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1. 2025年1月7日凌晨,长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心点火起飞,将实践二十五号卫星成功送入预定轨道,为2025年中国航天宇航发射取得“开门红”. 如图1,当火箭上升到点A时,位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米,仰角为θ,则此时火箭距海平面的高度AL为(
A.$a\sin\theta$千米
B.$a\cos\theta$千米
C.$\frac{a}{\sin\theta}$千米
D.$\frac{a}{\cos\theta}$千米
A
)A.$a\sin\theta$千米
B.$a\cos\theta$千米
C.$\frac{a}{\sin\theta}$千米
D.$\frac{a}{\cos\theta}$千米
答案
【解析】：
本题主要考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数得出各边之间的关系。
在$Rt\bigtriangleup ALR$中，$\angle ALR=90^\circ$，$\angle ARL=\theta$，$AR=a$千米。
根据正弦函数的定义，我们有：
$\sin\theta = \frac{AL}{AR}$，
将已知的$AR=a$代入上式，得到：
$AL = AR × \sin\theta = a\sin\theta$（千米）。
【答案】：A.$a\sin\theta$千米。
本题主要考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数得出各边之间的关系。
在$Rt\bigtriangleup ALR$中，$\angle ALR=90^\circ$，$\angle ARL=\theta$，$AR=a$千米。
根据正弦函数的定义，我们有：
$\sin\theta = \frac{AL}{AR}$，
将已知的$AR=a$代入上式，得到：
$AL = AR × \sin\theta = a\sin\theta$（千米）。
【答案】：A.$a\sin\theta$千米。
2. 如图2,某飞机于空中A处探测到地面目标B,此时从飞机上看目标B的俯角$\alpha=30^\circ$,飞行高度AC= 1200米,则飞机到目标B的距离AB为(
A.1200米
B.2400米
C.$400\sqrt{3}$米
D.$1200\sqrt{3}$米
B
)A.1200米
B.2400米
C.$400\sqrt{3}$米
D.$1200\sqrt{3}$米
答案
解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=α=30°，AC=1200米。
∵sin∠ABC=AC/AB，
∴AB=AC/sin30°=1200/(1/2)=2400米。
答案：B
∵sin∠ABC=AC/AB，
∴AB=AC/sin30°=1200/(1/2)=2400米。
答案：B
3. 如图3,电线杆AB的中点C处有一标志物,在地面D点处测得标志物的仰角为$45^\circ$,若点D到电线杆底部点B的距离为b,则电线杆AB的长可表示为(
A.b
B.2b
C.$\frac{3}{2}b$
D.$\frac{5}{2}b$
B
)A.b
B.2b
C.$\frac{3}{2}b$
D.$\frac{5}{2}b$
答案
解：在Rt△CBD中，∠CDB=45°，∠CBD=90°，DB=b。
∵tan∠CDB=CB/DB，
∴tan45°=CB/b，
∵tan45°=1，
∴CB=b。
∵C是AB中点，
∴AB=2CB=2b。
答案：B
∵tan∠CDB=CB/DB，
∴tan45°=CB/b，
∵tan45°=1，
∴CB=b。
∵C是AB中点，
∴AB=2CB=2b。
答案：B
1. 如图4,沿AC方向开山修路,为了加快施工进度,要在小山的另一边同时施工. 在AC上的一点B处取$\angle ABD= 140^\circ$,并测量得BD= 520米,$\angle D= 50^\circ$,为了使A,C,E在一直线上,开挖点E离D的距离应是
520cos50°
米(结果用三角函数表示).答案
解：在△BDE中，∠ABD=140°，∠D=50°，则∠BED=∠ABD - ∠D=140° - 50°=90°。
在Rt△BDE中，cos∠D=DE/BD，BD=520米，∠D=50°，
所以DE=BD·cos∠D=520cos50°。
520cos50°
在Rt△BDE中，cos∠D=DE/BD，BD=520米，∠D=50°，
所以DE=BD·cos∠D=520cos50°。
520cos50°
2. 如图5,某课外活动小组在测量学校旗杆的高度时发现,当太阳光线与地面成$30^\circ$时,测得旗杆AB在地面上的投影BC长为9米,则旗杆AB的高度为
$3\sqrt{3}$
米(结果保留根号).答案
解：在Rt△ABC中，∠ACB=30°，BC=9米，tan∠ACB=AB/BC，
则AB=BC·tan30°=9×(√3/3)=3√3。
答：旗杆AB的高度为3√3米。
则AB=BC·tan30°=9×(√3/3)=3√3。
答：旗杆AB的高度为3√3米。
3. 如图6,从楼顶点A处看楼下荷塘点C处的俯角为$45^\circ$,看楼下荷塘点D处的俯角为$60^\circ$,已知楼高AB为30 m,则荷塘的宽CD为
$30-10\sqrt{3}$
m(结果保留根号).答案
解：由题意得，∠ACB=45°，∠ADB=60°，AB=30m，AB⊥BD。
在Rt△ABC中，tan∠ACB=AB/BC，
∵∠ACB=45°，
∴tan45°=AB/BC=1，
∴BC=AB=30m。
在Rt△ABD中，tan∠ADB=AB/BD，
∵∠ADB=60°，
∴tan60°=AB/BD=√3，
∴BD=AB/√3=30/√3=10√3m。
∴CD=BC-BD=30-10√3。
答：荷塘的宽CD为(30-10√3)m。
在Rt△ABC中，tan∠ACB=AB/BC，
∵∠ACB=45°，
∴tan45°=AB/BC=1，
∴BC=AB=30m。
在Rt△ABD中，tan∠ADB=AB/BD，
∵∠ADB=60°，
∴tan60°=AB/BD=√3，
∴BD=AB/√3=30/√3=10√3m。
∴CD=BC-BD=30-10√3。
答：荷塘的宽CD为(30-10√3)m。
