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一、选择题。
1. 打一个电话要1分钟，如果用打电话的最佳方案，老师通知20名同学到会，至少要(
A.3
B.4
C.5
1. 打一个电话要1分钟，如果用打电话的最佳方案，老师通知20名同学到会，至少要(
C
)分钟。A.3
B.4
C.5
答案
C
解析
本题可根据打电话最佳方案的原理，即每一分钟通知的人数和已知信息的人数（包括老师）呈倍数增长，通过分析每一分钟通知到的总人数来确定通知完所有同学所需的最少时间。
第$1$分钟：老师通知$1$名同学，此时知道消息的总人数为$2$人（老师和$1$名同学）。
第$2$分钟：老师和已经通知的$1$名同学可以同时通知$2$名同学，此时知道消息的总人数为$2 + 2 - 1（老师不算在新通知里，后面同理）= 4$（原知道的人帮助通知新的人，新通知$2$人，总人数$2+2=4$人 ），实际是$2×2 = 4$人。
第$3$分钟：由前面$4$人可以同时通知$4$名同学，此时知道消息的总人数为$4×2 = 8$人。
第$4$分钟：由前面$8$人可以同时通知$8$名同学，此时知道消息的总人数为$8×2 = 16$人。
第$5$分钟：由前面$16$人可以同时通知$16$名同学，此时知道消息的总人数为$16×2 = 32$人，$32＞ 20 + 1$（要把$20$名同学都通知到，要加上老师），所以$5$分钟可以通知完。
第$1$分钟：老师通知$1$名同学，此时知道消息的总人数为$2$人（老师和$1$名同学）。
第$2$分钟：老师和已经通知的$1$名同学可以同时通知$2$名同学，此时知道消息的总人数为$2 + 2 - 1（老师不算在新通知里，后面同理）= 4$（原知道的人帮助通知新的人，新通知$2$人，总人数$2+2=4$人 ），实际是$2×2 = 4$人。
第$3$分钟：由前面$4$人可以同时通知$4$名同学，此时知道消息的总人数为$4×2 = 8$人。
第$4$分钟：由前面$8$人可以同时通知$8$名同学，此时知道消息的总人数为$8×2 = 16$人。
第$5$分钟：由前面$16$人可以同时通知$16$名同学，此时知道消息的总人数为$16×2 = 32$人，$32＞ 20 + 1$（要把$20$名同学都通知到，要加上老师），所以$5$分钟可以通知完。
2. 合唱团的张老师接到紧急演出任务，需要尽快通知合唱团的25名同学，用打电话的方式，通知1个人要1分钟，通知完所有同学最少要(
A.5
B.6
C.7
A
)分钟。A.5
B.6
C.7
答案
A
解析
第1分钟：老师通知1名同学，共1人接到通知；
第2分钟：老师和1名同学分别通知1人，共1+2=3人接到通知；
第3分钟：3人分别通知1人，共3+4=7人接到通知；
第4分钟：7人分别通知1人，共7+8=15人接到通知；
第5分钟：15人分别通知1人，共15+16=31人接到通知，31＞25。
第2分钟：老师和1名同学分别通知1人，共1+2=3人接到通知；
第3分钟：3人分别通知1人，共3+4=7人接到通知；
第4分钟：7人分别通知1人，共7+8=15人接到通知；
第5分钟：15人分别通知1人，共15+16=31人接到通知，31＞25。
3. 由于天气的变化，学校组织的夏令营活动取消了，老师如果用打电话的方式通知学生，每分钟通知1人，每人接到电话后，继续通知其他同学。3分钟最多可通知到(
A.3
B.7
C.10
B
)人。A.3
B.7
C.10
答案
B
解析
第1分钟：老师通知1人，共通知1人；
第2分钟：老师和已通知的1人分别通知1人，新增2人，共通知1+2=3人；
第3分钟：已通知的3人分别通知1人，新增3人，共通知3+4=7人。
第2分钟：老师和已通知的1人分别通知1人，新增2人，共通知1+2=3人；
第3分钟：已通知的3人分别通知1人，新增3人，共通知3+4=7人。
