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14. 如果用四舍五入法得到的近似数是78，那么下列各数中不可能是原数的是 （
A.78.01
B.77.99
C.77.50
D.77.49
D
）A.78.01
B.77.99
C.77.50
D.77.49
答案
14. D
解析
【分析】
要判断哪个数不可能是近似数78的原数，首先明确四舍五入到个位得到78时原数的取值范围即可。四舍五入到个位需看十分位的数字，分两种情况讨论：①如果是“四舍”得到78，说明原数的整数部分是78，十分位数字小于5，原数最大不超过78.5；②如果是“五入”得到78，说明原数的整数部分是77，十分位数字大于等于5，原数最小为77.5。因此原数的范围是大于等于77.5且小于78.5，再逐一比对选项就能得出答案。
【解析】
解：用四舍五入法得到近似数78，即精确到个位，需根据原数的十分位判断取舍。
设原数为$x$，分两种情况分析：
1. 若为“四舍”得到78，则$x$的整数部分为78，十分位数字$＜5$，此时$x＜78.5$；
2. 若为“五入”得到78，则$x$的整数部分为77，十分位数字$≥5$，此时$x≥77.5$。
综上可得原数的取值范围为：$77.5≤ x＜78.5$。
逐一分析选项：
A. $78.01$在$77.5∼78.5$范围内，四舍五入得78，不符合题意；
B. $77.99$在$77.5∼78.5$范围内，四舍五入得78，不符合题意；
C. $77.50$在$77.5∼78.5$范围内，四舍五入得78，不符合题意；
D. $77.49＜77.5$，四舍五入得77，不可能是原数，符合题意。
故选：D
【答案】
D
【知识点】
四舍五入法，近似数的取值范围
【点评】
本题考查近似数的逆推问题，解题关键是分“四舍”“五入”两种情况确定原数的取值范围，不要遗漏任意一种情况，再结合选项比对判断即可。
【难度系数】
0.8
要判断哪个数不可能是近似数78的原数，首先明确四舍五入到个位得到78时原数的取值范围即可。四舍五入到个位需看十分位的数字，分两种情况讨论：①如果是“四舍”得到78，说明原数的整数部分是78，十分位数字小于5，原数最大不超过78.5；②如果是“五入”得到78，说明原数的整数部分是77，十分位数字大于等于5，原数最小为77.5。因此原数的范围是大于等于77.5且小于78.5，再逐一比对选项就能得出答案。
【解析】
解：用四舍五入法得到近似数78，即精确到个位，需根据原数的十分位判断取舍。
设原数为$x$，分两种情况分析：
1. 若为“四舍”得到78，则$x$的整数部分为78，十分位数字$＜5$，此时$x＜78.5$；
2. 若为“五入”得到78，则$x$的整数部分为77，十分位数字$≥5$，此时$x≥77.5$。
综上可得原数的取值范围为：$77.5≤ x＜78.5$。
逐一分析选项：
A. $78.01$在$77.5∼78.5$范围内，四舍五入得78，不符合题意；
B. $77.99$在$77.5∼78.5$范围内，四舍五入得78，不符合题意；
C. $77.50$在$77.5∼78.5$范围内，四舍五入得78，不符合题意；
D. $77.49＜77.5$，四舍五入得77，不可能是原数，符合题意。
故选：D
【答案】
D
【知识点】
四舍五入法，近似数的取值范围
【点评】
本题考查近似数的逆推问题，解题关键是分“四舍”“五入”两种情况确定原数的取值范围，不要遗漏任意一种情况，再结合选项比对判断即可。
【难度系数】
0.8
15. (2025 重庆)下列四个数中,最大的是 (
A.$6.18× 10^{8}$
B.$6.28× 10^{8}$
C.$6.18× 10^{9}$
D.$6.28× 10^{9}$
D
)A.$6.18× 10^{8}$
B.$6.28× 10^{8}$
C.$6.18× 10^{9}$
D.$6.28× 10^{9}$
答案
15. D
解析
【分析】
