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1. 因式分解的定义
(1)把一个多项式化成几个整式的
(2)因式分解与整式乘法是方向相反的变形，二者之间的关系表示如下：
$ pa + pb + pc \xrightleftharpoons[\mathrm{整式乘法}]{\mathrm{因式分解}} p(a + b + c) $
(1)把一个多项式化成几个整式的
乘积
的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式
.(2)因式分解与整式乘法是方向相反的变形，二者之间的关系表示如下：
$ pa + pb + pc \xrightleftharpoons[\mathrm{整式乘法}]{\mathrm{因式分解}} p(a + b + c) $
答案
(1)乘积 分解因式
解析
【分析】
本题考查因式分解的基础定义，解题时首先回忆教材中因式分解的概念要点：一是因式分解的变形结果特征，二是因式分解的别名。首先明确因式分解是将和差形式的多项式转化为几个整式相乘的形式，和整式乘法的变形方向刚好相反，对应定义即可直接写出空缺内容。
【解析】
根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式，因此两个空缺处依次填入对应内容即可。
【答案】
(1)乘积；分解因式
【知识点】
1. 因式分解的定义
2. 因式分解与整式乘法的关系
【点评】
本题属于基础概念类题目，侧重对核心定义的识记考查，是因式分解模块的入门级考点，熟练掌握本概念是后续学习提公因式法、公式法等因式分解方法的前提。
【难度系数】
0.9
本题考查因式分解的基础定义，解题时首先回忆教材中因式分解的概念要点：一是因式分解的变形结果特征，二是因式分解的别名。首先明确因式分解是将和差形式的多项式转化为几个整式相乘的形式，和整式乘法的变形方向刚好相反，对应定义即可直接写出空缺内容。
【解析】
根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式，因此两个空缺处依次填入对应内容即可。
【答案】
(1)乘积；分解因式
【知识点】
1. 因式分解的定义
2. 因式分解与整式乘法的关系
【点评】
本题属于基础概念类题目，侧重对核心定义的识记考查，是因式分解模块的入门级考点，熟练掌握本概念是后续学习提公因式法、公式法等因式分解方法的前提。
【难度系数】
0.9
2. 公因式的概念
一个多项式的各项都含有的一个
一个多项式的各项都含有的一个
公共
的因式，我们把这个因式叫作这个多项式各项的公因式。答案
公共
解析
【分析】
本题考查公因式的基础定义，属于概念识记类题目，解题时只需回忆教材中公因式的概念表述，找到对应空缺的关键词即可。公因式的核心特征是多项式中每一项都共同拥有的因式，因此空缺处对应描述“共同拥有”含义的词汇即可。
【解析】
根据公因式的定义：一个多项式的各项都含有的一个公共的因式，我们把这个因式叫作这个多项式各项的公因式。因此空缺处应填“公共”。
【答案】
公共
【知识点】
公因式的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，难度较低，重点考察对基础数学定义的记忆掌握情况，熟记相关概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查公因式的基础定义，属于概念识记类题目，解题时只需回忆教材中公因式的概念表述，找到对应空缺的关键词即可。公因式的核心特征是多项式中每一项都共同拥有的因式，因此空缺处对应描述“共同拥有”含义的词汇即可。
【解析】
根据公因式的定义：一个多项式的各项都含有的一个公共的因式，我们把这个因式叫作这个多项式各项的公因式。因此空缺处应填“公共”。
【答案】
公共
【知识点】
公因式的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，难度较低，重点考察对基础数学定义的记忆掌握情况，熟记相关概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
3. 提公因式法
一般地,如果多项式的各项有
,可以把这个提取出来,将
多项式写成与另一个因式的乘积的形
式,这种分解因式的方法叫作提公因式法.
一般地,如果多项式的各项有
,可以把这个提取出来,将
多项式写成与另一个因式的乘积的形
式,这种分解因式的方法叫作提公因式法.
