1. 在$\triangle ABC$中，$D$，$E$分别为$AB$，$AC$的中点。若$BC = 8$，则$DE = ()$
A. $3$
B. $4$
C. $6$
D. $8$

B

2. 如图，下列条件中，不能判定四边形$ABCD$为平行四边形的是()



A. $AB// DC$，$AD// BC$
B. $AB = DC$，$AD = BC$
C. $AO = CO$，$BO = DO$
D. $AB// DC$，$AD = BC$

D

3. 如图，在$\square ABCD$中，$O$是$BD$的中点，$EF$经过点$O$，有下列结论：①$AB// DC$；②$EO = ED$；③$\angle A=\angle C$；④$S_{四边形ABOE}=S_{四边形CDOF}$。其中正确的结论有()



A. $1$个
B. $2$个
C. $3$个
D. $4$个

C

4. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AB = 10$，$AC = 8$。若$DE$是$\triangle ABC$的中位线，则$DE$的长为______。

3

5. 如图，在$\square ABCD$中，$BC = 2$，点$E$在$DA$的延长线上，$BE = 3$。若$BA$平分$\angle EBC$，则$DE$的长为______。

$5$

6. 若一个多边形的内角和为$540^{\circ}$，则这个多边形是______边形。

五

7. 如图，在四边形$ABCD$中，$AB// CD$，点$E$在边$AB$上，______。
请从“①$\angle B=\angle AED$；②$AE = BE$，$AE = CD$”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上(填序号)，再解答下列问题。
(1) 求证：四边形$BCDE$为平行四边形。
(2) 若$AD\perp AB$，$AD = 8$，$BC = 10$，求线段$AE$的长。

【解析】：
### 选择条件①
- **(1) 证明四边形$BCDE$为平行四边形**
已知$AB// CD$，根据平行线的性质，可得$\angle CDE=\angle AED$。
又因为$\angle B = \angle AED$，所以$\angle CDE=\angle B$。
根据“同位角相等，两直线平行”，可得$DE// BC$。
又因为$AB// CD$，即$BE// CD$。
根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，所以四边形$BCDE$为平行四边形。
- **(2) 求线段$AE$的长**
因为$AD\perp AB$，所以$\angle A = 90^{\circ}$。
由(1)知四边形$BCDE$为平行四边形，所以$DE = BC = 10$。
在$Rt\triangle ADE$中，根据勾股定理$AE=\sqrt{DE^{2}-AD^{2}}$，已知$AD = 8$，$DE = 10$，则$AE=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=\sqrt{100 - 64}=\sqrt{36}=6$。
### 选择条件②
- **(1) 证明四边形$BCDE$为平行四边形**
已知$AB// CD$，即$BE// CD$，又因为$AE = CD$，$AE = BE$，所以$BE = CD$。
根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以四边形$BCDE$为平行四边形。
- **(2) 求线段$AE$的长**
因为$AD\perp AB$，所以$\angle A = 90^{\circ}$。
由(1)知四边形$BCDE$为平行四边形，所以$DE = BC = 10$。
在$Rt\triangle ADE$中，根据勾股定理$AE=\sqrt{DE^{2}-AD^{2}}$，已知$AD = 8$，$DE = 10$，则$AE=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=\sqrt{100 - 64}=\sqrt{36}=6$。
【答案】：
选择条件①：
(1) 证明见上述解析。
(2) $AE = 6$。
选择条件②：
(1) 证明见上述解析。
(2) $AE = 6$。