【分析】
要证明相似三角形对应中线的比等于相似比，首先可利用已知的△ABC∽△A'B'C'，得到对应角相等、对应边成比例的结论；再结合中线的定义，可推导出两个小三角形△ABD和△A'B'D'的两边对应成比例且夹角相等，进而证明这两个小三角形相似，最终根据相似三角形对应边成比例得到待证结论。
【解析】
证明：$\because △ ABC∽△ A'B'C'$,
$\therefore \frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=k$, $∠ B=∠ B'$.
$\because AD$,$A'D'$分别是$△ ABC$,$△ A'B'C'$的中线,
$\therefore BD=\frac{1}{2} BC$, $B'D'=\frac{1}{2} B'C'$.
$\therefore \frac{BD}{B'D'}=\frac{\frac{1}{2} BC}{\frac{1}{2} B'C'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AB}{A'B'}=k$.
$\therefore △ ABD∽△ A'B'D'$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）.
$\therefore \frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}=k$.
【答案】
证明过程如上所示，$\frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}=k$成立。
【知识点】
相似三角形的判定与性质；三角形中线的定义
【点评】
本题是相似三角形性质的基础推导题，通过本题可得出“相似三角形对应中线的比等于相似比”的常用结论，后续解题中可直接使用该结论简化证明和计算过程。
【难度系数】
0.7
要证明相似三角形对应中线的比等于相似比，首先可利用已知的△ABC∽△A'B'C'，得到对应角相等、对应边成比例的结论；再结合中线的定义，可推导出两个小三角形△ABD和△A'B'D'的两边对应成比例且夹角相等，进而证明这两个小三角形相似，最终根据相似三角形对应边成比例得到待证结论。
【解析】
证明：$\because △ ABC∽△ A'B'C'$,
$\therefore \frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=k$, $∠ B=∠ B'$.
$\because AD$,$A'D'$分别是$△ ABC$,$△ A'B'C'$的中线,
$\therefore BD=\frac{1}{2} BC$, $B'D'=\frac{1}{2} B'C'$.
$\therefore \frac{BD}{B'D'}=\frac{\frac{1}{2} BC}{\frac{1}{2} B'C'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AB}{A'B'}=k$.
$\therefore △ ABD∽△ A'B'D'$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）.
$\therefore \frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}=k$.
【答案】
证明过程如上所示，$\frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}=k$成立。
【知识点】
相似三角形的判定与性质；三角形中线的定义
【点评】
本题是相似三角形性质的基础推导题，通过本题可得出“相似三角形对应中线的比等于相似比”的常用结论，后续解题中可直接使用该结论简化证明和计算过程。
【难度系数】
0.7
【例】一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5 m，面积为1.5 m²，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形，请两位同学设计加工方案，甲的设计方案如图1所示，乙的设计方案如图2所示。
由AB＝1.5 m，$S_{△ ABC}＝1.5\ \mathrm{m}^2$，可得BC＝ m。
方案1：设正方形的边长为x m，由DE//BF，可得$△ CDE ∽ △ CBA$，从而列出方程，解得x＝。
方案2：设正方形的边长为x m，作$BH ⊥ AC$于点H。由AB＝1.5 m，BC＝2 m，得$AC＝\sqrt{AB^2＋BC^2}＝\_\_\_\_\_\_$ m。由$S_{△ ABC}＝\frac{1}{2}AC · BH＝\frac{1}{2}AB · BC$，得BH＝ m。由DE//GF，
可得$△ BDE ∽ △ BAC$，再由相似三角形对应高的比等于相似比得方程，解得x＝。
综上所述，同学的设计方案更好。
由AB＝1.5 m，$S_{△ ABC}＝1.5\ \mathrm{m}^2$，可得BC＝ m。
方案1：设正方形的边长为x m，由DE//BF，可得$△ CDE ∽ △ CBA$，从而列出方程，解得x＝。
