1. (扬州江都区)实验室里,明明正以每秒30毫升的均匀流量向容器(如右图)
里注水。当水注满后,明明记录了容器内水随着时间变化而逐渐升高的全过程。请仔细看下图,并回答下面的问题。
(1)注满容器下面部分的长方体需要( )秒。
(2)容器上面部分长方体的高是( )厘米。
(3)容器上、下部分长方体的容积比是( )。
(4)容器上面部分长方体的底面积是( )平方厘米。
里注水。当水注满后,明明记录了容器内水随着时间变化而逐渐升高的全过程。请仔细看下图,并回答下面的问题。(1)注满容器下面部分的长方体需要( )秒。
(2)容器上面部分长方体的高是( )厘米。
(3)容器上、下部分长方体的容积比是( )。
(4)容器上面部分长方体的底面积是( )平方厘米。
答案
(1) 60 (2) 18 (3) $1:2$ (4) 50 解析:根据题图可知,注满容器上面部分的长方体需要$(90 - 60)$秒,容器上面部分长方体的高为$(30 - 12)$厘米,结合题中数据去计算。
解析
(1) 60
(2) 18
(3) 1:2
(4) 50
解析：
(1) 由图像可知，前60秒水位匀速上升至12厘米（下面长方体高度），故注满下面部分需60秒。
(2) 图像显示总高度30厘米，下面长方体高12厘米，上面部分高为30-12=18厘米。
(3) 注满上面部分时间为90-60=30秒，流量相同，容积比=时间比=30:60=1:2。
(4) 下面部分容积=30毫升/秒×60秒=1800毫升=1800立方厘米，底面积=1800÷12=150平方厘米；上面部分容积=30×30=900立方厘米，底面积=900÷18=50平方厘米。
(2) 18
(3) 1:2
(4) 50
解析：
(1) 由图像可知，前60秒水位匀速上升至12厘米（下面长方体高度），故注满下面部分需60秒。
(2) 图像显示总高度30厘米，下面长方体高12厘米，上面部分高为30-12=18厘米。
(3) 注满上面部分时间为90-60=30秒，流量相同，容积比=时间比=30:60=1:2。
(4) 下面部分容积=30毫升/秒×60秒=1800毫升=1800立方厘米，底面积=1800÷12=150平方厘米；上面部分容积=30×30=900立方厘米，底面积=900÷18=50平方厘米。
2. (镇江丹阳)观察下面的等式,你能根据规律再写出两个这样的等式吗?
$ \left( \frac { 2 } { 5 } \right) ^ { 2 } + \frac { 3 } { 5 } = \frac { 2 } { 5 } + \left( \frac { 3 } { 5 } \right) ^ { 2 } $
$ \left( \frac { 3 } { 8 } \right) ^ { 2 } + \frac { 5 } { 8 } = \frac { 3 } { 8 } + \left( \frac { 5 } { 8 } \right) ^ { 2 } $
$ \left( \frac { 4 } { 11 } \right) ^ { 2 } + \frac { 7 } { 11 } = \frac { 4 } { 11 } + \left( \frac { 7 } { 11 } \right) ^ { 2 } ______$
$ \left( \frac { 2 } { 5 } \right) ^ { 2 } + \frac { 3 } { 5 } = \frac { 2 } { 5 } + \left( \frac { 3 } { 5 } \right) ^ { 2 } $
$ \left( \frac { 3 } { 8 } \right) ^ { 2 } + \frac { 5 } { 8 } = \frac { 3 } { 8 } + \left( \frac { 5 } { 8 } \right) ^ { 2 } $
$ \left( \frac { 4 } { 11 } \right) ^ { 2 } + \frac { 7 } { 11 } = \frac { 4 } { 11 } + \left( \frac { 7 } { 11 } \right) ^ { 2 } ______$
答案
答案不唯一,如$(\frac{5}{14})^2 + \frac{9}{14} = \frac{5}{14} + (\frac{9}{14})^2$ $(\frac{6}{17})^2 + \frac{11}{17} = \frac{6}{17} + (\frac{11}{17})^2$
3. (镇江丹阳)如图,三角形ABC的高是8cm。
(1)三角形甲的面积是( )$cm^{2}$,三角形乙的面积是( )$cm^{2}$。
(2)你有什么发现?