答案
公因式 公因式 公因式
解析
【分析】
本题考查提公因式法的基本定义，解题时只需回忆教材中提公因式法的概念内容即可作答。提公因式法是因式分解的基础方法，核心逻辑是先判断多项式各项是否存在公共的因式（即公因式），若存在则将该公因式提取出来，把原多项式变形为两个因式相乘的形式，对应定义内容直接填空即可。
【解析】
根据教材中提公因式法的定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法。因此对应空缺处依次填入公因式、公因式、公因式。
【答案】
公因式；公因式；公因式
【知识点】
提公因式法的定义
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，主要考查对因式分解中基础方法定义的掌握情况，熟练记忆教材核心概念即可快速得分，是因式分解模块的基础考点。
【难度系数】
0.9
本题考查提公因式法的基本定义，解题时只需回忆教材中提公因式法的概念内容即可作答。提公因式法是因式分解的基础方法，核心逻辑是先判断多项式各项是否存在公共的因式（即公因式），若存在则将该公因式提取出来，把原多项式变形为两个因式相乘的形式，对应定义内容直接填空即可。
【解析】
根据教材中提公因式法的定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法。因此对应空缺处依次填入公因式、公因式、公因式。
【答案】
公因式；公因式；公因式
【知识点】
提公因式法的定义
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，主要考查对因式分解中基础方法定义的掌握情况，熟练记忆教材核心概念即可快速得分，是因式分解模块的基础考点。
【难度系数】
0.9
典例1 下列由左边到右边的式子变形是因式分解的是(
A. $ax+bx+c=(a+b)x+c$
B. $(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$
C. $(a+b)^2=a^2 + 2ab + b^2$
D. $a^2 -5a -6=(a-6)(a+1)$
总结归纳 因式分解的结果必须满足：
(1)是几个整式的乘积；
(2)变形前后式子左右两边的值相等；
(3)分解到不能再分解为止.
D
).A. $ax+bx+c=(a+b)x+c$
B. $(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$
C. $(a+b)^2=a^2 + 2ab + b^2$
D. $a^2 -5a -6=(a-6)(a+1)$
总结归纳 因式分解的结果必须满足：
(1)是几个整式的乘积；
(2)变形前后式子左右两边的值相等；
(3)分解到不能再分解为止.
答案
答案D
解析A项,等号右边不是整式乘积的形式,故不是因式分解;
B项,是整式的乘法;
C项,是整式的乘法;
D项,把一个多项式转化成几个整式的乘积的形式,符合题意.
故选D.
解析A项,等号右边不是整式乘积的形式,故不是因式分解;
B项,是整式的乘法;
C项,是整式的乘法;
D项,把一个多项式转化成几个整式的乘积的形式,符合题意.
故选D.
解析
【分析】
要判断式子变形是否为因式分解，首先需明确因式分解的核心判定规则：①变形对象是多项式；②变形结果是几个整式的乘积形式；③变形前后等式两边的值相等，且因式分解与整式乘法是互逆的变形过程。解题时逐一对照规则排查每个选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：等号右边是$(a+b)x + c$，是和的形式，不是几个整式的乘积，不符合因式分解的要求，错误；
B选项：变形是从两个整式的乘积得到多项式，属于整式的乘法运算，是因式分解的逆过程，不是因式分解，错误；
C选项：变形是从两个整式的乘积得到多项式，属于整式的乘法运算（完全平方公式的正向应用），不是因式分解，错误；
D选项：将多项式$a^2 -5a -6$转化为两个整式$(a-6)$和$(a+1)$的乘积形式，符合因式分解的所有要求，正确。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义；整式乘法运算
【点评】
本题是因式分解的基础判定类题目，解题关键是区分因式分解与整式乘法的互逆关系，牢记因式分解的结果必须为几个整式的乘积形式，避免混淆变形方向或误将含加项的结果判定为因式分解。
【难度系数】
0.8
要判断式子变形是否为因式分解，首先需明确因式分解的核心判定规则：①变形对象是多项式；②变形结果是几个整式的乘积形式；③变形前后等式两边的值相等，且因式分解与整式乘法是互逆的变形过程。解题时逐一对照规则排查每个选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：等号右边是$(a+b)x + c$，是和的形式，不是几个整式的乘积，不符合因式分解的要求，错误；
B选项：变形是从两个整式的乘积得到多项式，属于整式的乘法运算，是因式分解的逆过程，不是因式分解，错误；
C选项：变形是从两个整式的乘积得到多项式，属于整式的乘法运算（完全平方公式的正向应用），不是因式分解，错误；
D选项：将多项式$a^2 -5a -6$转化为两个整式$(a-6)$和$(a+1)$的乘积形式，符合因式分解的所有要求，正确。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义；整式乘法运算
