优化问题
求的问题常常被称为优化
问题.

最大(小)值

典例【项目主题】监控器如何布设才最优.
【项目背景】监控器有效监测距离为500 m,最大旋转角度为90°;村落、河流如图1(示意图)所示,河流南岸长5 000 m;监控布设线l距离河流南岸300 m,l上任意两个监控$(M_1,M_2,…)$之间的距离相等.
【项目方案】
(1)方案1:如图1(示意图),从河流南岸边缘点A处起,使$AM_1=500 m,BM_1⊥AB,$即AB为监控器$M_1$的监测范围;以此类推,继续设置监控器,至少需要布设多少个监控器?

(2)方案2:如图2(示意图),AB为监控器$M_1$的监测范围,BC为监控器$M_2$的监测范围$.AM_1⊥BM_1,BM_2⊥CM_2,$此时$BM_1=CM_2=375 m,$至少需要布设多少个监控器?

(3)【项目总结】我认为方案是最优方案.
举一反三【提出问题】有两个相同的长方体纸盒,它们的长、宽、高分别是16 cm,6 cm,2 cm,现要用这两个纸盒搭成一个大长方体,怎样搭可使长方体的表面积最小?
【实践操作】我们发现,无论怎样放置这两个长方体纸盒,搭成的大长方体的体积都不变,但是由于摆放位置的不同,它们的表面积会发生变化,经过操作,发现共有3种不同的摆放方式,如图1、图2、图3所示.


典例解析

1. 解（1）在 $Rt △ ABM_{1}$ 中，$BM_{1}=300\ \mathrm{m},AM_{1}=500\ \mathrm{m},$
$\therefore AB=\sqrt{AM_{1}^{2}-BM_{1}^{2}}=\sqrt{500^{2}-300^{2}}=400(\mathrm{m}).$
$\frac{5000}{400}\approx13(\mathrm{个})$，故至少需要布设13个监控器.
2. 过点 $M_{1}$ 作 $M_{1}N⊥ AB$ 于点 $N$，依题意可知，$M_{1}N=300\ \mathrm{m}.$
在 $Rt △ M_{1}NB$ 中，$BM_{1}=375\ \mathrm{m},$
$\therefore BN=\sqrt{M_{1}B^{2}-M_{1}N^{2}}=225(\mathrm{m}).$
设$AN=x\ \mathrm{m}$，则$AB=AN+BN=(225+x)\ \mathrm{m}$，在$\mathrm{Rt}△ AM_{1}N$中，$AM_{1}^{2}=AN^{2}+M_{1}N^{2}=x^{2}+300^{2}$，在$\mathrm{Rt}△ ABM_{1}$中，$AM_{1}^{2}=AB^{2}-BM_{1}^{2}=(225+x)^{2}-375^{2}$，$\therefore x^{2}+300^{2}=(225+x)^{2}-375^{2}$，解得$x=400$，$\therefore AN=400\ \mathrm{m}$.
在$\mathrm{Rt}△ AM_{1}N$中，$AM_{1}=\sqrt{AN^{2}+NM_{1}^{2}}=500(\mathrm{m}).$
$\because$监控器有效监测距离为$500\ \mathrm{m}$，$\therefore$符合题意，$\therefore AB=AN+NB=400+225=625(\mathrm{m}).$
$\frac{5000}{625}=8$(个)，
故至少需要布设8个监控器.
3. 2