15. 已知直角三角形纸片的两条直角边的长分别为 $ m $ 和 $ n (m ＜ n) $，过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形. 若这两个三角形都为等腰三角形，则下列结论正确的是()

A.$ m^2 + 2mn + n^2 = 0 $
B.$ m^2 - 2mn + n^2 = 0 $
C.$ m^2 + 2mn - n^2 = 0 $
D.$ m^2 - 2mn - n^2 = 0 $

15.C 解析:如图,剪成一个腰长为m的等腰直角三角形和一个腰长为$n - m$的等腰三角形。由题意,得$m^{2}+m^{2}=(n - m)^{2}$,即$2m^{2}=n^{2}-2mn + m^{2}$,$\therefore m^{2}+2mn - n^{2}=0$.
　　　　　　　　

16. (整体思想)如图，$ C $ 是线段 $ AB $ 上的一点，分别以 $ AC $，$ BC $ 为边向两侧作正方形. 设 $ AB = 6 $，两个正方形的面积 $ S_1 $，$ S_2 $ 之和为 20，则 $ \triangle BCD $ 的面积为.

16.4 解析:设$AC = a$，$BC = b$。由题意，得$a + b = 6$，$a^{2}+b^{2}=20$。$\because a^{2}+b^{2}=(a + b)^{2}-2ab$，$\therefore20 = 6^{2}-2ab$，$\therefore ab = 8$，$\therefore\triangle BCD$的面积为$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×8 = 4$。

设$AC = a$，$BC = b$。
由题意得：$a + b = 6$，$a^{2} + b^{2} = 20$。
因为$a^{2} + b^{2}=(a + b)^{2}-2ab$，所以$20 = 6^{2}-2ab$，解得$ab = 8$。
$\triangle BCD$的面积为$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×8 = 4$。
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17. (2023·广州)如图，正方形 $ ABCD $ 的边长为 4，点 $ E $ 在边 $ BC $ 上，且 $ BE = 1 $，$ F $ 为对角线 $ BD $ 上一动点，连接 $ CF $，$ EF $，则 $ CF + EF $ 的最小值为.

17.$\sqrt{17}$ 解析:连接AF,AE。$\because$对角线BD所在直线是正方形的对称轴，$\therefore AF = CF$。根据“两点之间,线段最短”，可知当A,F,E三点共线时，$AF + EF$取得最小值，即$CF + EF$取得最小值。在$Rt\triangle AFE$中，由勾股定理，得$AE=\sqrt{AB^{2}+BE^{2}}=\sqrt{4^{2}+1^{2}}=\sqrt{17}$，$\therefore CF + EF$的最小值为$\sqrt{17}$。

解：连接 $AF$。
∵ 四边形 $ABCD$ 是正方形，$BD$ 是对角线，
∴ 点 $A$ 与点 $C$ 关于直线 $BD$ 对称，
∴ $AF = CF$。
∴ $CF + EF = AF + EF$。
根据两点之间线段最短，当 $A$，$F$，$E$ 三点共线时，$AF + EF$ 取得最小值，最小值为 $AE$ 的长。
∵ 正方形边长为 $4$，$BE = 1$，
∴ 在 $Rt\triangle ABE$ 中，$AB = 4$，$BE = 1$，
由勾股定理得 $AE = \sqrt{AB^2 + BE^2} = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{17}$。
∴ $CF + EF$ 的最小值为 $\sqrt{17}$。
$\sqrt{17}$

18. (方程思想)如图，$ AC $ 平分 $ \angle BAD $，$ AD = BC = CD $. 若 $ AD = 3 $，$ AC = 5 $，则 $ AB $ 的长为.

18.$\frac{16}{3}$ 解析:在AB上截取$AE = AD$，连接CE，过点C作$CF\perp AB$于点F。$\because AC$平分$\angle BAD$，$\therefore\angle DAC=\angle EAC$。又$\because AD = AE$，$AC = AC$，$\therefore\triangle DAC\cong\triangle EAC$，$\therefore CD = CE$。$\because AD = BC = CD = 3$，$\therefore CE = BC = 3$。$\because CF\perp AB$，$\therefore EF = BF$。设$EF = x$。在$Rt\triangle AFC$中，$AE = AD = 3$，$AC = 5$，$\therefore AF = x + 3$，$\therefore CF^{2}=5^{2}-(x + 3)^{2}$。在$Rt\triangle ECF$中，由勾股定理，得$CF^{2}=3^{2}-x^{2}$。$\therefore5^{2}-(x + 3)^{2}=3^{2}-x^{2}$，解得$x=\frac{7}{6}$，$\therefore EF =\frac{7}{6}$，$\therefore AB = AE + 2EF = 3+2×\frac{7}{6}=\frac{16}{3}$。

19. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ AB = 8 $，$ AC = 17 $，$ AD $ 是边 $ BC $ 上的中线，$ AD = \frac{15}{2} $，求 $ \triangle ABC $ 的面积.

19.如图,延长AD至点E,使得$ED = AD$,连接CE。$\because AD$是边BC上的中线，$\therefore BD = CD$。在$\triangle ABD$和$\triangle ECD$中，$\begin{cases}AD = ED\\\angle ADB=\angle EDC\\BD = CD\end{cases}$，$\therefore\triangle ABD\cong\triangle ECD$，$S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ECD}$。$\because S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle ADC}$，$S_{\triangle AEC}=S_{\triangle ECD}+S_{\triangle ADC}$，$\therefore S_{\triangle ABC}=S_{\triangle AEC}$。$\because AD=\frac{15}{2}$，$\therefore AE = AD + DE = 15$。又$\because AC = 17$，$\therefore AE^{2}+EC^{2}=AC^{2}$，$\therefore\angle E = 90^{\circ}$，$\therefore S_{\triangle ABC}=S_{\triangle AEC}=\frac{1}{2}AE· EC=\frac{1}{2}×15×8 = 60$
　　　　　　　

20. 如图，在一张长方形纸片 $ ABCD $ 中，$ AB = 8 $，$ BC = 6 $，$ P $ 为 $ AD $ 上的一点，将 $ \triangle ABP $ 沿 $ BP $ 折叠至 $ \triangle EBP $ 处，$ PE $ 与 $ CD $ 相交于点 $ O $，且 $ OE = OD $，求 $ AP $ 的长.

20.设DC与BE相交于点G。$\because$四边形ABCD是长方形，$\therefore\angle D=\angle A=\angle C = 90^{\circ}$，$AD = BC = 6$，$CD = AB = 8$。根据折叠的特征，得$\triangle EBP\cong\triangle ABP$，$\therefore EP = AP$，$\angle E=\angle A = 90^{\circ}$，$BE = BA = 8$，$\therefore\angle D=\angle E$。在$\triangle ODP$和$\triangle OEG$中，$\begin{cases}\angle D=\angle E\\OD = OE\\\angle DOP=\angle EOG\end{cases}$，$\therefore\triangle ODP\cong\triangle OEG$，$\therefore OP = OG$，$PD = GE$，$\therefore OP + OE = OG + OD$，即$EP = DG$。设$AP = x$，则$PD = GE = 6 - x$，$EP = DG = x$。$\therefore CG = 8 - x$，$BG = 8-(6 - x)=2 + x$。在$Rt\triangle BCG$中，由勾股定理，得$BC^{2}+CG^{2}=BG^{2}$，即$6^{2}+(8 - x)^{2}=(2 + x)^{2}$，解得$x = 4.8$。$\therefore AP$的长为4.8