【点评】
本题是因式分解的基础判定类题目，解题关键是区分因式分解与整式乘法的互逆关系，牢记因式分解的结果必须为几个整式的乘积形式，避免混淆变形方向或误将含加项的结果判定为因式分解。
【难度系数】
0.8
举一反三 下列由左边到右边的式子变形中,属于因式分解的是(
A.$a(m+n)=am+an$
B.$a^2 - b^2 - c^2=(a+b)(a-b)-c^2$
C.$10x^2 -5x=5x(2x-1)$
D.$x^2 -16 +6x=(x+4)(x-4)+6x$
C
).A.$a(m+n)=am+an$
B.$a^2 - b^2 - c^2=(a+b)(a-b)-c^2$
C.$10x^2 -5x=5x(2x-1)$
D.$x^2 -16 +6x=(x+4)(x-4)+6x$
答案
C
解析
【分析】
本题考查因式分解的判断，解题核心是牢记因式分解的定义：将一个多项式转化为几个整式乘积的形式。思考步骤如下：第一步先明确因式分解的两个判断要点：一是变形前为多项式，二是变形后必须是几个整式的乘积，最终结果不能保留整体的加减运算；第二步逐一比对四个选项是否符合上述两个要点，即可选出正确答案。
【解析】
首先明确因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。我们逐一分析选项：
选项A：左边是整式乘积的形式，右边是多项式相加的形式，属于整式的乘法运算，是因式分解的逆过程，不属于因式分解，故A错误；
选项B：等号右边是两个整式的乘积减去$c^2$，最终结果是差的形式，不是几个整式乘积的形式，不符合因式分解的要求，故B错误；
选项C：等号左边是多项式$10x^2-5x$，等号右边是$5x$和$(2x-1)$两个整式的乘积，完全符合因式分解的定义，故C正确；
选项D：等号右边是两个整式的乘积加上$6x$，最终结果是和的形式，不是几个整式乘积的形式，不符合因式分解的要求，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
因式分解的定义、整式乘法与因式分解的区别
【点评】
本题属于基础概念考察题，解题的关键是抓住因式分解“最终结果为几个整式乘积”这一核心特征，注意区分因式分解与整式乘法，排除变形后仍带有整体加减项的错误选项，熟练掌握定义即可快速作答。
【难度系数】
0.8
本题考查因式分解的判断，解题核心是牢记因式分解的定义：将一个多项式转化为几个整式乘积的形式。思考步骤如下：第一步先明确因式分解的两个判断要点：一是变形前为多项式，二是变形后必须是几个整式的乘积，最终结果不能保留整体的加减运算；第二步逐一比对四个选项是否符合上述两个要点，即可选出正确答案。
【解析】
首先明确因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。我们逐一分析选项：
选项A：左边是整式乘积的形式，右边是多项式相加的形式，属于整式的乘法运算，是因式分解的逆过程，不属于因式分解，故A错误；
选项B：等号右边是两个整式的乘积减去$c^2$，最终结果是差的形式，不是几个整式乘积的形式，不符合因式分解的要求，故B错误；
选项C：等号左边是多项式$10x^2-5x$，等号右边是$5x$和$(2x-1)$两个整式的乘积，完全符合因式分解的定义，故C正确；
选项D：等号右边是两个整式的乘积加上$6x$，最终结果是和的形式，不是几个整式乘积的形式，不符合因式分解的要求，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
因式分解的定义、整式乘法与因式分解的区别
【点评】
本题属于基础概念考察题，解题的关键是抓住因式分解“最终结果为几个整式乘积”这一核心特征，注意区分因式分解与整式乘法，排除变形后仍带有整体加减项的错误选项，熟练掌握定义即可快速作答。
【难度系数】
0.8
典例2 把多项式$x^3+mx$分解因式得$x(x+n)(x-\frac{1}{2})$，则$m$，$n$的值可能是（
A.$m=\frac{1}{8},n=\frac{1}{4}$
B.$m=-\frac{1}{4},n=\frac{1}{2}$
C.$m=\frac{1}{8},n=-\frac{1}{4}$
D.$m=-\frac{1}{4},n=-\frac{1}{2}$
总结归纳 整式乘法是把“积”化成“和差”的形式，因式分解是把“和差”化成“积”的形式，这两者互为逆变形。
B
）。A.$m=\frac{1}{8},n=\frac{1}{4}$
B.$m=-\frac{1}{4},n=\frac{1}{2}$
C.$m=\frac{1}{8},n=-\frac{1}{4}$
D.$m=-\frac{1}{4},n=-\frac{1}{2}$
总结归纳 整式乘法是把“积”化成“和差”的形式，因式分解是把“和差”化成“积”的形式，这两者互为逆变形。
答案
答案B
解析 由题意知,$x^3 + mx = x(x + n) · (x - \frac{1}{2})$,即$x^3 + mx = x^3 + (n - \frac{1}{2})x^2 - \frac{1}{2}nx$,
$\therefore n - \frac{1}{2} = 0, -\frac{1}{2}n = m,$
$\therefore n = \frac{1}{2}, m = -\frac{1}{4}.$ 故选B.