方案2：设正方形的边长为x m，作$BH ⊥ AC$于点H。由AB＝1.5 m，BC＝2 m，得$AC＝\sqrt{AB^2＋BC^2}＝\_\_\_\_\_\_$ m。由$S_{△ ABC}＝\frac{1}{2}AC · BH＝\frac{1}{2}AB · BC$，得BH＝ m。由DE//GF，
可得$△ BDE ∽ △ BAC$，再由相似三角形对应高的比等于相似比得方程，解得x＝。
综上所述，同学的设计方案更好。
答案
BC=2 m，列方程$\frac{x}{1.5}=\frac{2-x}{2}$，解得$x=\frac{6}{7}$；AC=2.5 m，BH=1.2 m，列方程$\frac{x}{2.5}=\frac{1.2-x}{1.2}$，解得$x=\frac{30}{37}$，甲同学的设计方案更好。
解析
【分析】
1. 求BC长度：已知直角三角形面积和一条直角边AB，直接用直角三角形面积公式即可反推另一条直角边BC的长度。
2. 方案1思路：正方形内接于直角处，DE平行于AB，可得△CDE∽△CBA，根据相似三角形对应边成比例，将已知边长和正方形边长x代入比例式即可列方程求解。
3. 方案2思路：首先用勾股定理算出斜边AC的长度；再用面积法，根据直角三角形面积的两种计算方式求出斜边上的高BH；正方形边平行于AC，可得△BDE∽△BAC，利用相似三角形对应高的比等于相似比列方程求解。
4. 最后比较两个方案的正方形边长，边长更大的方案面积更大，设计更优。
【解析】
1. 求BC：
已知△ABC为直角三角形，$∠ B=90°$，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· BC$，代入$AB=1.5\mathrm{m}$，$S_{△ ABC}=1.5\mathrm{m}^2$：
$1.5=\frac{1}{2}×1.5× BC$，解得$BC=2\mathrm{m}$。
2. 方案1求解：
设正方形边长为$x\mathrm{m}$，则$DE=x$，$CD=BC-x=2-x$。
由$DE// AB$得$△ CDE∽△ CBA$，对应边成比例：
$\frac{DE}{AB}=\frac{CD}{BC}$，即$\frac{x}{1.5}=\frac{2-x}{2}$，
解得：$2x=1.5(2-x)$，$3.5x=3$，$x=\frac{6}{7}\mathrm{m}$。
3. 方案2求解：
由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{1.5^2+2^2}=\sqrt{6.25}=2.5\mathrm{m}$。
由面积法$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BH=\frac{1}{2}AB· BC$，代入数值得：
$2.5× BH=1.5×2$，解得$BH=1.2\mathrm{m}$。
由$DE// AC$得$△ BDE∽△ BAC$，相似三角形对应高的比等于相似比，小三角形对应高为$BH-x=1.2-x$，则：
$\frac{DE}{AC}=\frac{BH-x}{BH}$，即$\frac{x}{2.5}=\frac{1.2-x}{1.2}$，
解得：$1.2x=2.5(1.2-x)$，$3.7x=3$，$x=\frac{30}{37}\mathrm{m}$。
4. 方案比较：$\frac{6}{7}\approx0.857＞\frac{30}{37}\approx0.811$，故甲同学的方案得到的正方形面积更大，更优。
【答案】
2；$\frac{x}{1.5}=\frac{2-x}{2}$；$\frac{6}{7}$；2.5；1.2；$\frac{x}{2.5}=\frac{1.2-x}{1.2}$；$\frac{30}{37}$；甲
【知识点】
相似三角形的性质，勾股定理，面积法求高
【点评】
本题结合实际加工场景考察三角形内接四边形的最值问题，核心是利用相似三角形的比例性质列方程求解，解题关键是准确找到相似三角形的对应边、对应高的关系，再通过数值比较得到最优方案。
【难度系数】
0.65
1. 求BC长度：已知直角三角形面积和一条直角边AB，直接用直角三角形面积公式即可反推另一条直角边BC的长度。
2. 方案1思路：正方形内接于直角处，DE平行于AB，可得△CDE∽△CBA，根据相似三角形对应边成比例，将已知边长和正方形边长x代入比例式即可列方程求解。
3. 方案2思路：首先用勾股定理算出斜边AC的长度；再用面积法，根据直角三角形面积的两种计算方式求出斜边上的高BH；正方形边平行于AC，可得△BDE∽△BAC，利用相似三角形对应高的比等于相似比列方程求解。
4. 最后比较两个方案的正方形边长，边长更大的方案面积更大，设计更优。
【解析】
1. 求BC：
已知△ABC为直角三角形，$∠ B=90°$，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· BC$，代入$AB=1.5\mathrm{m}$，$S_{△ ABC}=1.5\mathrm{m}^2$：
$1.5=\frac{1}{2}×1.5× BC$，解得$BC=2\mathrm{m}$。
2. 方案1求解：
设正方形边长为$x\mathrm{m}$，则$DE=x$，$CD=BC-x=2-x$。
由$DE// AB$得$△ CDE∽△ CBA$，对应边成比例：
$\frac{DE}{AB}=\frac{CD}{BC}$，即$\frac{x}{1.5}=\frac{2-x}{2}$，
