9. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是()

A.4.5，6，7.5
B.2，3，4
C.4，6，7
D.5，11，12

9.A

A选项：$4.5^{2}+6^{2}=20.25 + 36=56.25$，$7.5^{2}=56.25$，$4.5^{2}+6^{2}=7.5^{2}$，能组成直角三角形。
B选项：$2^{2}+3^{2}=4 + 9=13$，$4^{2}=16$，$13\neq16$，不能组成直角三角形。
C选项：$4^{2}+6^{2}=16 + 36=52$，$7^{2}=49$，$52\neq49$，不能组成直角三角形。
D选项：$5^{2}+11^{2}=25 + 121=146$，$12^{2}=144$，$146\neq144$，不能组成直角三角形。
结论：能组成直角三角形的是A选项。

10. 在 $ \triangle ABC $ 中，$ AB = 25 \mathrm{cm} $，$ BC = 48 \mathrm{cm} $，边 $ BC $ 上的中线 $ AD = 7 \mathrm{cm} $，那么 $ \angle ADC $ 的度数为，$ AC = $$ \mathrm{cm} $.

10.$90^{\circ}$ 25

解：
∵AD是BC边上的中线，BC=48cm，
∴BD=DC=$\frac{1}{2}BC=24\mathrm{cm}$。
在$\triangle ABD$中，AB=25cm，AD=7cm，BD=24cm，
∵$AD^2 + BD^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2 = AB^2$，
∴$\triangle ABD$是直角三角形，$\angle ADB = 90°$。
∵$\angle ADB + \angle ADC = 180°$，
∴$\angle ADC = 180° - 90° = 90°$。
在$\mathrm{Rt}\triangle ADC$中，AD=7cm，DC=24cm，
∴$AC = \sqrt{AD^2 + DC^2} = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25\mathrm{cm}$。
$90°$；25

11. (新考法·阅读理解)(2023·泸州改编)【阅读】能够成为直角三角形三条边长的三个正整数 $ a $，$ b $，$ c $ 被称为勾股数. 世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为 $ \begin{cases} a = \frac{1}{2}(m^2 - n^2), \\ b = mn, \\ c = \frac{1}{2}(m^2 + n^2), \end{cases} $ 其中，$ m ＞ n ＞ 0 $，$ m $，$ n $ 是互质的奇数.
【应用】当 $ n = 1 $ 时，求有一边的长为 5 的直角三角形的另外两条边的长.

11.当$n = 1$时，$a=\frac{1}{2}(m^{2}-1)$，$b = m$，$c=\frac{1}{2}(m^{2}+1)$。$\because$直角三角形有一边的长为5，$\therefore$①当$a=\frac{1}{2}(m^{2}-1)=5$时，得$m^{2}=11$(不合题意，舍去)；②当$b = m = 5$时，$a=\frac{1}{2}×(5^{2}-1)=12$，$c=\frac{1}{2}×(5^{2}+1)=13$；③当$c=\frac{1}{2}(m^{2}+1)=5$时，得$m^{2}=9$，由$m＞0$，得$m = 3$，则$a=\frac{1}{2}×(3^{2}-1)=4$，$b = 3$。综上所述，直角三角形的另外两条边的长分别为12，13或3，4。

12. (新考向·传统文化)(2023·南京)我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一个问题：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里. 欲知为田几何?”大意如下：如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ AB = 13 $ 里，$ BC = 14 $ 里，$ AC = 15 $ 里，则 $ \triangle ABC $ 的面积是()

A.80 平方里
B.82 平方里
C.84 平方里
D.86 平方里

12.C 解析:过点A作$AD\perp BC$于点D.设$BD = x$里，则$CD=(14 - x)$里。在$Rt\triangle ABD$中，$AD^{2}=(13^{2}-x^{2})$里$^{2}$；在$Rt\triangle ADC$中，$AD^{2}=[15^{2}-(14 - x)^{2}]$里$^{2}$。$\therefore13^{2}-x^{2}=15^{2}-(14 - x)^{2}$，解得$x = 5$，$\therefore AD^{2}=13^{2}-5^{2}=144$(里$^{2}$)，$\therefore AD = 12$里，$\therefore\triangle ABC$的面积为$\frac{1}{2}BC· AD=\frac{1}{2}×14×12 = 84$(平方里)。

13. 如图，某港口 $ P $ 位于东西方向的海岸线上，甲、乙两船同时离开港口，各自沿一固定方向航行. 已知甲、乙两船每小时分别航行 12 海里和 16 海里，1 小时后两船分别位于点 $ A $，$ B $ 处，且相距 20 海里. 若甲船沿北偏西 $ 40^{\circ} $ 方向航行，则乙船沿方向航行.

13.北偏东$50^{\circ}$

解：由题意得，$PA=12$海里，$PB=16$海里，$AB=20$海里。
因为$12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400 = 20^2$，所以$\triangle APB$是直角三角形，且$\angle APB=90°$。
已知甲船沿北偏西$40°$方向航行，即$\angle APN=40°$（$N$为正北方向）。
因为$\angle APB=90°$，所以$\angle BPN=90° - 40° = 50°$。
故乙船沿北偏东$50°$方向航行。
北偏东$50^{\circ}$

14. (新情境·现实生活)如图所示为一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 $ 100 \mathrm{cm} $，$ 15 \mathrm{cm} $，$ 10 \mathrm{cm} $，$ A $ 和 $ B $ 是这个台阶的两个相对的端点，点 $ A $ 处有一只蚂蚁想到点 $ B $ 处去吃可口的食物(只在台阶表面上爬行)，则它所爬行的最短路程为$ \mathrm{cm} $.

14.125

将台阶表面展开，得到一个长方形。长方形的长为台阶的长，即$100\, cm$；宽为台阶的（宽+高）×级数，即$(15 + 10)×3 = 75\, cm$。
根据勾股定理，蚂蚁爬行的最短路程为长方形对角线的长度，即：
$\sqrt{100^{2} + 75^{2}} = \sqrt{10000 + 5625} = \sqrt{15625} = 125\, cm$
125