要比较科学记数法表示的数的大小，遵循两步规则：第一步先比较10的指数，指数大的数更大；若指数相同，第二步再比较前面的系数，系数大的数更大。我们先观察四个选项的指数，先淘汰指数小的选项，再对比剩余选项的系数即可得出结果。
【解析】
科学记数法的形式为$a×10^n$（$1≤\vert a\vert＜10$，$n$为整数），比较大小方法如下：
1. 比较指数$n$：选项A、B的$n=8$，选项C、D的$n=9$，因为$9＞8$，所以C、D对应的数大于A、B对应的数，排除A、B；
2. 比较系数$a$：剩余选项C的$a=6.18$，选项D的$a=6.28$，因为$6.28＞6.18$，所以$6.28×10^9＞6.18×10^9$。
综上，最大的数是$6.28×10^9$。
【答案】
D
【知识点】
科学记数法；有理数大小比较
【点评】
本题考查科学记数法表示的数的大小比较，牢记比较规则即可快速解题，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
要比较科学记数法表示的数的大小，遵循两步规则：第一步先比较10的指数，指数大的数更大；若指数相同，第二步再比较前面的系数，系数大的数更大。我们先观察四个选项的指数，先淘汰指数小的选项，再对比剩余选项的系数即可得出结果。
【解析】
科学记数法的形式为$a×10^n$（$1≤\vert a\vert＜10$，$n$为整数），比较大小方法如下：
1. 比较指数$n$：选项A、B的$n=8$，选项C、D的$n=9$，因为$9＞8$，所以C、D对应的数大于A、B对应的数，排除A、B；
2. 比较系数$a$：剩余选项C的$a=6.18$，选项D的$a=6.28$，因为$6.28＞6.18$，所以$6.28×10^9＞6.18×10^9$。
综上，最大的数是$6.28×10^9$。
【答案】
D
【知识点】
科学记数法；有理数大小比较
【点评】
本题考查科学记数法表示的数的大小比较，牢记比较规则即可快速解题，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
16. 下列说法正确的是 （
A.5.78万精确到百分位
B.近似数3千和3000的精确度是相同的
C.547500精确到万位可以表示为 $5.4× 10^{5}$
D.用四舍五入法对1908取近似数，精确到千位是 $2× 10^{3}$
D
）A.5.78万精确到百分位
B.近似数3千和3000的精确度是相同的
C.547500精确到万位可以表示为 $5.4× 10^{5}$
D.用四舍五入法对1908取近似数，精确到千位是 $2× 10^{3}$
答案
16. D
解析
【分析】
本题主要考查近似数的精确度判断、科学记数法表示近似数的相关知识。解题思路为：首先明确精确度的判断规则：带计数单位（如万、千）或用科学记数法表示的近似数，需先还原为原数，再看末位数字所在的数位确定精确度；将数精确到某一位时，对该数位的下一位数字进行四舍五入，位数较多时可用科学记数法表示结果。接下来逐一分析每个选项的正误，即可选出正确答案。
【解析】
我们逐个判断选项：
A. 5.78万还原为原数是57800，末位数字8位于百位，因此5.78万精确到百位，而非百分位，故A错误；
B. 近似数3千还原为原数是3000，末位有效数字3位于千位，即精确到千位；近似数3000的末位数字0位于个位，即精确到个位，二者精确度不同，故B错误；
C. 547500精确到万位时，看千位数字是7，根据四舍五入要向万位进1，结果为$5.5×10^5$，而非$5.4×10^5$，故C错误；
D. 对1908取近似数精确到千位时，看百位数字是9，根据四舍五入要向千位进1，得到2000，用科学记数法表示为$2×10^3$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
近似数的精确度；科学记数法；四舍五入法
【点评】
本题属于近似数相关的基础常考题，易错点是判断带计数单位、科学记数法表示的近似数的精确度时，容易直接看数字末位忽略单位或10的幂次，解题时牢记先还原再判断精确度的规则即可有效避免错误。
【难度系数】
