26. 某单位欲从内部招聘管理人员一名,对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试两项测试,三人的测试成绩如下表.
|测试项目|测试成绩/分|
|甲|76|93|
|乙|80|71|
|丙|90|68|
根据录用程序,组织200名职工对三人用投票推荐的方式进行民主评议,三人得票率(没有弃权票,每名职工只能推荐1人)如图所示,每得一票记作1分.
(1)请算出三人的民主评议得分;甲分、乙分、丙分.
(2)如果根据三项成绩的平均成绩择优录用,那么谁将被录用?

26.解:(1) $\because 200×25\% =50$ (分), $200×40\% =80$ (分), $200×35\% =70$ (分), $\therefore$ 甲、乙、丙的民主评议得分分别为 50 分、80 分、70 分. (2)甲的平均成绩: $\frac {1}{3}×(76+93+50)=73$ (分), 乙的平均成绩: $\frac {1}{3}×(80+71+80)=77$ (分), 丙的平均成绩: $\frac {1}{3}×(90+68+70)=76$ (分). $\because 77＞76＞73,\therefore$ 候选人乙将被录用.

27. 如图,已知$AD= 4,DC= 2\sqrt {3},CB= \sqrt {3},AB= 5,∠ADC= 90^{\circ },∠DAE= 60^{\circ },DE⊥AB$于点E.
(1)求$∠B$的度数;
(2)判断$△DEC$的形状,并说明理由.

27.解:(1)在 $\triangle ACD$ 中, $\because ∠ADC=90^{\circ },\therefore AC^{2}=AD^{2}+CD^{2}=4^{2}+(2\sqrt {3})^{2}=28.\because BC^{2}+AB^{2}=(\sqrt {3})^{2}+5^{2}=28,\therefore AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}.\therefore ∠B=90^{\circ }$. (2) $\triangle DEC$ 为等边三角形. 理由: $\because DE⊥AB,\therefore ∠AED=90^{\circ }.\therefore ∠DAE+∠ADE=90^{\circ }$. $\because ∠ADC=90^{\circ }$, 即 $∠ADE+∠EDC=90^{\circ },\therefore ∠EDC=∠DAE=60^{\circ }$. 在 $Rt\triangle ADE$ 中, $∠DAE=60^{\circ },\therefore ∠ADE=30^{\circ }.\therefore AE=\frac {1}{2}AD=2.\therefore DE^{2}=4^{2}-2^{2}=12.\therefore DE=2\sqrt {3}.\because DC=2\sqrt {3},\therefore DE=DC$. 又 $\because ∠EDC=60^{\circ },\therefore \triangle DEC$ 为等边三角形.

28. 如图,在$△ABC$中,$AB= AC,AD⊥BC$,垂足为D.AN是$△ABC$的外角∠CAM的平分线,$CE⊥AN$,垂足为E.
(1)求证:四边形ADCE为矩形.
(2)当$△ABC$满足什么条件时,四边形ADCE是正方形?请说明理由.

(1)证明:在 $\triangle ABC$ 中, $AB=AC,AD⊥BC,\therefore ∠BAD=∠DAC=\frac {1}{2}∠BAC.\because AN$ 是 $\triangle ABC$ 的外角 $∠CAM$ 的平分线, $\therefore ∠MAE=∠CAE=\frac {1}{2}∠CAM.\therefore ∠DAE=∠DAC+∠CAE=\frac {1}{2}∠BAC+\frac {1}{2}∠CAM=\frac {1}{2}×180^{\circ }=90^{\circ }$. 又 $\because AD⊥BC,CE⊥AN,\therefore ∠ADC=∠CEA=90^{\circ }.\therefore$ 四边形 $ADCE$ 为矩形. (2)解:当 $\triangle ABC$ 满足条件时, 四边形 $ADCE$ 是正方形. 理由: $\because AB=AC,AD⊥BC,\therefore DC=\frac {1}{2}BC$. 又 $\because \triangle ABC$ 是直角三角形, $\therefore AD=\frac {1}{2}BC.\therefore DC=AD.\therefore$ 四边形 $ADCE$ 是正方形.

28.(1)证明:在 $\triangle ABC$ 中, $AB=AC,AD⊥BC,\therefore ∠BAD=∠DAC=\frac {1}{2}∠BAC.\because AN$ 是 $\triangle ABC$ 的外角 $∠CAM$ 的平分线, $\therefore ∠MAE=∠CAE=\frac {1}{2}∠CAM.\therefore ∠DAE=∠DAC+∠CAE=\frac {1}{2}∠BAC+\frac {1}{2}∠CAM=\frac {1}{2}×180^{\circ }=90^{\circ }$. 又 $\because AD⊥BC,CE⊥AN,\therefore ∠ADC=∠CEA=90^{\circ }.\therefore$ 四边形 $ADCE$ 为矩形. (2)解:当 $\triangle ABC$ 是直角三角形时, 四边形 $ADCE$ 是正方形. 理由: $\because AB=AC,AD⊥BC,\therefore DC=\frac {1}{2}BC$. 又 $\because \triangle ABC$ 是直角三角形, $\therefore AD=\frac {1}{2}BC.\therefore DC=AD.\therefore$ 四边形 $ADCE$ 是正方形.

29. 如图,P是正方形ABCD内一点,在正方形ABCD外有一点E,满足$∠ABE= ∠CBP,BE= BP$.
(1)求证:$△CPB\cong △AEB;$
(2)求证:$PB⊥BE;$
(3)若$PA:PB= 1:2,∠APB= 135^{\circ }$,求$AP:AE$的值.

29.(1)证明: $\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形, $\therefore BC=AB$. $\because ∠CBP=∠ABE,BP=BE,\therefore \triangle CPB\cong \triangle AEB$ (SAS). (2)证明: $\because ∠CBP=∠ABE,\therefore ∠PBE=∠ABE+∠ABP=∠CBP+∠ABP=90^{\circ }.\therefore PB⊥BE$. (3)解:如答图, 连接 $PE.\because BE=BP,∠PBE=90^{\circ },\therefore ∠BPE=45^{\circ }$. 设 $AP=k(k＞0)$, 则 $BP=BE=2k.\therefore PE^{2}=BP^{2}+BE^{2}=8k^{2}.\because ∠APB=135^{\circ },\therefore ∠APE=90^{\circ }.\therefore AE=\sqrt {AP^{2}+PE^{2}}=3k.\therefore AP:AE=1:3$.