1. 若一个等腰三角形的一个内角为 $ 100^{\circ} $，则其底角为( )
A. $ 40^{\circ} $
B. $ 50^{\circ} $
C. $ 80^{\circ} $
D. $ 100^{\circ} $

1. A

2. 如图，$ AB // CD $，点 $ E $ 在线段 $ BC $ 上，$ CD = CE $。若 $ \angle ABC = 30^{\circ} $，则 $ \angle D = ( ) $


A. $ 85^{\circ} $
B. $ 75^{\circ} $
C. $ 65^{\circ} $
D. $ 30^{\circ} $

B

3. 一把无刻度的直尺与一块直角三角尺按如图所示的方式摆放，若 $ \angle 1 = 47^{\circ} $，则 $ \angle 2 = ( ) $
A. $ 40^{\circ} $ B. $ 43^{\circ} $ C. $ 45^{\circ} $ D. $ 47^{\circ} $

B

4. 在一个等腰三角形中，若顶角比底角大 $ 30^{\circ} $，则底角为______$ ^{\circ} $。

$50$

5. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ AB = AC $，$ \angle B = 70^{\circ} $。若以点 $ C $ 为圆心，$ CA $ 长为半径作弧，交直线 $ BC $ 于点 $ P $，连接 $ AP $，则 $ \angle BAP $ 的大小是______。

$75^{\circ}$或$5^{\circ}$

6. 如图，在 $ \triangle AOB $ 中，$ AO = 1 $。将 $ \triangle AOB $ 绕点 $ O $ 逆时针旋转 $ 90^{\circ} $，得到 $ \triangle A'OB' $，连接 $ AA' $，线段 $ AA' $ 的长为______。

$\sqrt{2}$

7. 如图，$ BE $ 是 $ \triangle ABC $ 的角平分线，在 $ AB $ 上取一点 $ D $，使 $ DB = DE $。
(1) 求证：$ DE // BC $。
(2) 若 $ \angle A = 65^{\circ} $，$ \angle AED = 45^{\circ} $，求 $ \angle EBC $ 的度数。

【解析】：
(1) 因为$BE$是$\triangle ABC$的角平分线，所以$\angle DBE=\angle EBC$。
又因为$DB = DE$，所以$\angle DBE=\angle DEB$。
那么$\angle DEB=\angle EBC$，根据内错角相等，两直线平行，可得$DE// BC$。
(2) 因为$DE// BC$，所以$\angle C=\angle AED = 45^{\circ}$。
在$\triangle ABC$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle ABC=180^{\circ}-\angle A-\angle C=180^{\circ}-65^{\circ}-45^{\circ}=70^{\circ}$。
因为$BE$是角平分线，所以$\angle EBC=\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{1}{2}\times70^{\circ}=35^{\circ}$。
【答案】：
(1) 证明见上述解析。
(2) $35^{\circ}$

8. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ AB = AC = 2 $，$ P $ 是 $ BC $ 上任意一点，$ PE \perp AB $ 于点 $ E $，$ PF \perp AC $ 于点 $ F $。若 $ S_{\triangle ABC} = 1 $，求 $ PE + PF $ 的值。

【解析】：连接$AP$，因为$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABP}+S_{\triangle ACP}$，根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高），$S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2}AB\times PE$，$S_{\triangle ACP}=\frac{1}{2}AC\times PF$，已知$AB = AC = 2$，$S_{\triangle ABC}=1$，则$1=\frac{1}{2}\times2\times PE+\frac{1}{2}\times2\times PF$，化简可得$1 = PE + PF$。
【答案】：$1$