0.7
本题主要考查近似数的精确度判断、科学记数法表示近似数的相关知识。解题思路为：首先明确精确度的判断规则：带计数单位（如万、千）或用科学记数法表示的近似数，需先还原为原数，再看末位数字所在的数位确定精确度；将数精确到某一位时，对该数位的下一位数字进行四舍五入，位数较多时可用科学记数法表示结果。接下来逐一分析每个选项的正误，即可选出正确答案。
【解析】
我们逐个判断选项：
A. 5.78万还原为原数是57800，末位数字8位于百位，因此5.78万精确到百位，而非百分位，故A错误；
B. 近似数3千还原为原数是3000，末位有效数字3位于千位，即精确到千位；近似数3000的末位数字0位于个位，即精确到个位，二者精确度不同，故B错误；
C. 547500精确到万位时，看千位数字是7，根据四舍五入要向万位进1，结果为$5.5×10^5$，而非$5.4×10^5$，故C错误；
D. 对1908取近似数精确到千位时，看百位数字是9，根据四舍五入要向千位进1，得到2000，用科学记数法表示为$2×10^3$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
近似数的精确度；科学记数法；四舍五入法
【点评】
本题属于近似数相关的基础常考题，易错点是判断带计数单位、科学记数法表示的近似数的精确度时，容易直接看数字末位忽略单位或10的幂次，解题时牢记先还原再判断精确度的规则即可有效避免错误。
【难度系数】
0.7
17. 近似数 $3.70× 10^{5}$ 精确到
千
位。答案
17. 千
解析
【分析】
要判断用科学记数法表示的近似数精确到哪一位，可按以下思路思考：首先明确我们需要关注近似数中最末位的有效数字，再将科学记数法还原为普通数字，最后找到这个末位有效数字在普通数字中对应的数位，该数位就是精确到的数位。具体步骤：①先确定$3.70×10^5$的末位有效数字是0；②把$3.70×10^5$换算为原数；③定位0在原数中的数位即可得到结果。
【解析】
第一步，将科学记数法表示的数还原为普通数字：
$3.70×10^5 = 3.70×100000 = 370000$
第二步，定位末位有效数字的数位：
近似数$3.70×10^5$的末位有效数字是0，该数字对应370000中的千位，因此这个近似数精确到千位。
【答案】
千
【知识点】
科学记数法，近似数的精确度
【点评】
本题是近似数精确度判断的常考题型，易错点是误将科学记数法中a部分的小数数位直接当作精确数位，解题的关键是要还原原数后定位末位有效数字的实际数位。
【难度系数】
0.7
要判断用科学记数法表示的近似数精确到哪一位，可按以下思路思考：首先明确我们需要关注近似数中最末位的有效数字，再将科学记数法还原为普通数字，最后找到这个末位有效数字在普通数字中对应的数位，该数位就是精确到的数位。具体步骤：①先确定$3.70×10^5$的末位有效数字是0；②把$3.70×10^5$换算为原数；③定位0在原数中的数位即可得到结果。
【解析】
第一步，将科学记数法表示的数还原为普通数字：
$3.70×10^5 = 3.70×100000 = 370000$
第二步，定位末位有效数字的数位：
近似数$3.70×10^5$的末位有效数字是0，该数字对应370000中的千位，因此这个近似数精确到千位。
【答案】
千
【知识点】
科学记数法，近似数的精确度
【点评】
本题是近似数精确度判断的常考题型，易错点是误将科学记数法中a部分的小数数位直接当作精确数位，解题的关键是要还原原数后定位末位有效数字的实际数位。
【难度系数】
0.7
18. 中国设计并制造的“神威·太湖之光”超级计算机的运算性能高达 $1.25×10^{17}$ 次/秒，那么它工作3小时可进行多少次运算？（结果用科学记数法表示）
答案
18. 解:$1.25×10^{17}×60×60×3=13500×10^{17}=1.35×10^{21}$(次).
答:它工作 3 小时可进行 $1.35×10^{21}$ 次运算.
答:它工作 3 小时可进行 $1.35×10^{21}$ 次运算.