解得：$2x=1.5(2-x)$，$3.5x=3$，$x=\frac{6}{7}\mathrm{m}$。
3. 方案2求解：
由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{1.5^2+2^2}=\sqrt{6.25}=2.5\mathrm{m}$。
由面积法$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BH=\frac{1}{2}AB· BC$，代入数值得：
$2.5× BH=1.5×2$，解得$BH=1.2\mathrm{m}$。
由$DE// AC$得$△ BDE∽△ BAC$，相似三角形对应高的比等于相似比，小三角形对应高为$BH-x=1.2-x$，则：
$\frac{DE}{AC}=\frac{BH-x}{BH}$，即$\frac{x}{2.5}=\frac{1.2-x}{1.2}$，
解得：$1.2x=2.5(1.2-x)$，$3.7x=3$，$x=\frac{30}{37}\mathrm{m}$。
4. 方案比较：$\frac{6}{7}\approx0.857＞\frac{30}{37}\approx0.811$，故甲同学的方案得到的正方形面积更大，更优。
【答案】
2；$\frac{x}{1.5}=\frac{2-x}{2}$；$\frac{6}{7}$；2.5；1.2；$\frac{x}{2.5}=\frac{1.2-x}{1.2}$；$\frac{30}{37}$；甲
【知识点】
相似三角形的性质，勾股定理，面积法求高
【点评】
本题结合实际加工场景考察三角形内接四边形的最值问题，核心是利用相似三角形的比例性质列方程求解，解题关键是准确找到相似三角形的对应边、对应高的关系，再通过数值比较得到最优方案。
【难度系数】
0.65
1. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中有边长分别为$a$,$b$,$c$的三个正方形,则$a$,$b$,$c$满足的关系式为（
A.$ac=b$
B.$a+c=b$
C.$\dfrac{a+c}{2}=\dfrac{b}{c}$
D.$c^2=ab$
B
）A.$ac=b$
B.$a+c=b$
C.$\dfrac{a+c}{2}=\dfrac{b}{c}$
D.$c^2=ab$
答案
1.B
解析
【分析】
要推导a、b、c的数量关系，首先观察图形特征：Rt△ABC内接三个正方形，正方形的边互相平行且相等，因此夹∠A、∠B的两个小直角三角形均与原直角三角形相似，进而这两个小直角三角形也相似。我们只需将两个小直角三角形的直角边用a、b、c表示，再利用相似三角形对应边成比例列等式，化简即可得到三者的关系。
【解析】
∵△ABC是直角三角形，图中三个图形均为正方形，
∴正方形边长相等、邻边垂直，且两个位于小正方形上方的直角三角形与△ABC都相似，故这两个小直角三角形也相似。
左边小直角三角形的两条直角边长度分别为a、$b-a$，
右边小直角三角形的两条直角边长度分别为$b-c$、c，
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{b-a}{c}=\frac{a}{b-c}$
交叉相乘得：$(b-a)(b-c)=ac$
展开等式左边：$b^2 - bc - ab + ac = ac$
消去等式两边的ac，整理得：$b^2 - b(a + c) = 0$
提取公因式b得：$b(b - a - c)=0$
∵正方形边长$b≠0$，
∴$b - a - c = 0$，即$a + c = b$。
【答案】
B
【知识点】
1.正方形的性质
2.相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是三角形内接特殊四边形的典型题型，解题核心是找到图形中隐含的相似三角形，准确对应相似边列出比例式，通过代数化简得到边长关系，对图形观察能力和代数运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
要推导a、b、c的数量关系，首先观察图形特征：Rt△ABC内接三个正方形，正方形的边互相平行且相等，因此夹∠A、∠B的两个小直角三角形均与原直角三角形相似，进而这两个小直角三角形也相似。我们只需将两个小直角三角形的直角边用a、b、c表示，再利用相似三角形对应边成比例列等式，化简即可得到三者的关系。
【解析】
∵△ABC是直角三角形，图中三个图形均为正方形，
∴正方形边长相等、邻边垂直，且两个位于小正方形上方的直角三角形与△ABC都相似，故这两个小直角三角形也相似。
左边小直角三角形的两条直角边长度分别为a、$b-a$，
右边小直角三角形的两条直角边长度分别为$b-c$、c，
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{b-a}{c}=\frac{a}{b-c}$
交叉相乘得：$(b-a)(b-c)=ac$
展开等式左边：$b^2 - bc - ab + ac = ac$
消去等式两边的ac，整理得：$b^2 - b(a + c) = 0$
提取公因式b得：$b(b - a - c)=0$
∵正方形边长$b≠0$，
∴$b - a - c = 0$，即$a + c = b$。
【答案】
B
【知识点】