(3)把下面的三角形分成两部分,使两部分面积的比是$3:1$。
(1)三角形甲的面积是( )$cm^{2}$,三角形乙的面积是( )$cm^{2}$。
(2)你有什么发现?
(3)把下面的三角形分成两部分,使两部分面积的比是$3:1$。
答案
(1) 40 20 (2) 如果两个三角形等高,那么它们面积的比等于它们底的比 (3) 画法不唯一,如
4. (泰州姜堰区)数学活动课上,王老师带领大家探索长方体、正方体表面积变化的规律。在动手操作、发现规律的环节中,王老师让同学们拿出几个棱长为1厘米的小正方体,然后把它们排成一排拼成一个长方体。如图,第一小组的小芳将2个小正方体拼成了一个长方体,小龙将3个小正方体拼成了一个长方体,小云将4个小正方体拼成了一个长方体……
经过操作、比较、探索,你能发现什么规律?你是怎样发现规律的?请你用画图、计算、列举等方法说明你发现规律的过程。
规律:
发现规律的过程:
经过操作、比较、探索,你能发现什么规律?你是怎样发现规律的?请你用画图、计算、列举等方法说明你发现规律的过程。
规律:
发现规律的过程:
答案
规律不唯一,如$n$个棱长是 1 厘米的小正方体排成一排拼成的长方体的表面积是$(2 + 4n)$平方厘米 过程不唯一,如将$n$个棱长是 1 厘米的小正方体排成一排拼成长方体,左、右两个面的面积和始终是 2 平方厘米,上、下、前、后四个面的面积和是$4n$平方厘米,把六个面的面积相加即可得到表面积
解析
规律：$n$个棱长是1厘米的小正方体排成一排拼成的长方体的表面积是$(2 + 4n)$平方厘米。
发现规律的过程：
1. 每个小正方体棱长为1厘米，1个小正方体表面积为$6×1×1 = 6$平方厘米。
2. 2个小正方体拼成长方体：长2厘米、宽1厘米、高1厘米，表面积为$2×(2×1 + 2×1 + 1×1)=2×(2 + 2 + 1)=10$平方厘米。此时$2 + 4×2 = 10$，符合规律。
3. 3个小正方体拼成长方体：长3厘米、宽1厘米、高1厘米，表面积为$2×(3×1 + 3×1 + 1×1)=2×(3 + 3 + 1)=14$平方厘米。此时$2 + 4×3 = 14$，符合规律。
4. 4个小正方体拼成长方体：长4厘米、宽1厘米、高1厘米，表面积为$2×(4×1 + 4×1 + 1×1)=2×(4 + 4 + 1)=18$平方厘米。此时$2 + 4×4 = 18$，符合规律。
5. 综上，$n$个小正方体排成一排拼成长方体，左右面面积和为$2×1×1 = 2$平方厘米，上、下、前、后四个面面积和为$4×n×1×1 = 4n$平方厘米，总表面积为$2 + 4n$平方厘米。
发现规律的过程：
1. 每个小正方体棱长为1厘米，1个小正方体表面积为$6×1×1 = 6$平方厘米。
2. 2个小正方体拼成长方体：长2厘米、宽1厘米、高1厘米，表面积为$2×(2×1 + 2×1 + 1×1)=2×(2 + 2 + 1)=10$平方厘米。此时$2 + 4×2 = 10$，符合规律。
3. 3个小正方体拼成长方体：长3厘米、宽1厘米、高1厘米，表面积为$2×(3×1 + 3×1 + 1×1)=2×(3 + 3 + 1)=14$平方厘米。此时$2 + 4×3 = 14$，符合规律。
4. 4个小正方体拼成长方体：长4厘米、宽1厘米、高1厘米，表面积为$2×(4×1 + 4×1 + 1×1)=2×(4 + 4 + 1)=18$平方厘米。此时$2 + 4×4 = 18$，符合规律。
5. 综上，$n$个小正方体排成一排拼成长方体，左右面面积和为$2×1×1 = 2$平方厘米，上、下、前、后四个面面积和为$4×n×1×1 = 4n$平方厘米，总表面积为$2 + 4n$平方厘米。