解析
【分析】
要计算超级计算机工作3小时的总运算次数，首先明确总运算次数=每秒运算次数×总工作时长。第一步先统一单位，将3小时换算为以秒为单位的量，因为给出的运算性能单位是次/秒；第二步将每秒运算次数与总秒数相乘，计算乘积后按照科学记数法的规范要求（$a×10^n$，其中$1≤a＜10$，$n$为正整数）整理结果即可。
【解析】
解：首先进行时间单位换算，1小时=60分钟=3600秒，因此3小时的总秒数为：
$3×60×60=10800$（秒）
总运算次数=每秒运算次数×总时长，代入数据得：
$1.25×10^{17}×10800$
先计算系数部分：$1.25×10800=13500$
此时结果为$13500×10^{17}$，转化为规范的科学记数法：
$13500=1.35×10^4$，因此$1.35×10^4×10^{17}=1.35×10^{4+17}=1.35×10^{21}$（次）
答：它工作3小时可进行$1.35×10^{21}$次运算。
【答案】
$1.35×10^{21}$次
【知识点】
科学记数法；有理数乘法；时间单位换算
【点评】
本题结合科技热点场景出题，既考查了基础的单位换算能力，也考查了科学记数法的运算及规范表示，解题时需注意最终结果必须符合科学记数法的形式要求，避免出现系数不符合取值范围的错误。
【难度系数】
0.8
要计算超级计算机工作3小时的总运算次数，首先明确总运算次数=每秒运算次数×总工作时长。第一步先统一单位，将3小时换算为以秒为单位的量，因为给出的运算性能单位是次/秒；第二步将每秒运算次数与总秒数相乘，计算乘积后按照科学记数法的规范要求（$a×10^n$，其中$1≤a＜10$，$n$为正整数）整理结果即可。
【解析】
解：首先进行时间单位换算，1小时=60分钟=3600秒，因此3小时的总秒数为：
$3×60×60=10800$（秒）
总运算次数=每秒运算次数×总时长，代入数据得：
$1.25×10^{17}×10800$
先计算系数部分：$1.25×10800=13500$
此时结果为$13500×10^{17}$，转化为规范的科学记数法：
$13500=1.35×10^4$，因此$1.35×10^4×10^{17}=1.35×10^{4+17}=1.35×10^{21}$（次）
答：它工作3小时可进行$1.35×10^{21}$次运算。
【答案】
$1.35×10^{21}$次
【知识点】
科学记数法；有理数乘法；时间单位换算
【点评】
本题结合科技热点场景出题，既考查了基础的单位换算能力，也考查了科学记数法的运算及规范表示，解题时需注意最终结果必须符合科学记数法的形式要求，避免出现系数不符合取值范围的错误。
【难度系数】
0.8
19. 小亮与小明讨论有关近似数的问题：
小亮:如果把 3498 精确到千位,可得到$3× 10^3$.
小明:不,我的想法是先把 3498 近似到 3500,接着再把 3500 用四舍五入法近似到千位,得到$4× 10^3$.
你怎样评价小亮与小明的说法？
小亮:如果把 3498 精确到千位,可得到$3× 10^3$.
小明:不,我的想法是先把 3498 近似到 3500,接着再把 3500 用四舍五入法近似到千位,得到$4× 10^3$.
你怎样评价小亮与小明的说法？
答案
19. 解:小亮的说法正确,小明的说法不正确.
因为用四舍五入法取近似数时,由精确的那个数位起,如果后面一位上的数字大于或等于 5,那么向前进一;如果后面一位上的数字小于 5,那么舍去.
故 3498 精确到千位的近似数只能是 $3× 10^{3}$,而不能是$4×10^{3}$.
因为用四舍五入法取近似数时,由精确的那个数位起,如果后面一位上的数字大于或等于 5,那么向前进一;如果后面一位上的数字小于 5,那么舍去.
故 3498 精确到千位的近似数只能是 $3× 10^{3}$,而不能是$4×10^{3}$.