1.正方形的性质
2.相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是三角形内接特殊四边形的典型题型，解题核心是找到图形中隐含的相似三角形，准确对应相似边列出比例式，通过代数化简得到边长关系，对图形观察能力和代数运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
2. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，以如图所示的方式内置两个大小相同的正方形，使得顶点$D,E$分别在边$AC,BC$上，顶点$M,N$均在边$AB$上，点$D,G,M$在一条直线上，点$E,F,N$在一条直线上。若$AC=6,BC=8$，则小正方形的边长$MN$的长为（
A.$10$
B.$\frac{24}{5}$
C.$\frac{60}{31}$
D.$\frac{30}{31}$
C
）A.$10$
B.$\frac{24}{5}$
C.$\frac{60}{31}$
D.$\frac{30}{31}$
答案
2.C
解析
【分析】
解题思路如下：①先利用勾股定理计算Rt△ABC的斜边AB长度，再用面积法求出AB边上的高；②观察可得DE平行于AB，因此△CDE∽△CAB，设小正方形边长为x，则DE=x，垂直AB方向上总共有2个正方形边长，因此△CDE对应AB的高等于总高减去2x；③根据相似三角形对应边的比等于对应高的比列方程，求解即可得到MN的长度。
【解析】
1. 求斜边AB的长度：
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$
2. 求AB边上的高h：
由三角形面积公式$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}AB·h$，代入数值：
$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10×h$，解得$h=\frac{24}{5}$
3. 设小正方形边长$MN=x$，
∵$DE//AB$，
∴$△CDE∽△CAB$，其中$DE=x$，△CDE对应AB边上的高为$h-2x=\frac{24}{5}-2x$。
4. 根据相似三角形的性质，对应边的比等于对应高的比，列方程：
$\frac{DE}{AB}=\frac{h-2x}{h}$
代入数值：$\frac{x}{10}=\frac{\frac{24}{5}-2x}{\frac{24}{5}}$
化简得：$\frac{x}{10}=\frac{12-5x}{12}$
交叉相乘：$12x=10×(12-5x)$
整理得：$62x=120$
解得：$x=\frac{60}{31}$
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，相似三角形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是三角形内接特殊四边形的典型题型，核心是利用相似三角形的性质建立等量关系列方程求解，解题的关键是准确找到相似三角形的对应边和对应高的关系。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：①先利用勾股定理计算Rt△ABC的斜边AB长度，再用面积法求出AB边上的高；②观察可得DE平行于AB，因此△CDE∽△CAB，设小正方形边长为x，则DE=x，垂直AB方向上总共有2个正方形边长，因此△CDE对应AB的高等于总高减去2x；③根据相似三角形对应边的比等于对应高的比列方程，求解即可得到MN的长度。
【解析】
1. 求斜边AB的长度：
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$
2. 求AB边上的高h：
由三角形面积公式$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}AB·h$，代入数值：
$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10×h$，解得$h=\frac{24}{5}$
3. 设小正方形边长$MN=x$，
∵$DE//AB$，
∴$△CDE∽△CAB$，其中$DE=x$，△CDE对应AB边上的高为$h-2x=\frac{24}{5}-2x$。
4. 根据相似三角形的性质，对应边的比等于对应高的比，列方程：
$\frac{DE}{AB}=\frac{h-2x}{h}$
代入数值：$\frac{x}{10}=\frac{\frac{24}{5}-2x}{\frac{24}{5}}$
化简得：$\frac{x}{10}=\frac{12-5x}{12}$
交叉相乘：$12x=10×(12-5x)$
整理得：$62x=120$
解得：$x=\frac{60}{31}$
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，相似三角形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是三角形内接特殊四边形的典型题型，核心是利用相似三角形的性质建立等量关系列方程求解，解题的关键是准确找到相似三角形的对应边和对应高的关系。
【难度系数】
0.6
