3. 某商场有一自动扶梯,扶梯的高是7 m,长度是14 m.自动扶梯的倾斜角是多少度?

解：设自动扶梯的倾斜角为α，
由题意可知，扶梯的高、水平地面与扶梯构成直角三角形，其中扶梯长度为斜边，扶梯的高为∠α的对边。
则$\sinα = \frac{扶梯的高}{扶梯的长度} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}$，
因为α是锐角，所以α = 30°。
答：自动扶梯的倾斜角是30°。

4. 如图,斜坡AB长为40 m,坡顶离地面的高度为15 m.求斜坡的倾斜角(精确到$1'$).

(第4题)

解：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=15m，AB=40m，
∴$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{15}{40} = 0.375$，
利用计算器计算得：∠A≈22°1′。
答：斜坡的倾斜角约为22°1′。

5. 如图,在菱形ABCD中,$DE⊥ AB$,垂足为E,$\cos A=\dfrac{3}{5}$,$BE=2$,求$\tan∠ DBE$的值.

(第5题)

解：设$ AE=3x $，
在$ \mathrm{Rt}△ ADE $中，$ ∠ AED=90° $，
$\because \cos A=\dfrac{AE}{AD}=\dfrac{3}{5}$，
$\therefore AD=5x$，
由勾股定理得：$ DE=\sqrt{AD^2-AE^2}=\sqrt{(5x)^2-(3x)^2}=4x $，
$\because$ 四边形$ ABCD $是菱形，
$\therefore AB=AD=5x$，
又$\because AB=AE+BE$，$ BE=2 $，
$\therefore 5x=3x+2$，
解得$ x=1 $，
$\therefore DE=4×1=4$，
在$ \mathrm{Rt}△ BDE $中，$ ∠ DEB=90° $，
$\tan∠ DBE=\dfrac{DE}{BE}=\dfrac{4}{2}=2$。

6. 如图,工件上有一V形槽,测得它的上口宽为20 mm,深为19.2 mm.求V形角($∠ ACB$)的大小(精确到$1°$).

(第6题)

解：
由题意可知，$CD ⊥ AB$，$AB=20\ \mathrm{mm}$，$CD=19.2\ \mathrm{mm}$，
$\therefore AD = \frac{1}{2}AB = 10\ \mathrm{mm}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，
$\tan∠ ACD = \frac{AD}{CD} = \frac{10}{19.2} \approx 0.5208$，
$\therefore ∠ ACD \approx 27.5°$，
$\therefore ∠ ACB = 2∠ ACD \approx 2×27.5° = 55°$。
答：V形角$∠ ACB$的大小约为$55°$。

7. 如图,燕尾槽的横截面ADCB是梯形,且$AD=BC$,外口宽$AB=80\ \mathrm{cm}$,里口宽$CD=120\ \mathrm{cm}$,槽深是60 cm. 求它的燕尾角$∠ D$的大小(精确到$1°$).

(第7题)

解：
过点A作$AE ⊥ CD$于点E，过点B作$BF ⊥ CD$于点F。
因为四边形ADCB是等腰梯形，$AB=80\ \mathrm{cm}$，$CD=120\ \mathrm{cm}$，
所以$DE=\frac{CD-AB}{2}=\frac{120-80}{2}=20\ \mathrm{cm}$。
已知槽深$AE=60\ \mathrm{cm}$，在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，
$\tan∠ D=\frac{AE}{DE}=\frac{60}{20}=3$，
所以$∠ D=\arctan3\approx72°$。
答：燕尾角$∠ D$的大小约为$72°$。

8. 在$△ ABC$中,$AD$为边$BC$上的高,$AD=2$,$AB=2\sqrt{2}$,$CD=2\sqrt{3}$.求$∠ BAC$的度数.

解：
∵AD为边BC上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°。
在Rt△ABD中，AD=2，AB=2√2，
$\cos∠ BAD=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠BAD=45°。
在Rt△ACD中，AD=2，CD=2√3，
$\tan∠ CAD=\frac{CD}{AD}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，
∴∠CAD=60°。
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=45°+60°=105°。