解析
【分析】
要判断小亮和小明的说法是否正确，首先需明确四舍五入法取近似数的规则：将一个数精确到某一位时，仅需观察该位的下一位数字，若数字≥5则向前进1，若数字＜5则直接舍去该位及后面的所有数，不需要分步进行近似。本题要将3498精确到千位，只需看千位的下一位即百位上的数字，按照规则直接判断即可，不需要先近似到百位再近似千位，据此就能判断两人说法的正误。
【解析】
解：首先给出结论：小亮的说法正确，小明的说法不正确。
1. 明确四舍五入取近似数的规则：用四舍五入法取近似数时，由需要精确的那个数位起，仅看它后一位上的数字，若后一位数字大于或等于5，就向前进一；若后一位数字小于5，就直接舍去该位及后面的所有数。
2. 对3498精确到千位计算：3498的千位数字是3，它的下一位即百位上的数字是4，4＜5，因此直接舍去千位后面的所有数，得到的近似数为$3×10^3$。
3. 分析小明的错误：小明先将3498近似到百位得到3500，再将3500近似到千位，属于分步多次取近似，违背了四舍五入取近似数的规则，因此得到的结果$4×10^3$是错误的。
【答案】
小亮的说法正确，小明的说法不正确，3498精确到千位的近似数只能是$3×10^3$，而不能是$4×10^3$。
【知识点】
1. 近似数的精确度
2. 四舍五入法取近似数
【点评】
本题考查近似数的取值规则，易错点是容易通过多次分步近似得到错误结果，解题的关键是牢记精确到某一位时，仅需判断该位的下一位数字，一步完成四舍五入即可。
【难度系数】
0.7
要判断小亮和小明的说法是否正确，首先需明确四舍五入法取近似数的规则：将一个数精确到某一位时，仅需观察该位的下一位数字，若数字≥5则向前进1，若数字＜5则直接舍去该位及后面的所有数，不需要分步进行近似。本题要将3498精确到千位，只需看千位的下一位即百位上的数字，按照规则直接判断即可，不需要先近似到百位再近似千位，据此就能判断两人说法的正误。
【解析】
解：首先给出结论：小亮的说法正确，小明的说法不正确。
1. 明确四舍五入取近似数的规则：用四舍五入法取近似数时，由需要精确的那个数位起，仅看它后一位上的数字，若后一位数字大于或等于5，就向前进一；若后一位数字小于5，就直接舍去该位及后面的所有数。
2. 对3498精确到千位计算：3498的千位数字是3，它的下一位即百位上的数字是4，4＜5，因此直接舍去千位后面的所有数，得到的近似数为$3×10^3$。
3. 分析小明的错误：小明先将3498近似到百位得到3500，再将3500近似到千位，属于分步多次取近似，违背了四舍五入取近似数的规则，因此得到的结果$4×10^3$是错误的。
【答案】
小亮的说法正确，小明的说法不正确，3498精确到千位的近似数只能是$3×10^3$，而不能是$4×10^3$。
【知识点】
1. 近似数的精确度
2. 四舍五入法取近似数
【点评】
本题考查近似数的取值规则，易错点是容易通过多次分步近似得到错误结果，解题的关键是牢记精确到某一位时，仅需判断该位的下一位数字，一步完成四舍五入即可。
【难度系数】
0.7
20. 已知 $10 × 10^2 = 1000 = 10^3$；
$10^2 × 10^2 = 10000 = 10^4$；
$10^2 × 10^3 = 100000 = 10^5$。
(1) 猜想：$10^6 × 10^4 = \_\_\_\_\_\_$，$10^m × 10^n = \_\_\_\_\_\_$（$m,n$均为正整数）。
(2) 运用上述猜想计算下列式子：
① $(1.5 × 10^4) × (1.2 × 10^5)$；
② $(-6.4 × 10^3) × (2 × 10^6)$。
$10^2 × 10^2 = 10000 = 10^4$；
$10^2 × 10^3 = 100000 = 10^5$。
(1) 猜想：$10^6 × 10^4 = \_\_\_\_\_\_$，$10^m × 10^n = \_\_\_\_\_\_$（$m,n$均为正整数）。
(2) 运用上述猜想计算下列式子：
① $(1.5 × 10^4) × (1.2 × 10^5)$；
② $(-6.4 × 10^3) × (2 × 10^6)$。
答案
20. 解:(1)$10^{10}$ $10^{m+n}$
(2)①$(1.5 × 10^4) × (1.2 × 10^5)=(1.5 × 1.2) × (10^4 × 10^5)=1.8×10^9$.
②$(-6.4×10^3)×(2×10^6)=(-6.4×2)×(10^3×10^6)=-12.8×10^9=-1.28×10^{10}$.
(2)①$(1.5 × 10^4) × (1.2 × 10^5)=(1.5 × 1.2) × (10^4 × 10^5)=1.8×10^9$.