4. 一个合唱队共有15人，暑假期间有一个紧急演出，老师需要尽快通知每一个队员，打电话每分钟能通知1人。小明设计的方案如右，根据这个方案，通知到每一个队员需要的时间是(
A.5分钟
B.6分钟
C.7分钟
C
)。A.5分钟
B.6分钟
C.7分钟
答案
C
解析
老师需通知15名队员。根据图示方案，老师先通知3名学生（学生1、2、3），每分钟通知1人，故通知3名学生需3分钟（第1-3分钟）。之后每名学生各通知4名队员，每名学生通知4人需4分钟（每分钟通知1人）。学生1第1分钟被通知，第2-5分钟通知4人；学生2第2分钟被通知，第3-6分钟通知4人；学生3第3分钟被通知，第4-7分钟通知4人。最后一名队员在第7分钟被通知到。
二、办公室要把一个紧急通知传达给老师，如果打一个电话要1分钟，那么6分钟最多可以通知多少人？
答案
1. 第1分钟：通知1人，累计通知1人。
2. 第2分钟：已通知的1人+通知者共2人，每人通知1人，新增2人，累计1+2=3人。
3. 第3分钟：已通知的3人+通知者共4人，每人通知1人，新增4人，累计3+4=7人。
4. 规律：n分钟最多通知人数为$2^n - 1$。
5. 6分钟：$2^6 - 1 = 64 - 1 = 63$人。
结论：63人。
2. 第2分钟：已通知的1人+通知者共2人，每人通知1人，新增2人，累计1+2=3人。
3. 第3分钟：已通知的3人+通知者共4人，每人通知1人，新增4人，累计3+4=7人。
4. 规律：n分钟最多通知人数为$2^n - 1$。
5. 6分钟：$2^6 - 1 = 64 - 1 = 63$人。
结论：63人。
三、【拓展题】由于天气变化，学校组织的春游活动推迟了，老师需要通知每一名学生，如果用打电话的方式，每分钟通知1人，每人接到电话后，继续通知其他同学。一共有60名学生，通知到所有人至少需要多少分钟？
答案
答题：
第1分钟，老师通知1名学生，共通知到1 + （包括老师（此时为能通知新人的“通知源”）共）2（人）（学生1人） （下同。或只算学生则第一句为“老师通知1名学生”）；
第2分钟，2人（老师、学生1）可以通知2名学生，共通知到：$1+2+ （新通知2名） 4 - 1（老师不重复算为学生）= 3（或只算学生：1+2 - （此处不减老师） 实际为下文累计学生数的计算方式，即每轮新增为2^{n - 1}，总学生数累计为2^n - 1） = 3$；
第3分钟，4人（老师、学生1、学生2、学生3）可以通知4名学生，共通知到：$2^3 - 1（包括老师，若只算学生则此值为总学生数） = 7$；
第4分钟，8人可以通知8名学生，共通知到：$2^4 - 1 = 15$；
第5分钟，16人可以通知16名学生，共通知到：$2^5 - 1 = 31$；
第6分钟，32人可以通知32名学生，共通知到：$2^6 - 1 = 63$（人），
此时，63 - 1（老师） = 62（学生） $＞ 60$，
所以，通知到所有学生至少需要6分钟。
第1分钟，老师通知1名学生，共通知到1 + （包括老师（此时为能通知新人的“通知源”）共）2（人）（学生1人） （下同。或只算学生则第一句为“老师通知1名学生”）；
第2分钟，2人（老师、学生1）可以通知2名学生，共通知到：$1+2+ （新通知2名） 4 - 1（老师不重复算为学生）= 3（或只算学生：1+2 - （此处不减老师） 实际为下文累计学生数的计算方式，即每轮新增为2^{n - 1}，总学生数累计为2^n - 1） = 3$；
第3分钟，4人（老师、学生1、学生2、学生3）可以通知4名学生，共通知到：$2^3 - 1（包括老师，若只算学生则此值为总学生数） = 7$；
第4分钟，8人可以通知8名学生，共通知到：$2^4 - 1 = 15$；
第5分钟，16人可以通知16名学生，共通知到：$2^5 - 1 = 31$；
第6分钟，32人可以通知32名学生，共通知到：$2^6 - 1 = 63$（人），
此时，63 - 1（老师） = 62（学生） $＞ 60$，
所以，通知到所有学生至少需要6分钟。