解析 由题意知,$x^3 + mx = x(x + n) · (x - \frac{1}{2})$,即$x^3 + mx = x^3 + (n - \frac{1}{2})x^2 - \frac{1}{2}nx$,
$\therefore n - \frac{1}{2} = 0, -\frac{1}{2}n = m,$
$\therefore n = \frac{1}{2}, m = -\frac{1}{4}.$ 故选B.
解析
【分析】
本题可利用因式分解与整式乘法互为逆变形的关系求解。首先将等式右边的整式乘积展开，整理为和左边多项式同形式的三次多项式，再根据两个多项式相等时对应次数的项的系数相等，列出关于m、n的方程，解方程即可求出m、n的值。
【解析】
由题意可得：$x^3 + mx = x(x + n)(x - \frac{1}{2})$
先将等式右边展开计算：
$x(x + n)(x - \frac{1}{2}) = x[x^2 + (n - \frac{1}{2})x - \frac{1}{2}n] = x^3 + (n - \frac{1}{2})x^2 - \frac{1}{2}nx$
等式左右两边的多项式相等，因此对应项系数相等：
左边$x^2$项的系数为0，可得：$n - \frac{1}{2} = 0$，解得$n = \frac{1}{2}$
左边$x$项的系数为$m$，可得：$-\frac{1}{2}n = m$，将$n = \frac{1}{2}$代入得$m = -\frac{1}{2} × \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$
因此$m=-\frac{1}{4},n=\frac{1}{2}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 因式分解与整式乘法的互逆性
2. 多项式相等的条件
3. 整式乘法运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查因式分解和整式乘法的逆运算关系，解题的关键是掌握多项式相等时对应项系数相等的性质，熟练进行整式乘法运算即可快速求解。
【难度系数】
0.7
本题可利用因式分解与整式乘法互为逆变形的关系求解。首先将等式右边的整式乘积展开，整理为和左边多项式同形式的三次多项式，再根据两个多项式相等时对应次数的项的系数相等，列出关于m、n的方程，解方程即可求出m、n的值。
【解析】
由题意可得：$x^3 + mx = x(x + n)(x - \frac{1}{2})$
先将等式右边展开计算：
$x(x + n)(x - \frac{1}{2}) = x[x^2 + (n - \frac{1}{2})x - \frac{1}{2}n] = x^3 + (n - \frac{1}{2})x^2 - \frac{1}{2}nx$
等式左右两边的多项式相等，因此对应项系数相等：
左边$x^2$项的系数为0，可得：$n - \frac{1}{2} = 0$，解得$n = \frac{1}{2}$
左边$x$项的系数为$m$，可得：$-\frac{1}{2}n = m$，将$n = \frac{1}{2}$代入得$m = -\frac{1}{2} × \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$
因此$m=-\frac{1}{4},n=\frac{1}{2}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 因式分解与整式乘法的互逆性
2. 多项式相等的条件
3. 整式乘法运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查因式分解和整式乘法的逆运算关系，解题的关键是掌握多项式相等时对应项系数相等的性质，熟练进行整式乘法运算即可快速求解。
【难度系数】
0.7