②$(-6.4×10^3)×(2×10^6)=(-6.4×2)×(10^3×10^6)=-12.8×10^9=-1.28×10^{10}$.
解析
【分析】
解题时先观察题干给出的等式，可发现等式左边都是底数为10的两个幂相乘，右边结果的底数仍为10，指数等于左边两个幂的指数之和。先根据这个规律推导同底数幂的乘法规律，完成第(1)问的猜想；第(2)问计算科学记数法表示的数的乘法时，利用乘法交换律和结合律，将系数相乘、10的幂次部分按照猜想的同底数幂乘法法则计算，最后把结果整理为符合规范的科学记数法形式（即a的绝对值满足$1≤|a|＜10$）即可。
【解析】
(1) 观察已知等式的规律：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
因此$10^6 × 10^4 = 10^{6+4}=10^{10}$；
推广到一般情况，$10^m × 10^n =10^{m+n}$（$m,n$均为正整数）。
(2) ① 计算$(1.5 × 10^4) × (1.2 × 10^5)$：
利用乘法交换律、结合律分组计算：
$\begin{aligned}原式&=(1.5×1.2)×(10^4×10^5)\\&=1.8×10^{4+5}\\&=1.8×10^9\end{aligned}$
② 计算$(-6.4 × 10^3) × (2 × 10^6)$：
同理分组计算：
$\begin{aligned}原式&=(-6.4×2)×(10^3×10^6)\\&=-12.8×10^{3+6}\\&=-12.8×10^9\end{aligned}$
将结果整理为规范科学记数法：$-12.8×10^9=-1.28×10×10^9=-1.28×10^{10}$。
【答案】
(1) $10^{10}$；$10^{m+n}$
(2) ① $1.8×10^9$；② $-1.28×10^{10}$
【知识点】
同底数幂的乘法；科学记数法运算；有理数乘法
【点评】
本题考查从已知示例中归纳运算规律的能力，以及运用规律解决科学记数法乘法运算的能力，解题核心是先总结出同底数幂相乘的运算法则，最后要注意科学记数法的结果需满足$1≤|a|＜10$的规范要求。
【难度系数】
0.75
解题时先观察题干给出的等式，可发现等式左边都是底数为10的两个幂相乘，右边结果的底数仍为10，指数等于左边两个幂的指数之和。先根据这个规律推导同底数幂的乘法规律，完成第(1)问的猜想；第(2)问计算科学记数法表示的数的乘法时，利用乘法交换律和结合律，将系数相乘、10的幂次部分按照猜想的同底数幂乘法法则计算，最后把结果整理为符合规范的科学记数法形式（即a的绝对值满足$1≤|a|＜10$）即可。
【解析】
(1) 观察已知等式的规律：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
因此$10^6 × 10^4 = 10^{6+4}=10^{10}$；
推广到一般情况，$10^m × 10^n =10^{m+n}$（$m,n$均为正整数）。
(2) ① 计算$(1.5 × 10^4) × (1.2 × 10^5)$：
利用乘法交换律、结合律分组计算：
$\begin{aligned}原式&=(1.5×1.2)×(10^4×10^5)\\&=1.8×10^{4+5}\\&=1.8×10^9\end{aligned}$
② 计算$(-6.4 × 10^3) × (2 × 10^6)$：
同理分组计算：
$\begin{aligned}原式&=(-6.4×2)×(10^3×10^6)\\&=-12.8×10^{3+6}\\&=-12.8×10^9\end{aligned}$
将结果整理为规范科学记数法：$-12.8×10^9=-1.28×10×10^9=-1.28×10^{10}$。
【答案】
(1) $10^{10}$；$10^{m+n}$
(2) ① $1.8×10^9$；② $-1.28×10^{10}$
【知识点】
同底数幂的乘法；科学记数法运算；有理数乘法
【点评】
本题考查从已知示例中归纳运算规律的能力，以及运用规律解决科学记数法乘法运算的能力，解题核心是先总结出同底数幂相乘的运算法则，最后要注意科学记数法的结果需满足$1≤|a|＜10$的规范要求。
【难度系数】
0.75
