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12.某学校组织七、八年级全体师生开展研学活动.七年级租用45座大巴车$x$辆,55座大巴车$y$辆;八年级租用30座中巴车$y$辆,55座大巴车$x$辆.若每辆车恰好坐满学生.
(1)七、八年级各有多少名师生?
(2)七、八年级共有多少名师生?
(3)当$x=4,y=6$时,该学校七、八年级共有多少名师生?
(1)七、八年级各有多少名师生?
(2)七、八年级共有多少名师生?
(3)当$x=4,y=6$时,该学校七、八年级共有多少名师生?
答案
12. 解:(1)根据题意,得七年级有$(45x+55y)$名师生,八年级有$(55x+30y)$名师生.
(2)根据题意,得$45x+55y+55x+30y=(100x+85y)$名.
答:七、八年级共有$(100x+85y)$名师生.
(3)当$x=4,y=6$时，
$100x+85y=100×4+85×6=910$(名).
答:当$x=4,y=6$时,该学校七、八年级共有910名师生.
(2)根据题意,得$45x+55y+55x+30y=(100x+85y)$名.
答:七、八年级共有$(100x+85y)$名师生.
(3)当$x=4,y=6$时，
$100x+85y=100×4+85×6=910$(名).
答:当$x=4,y=6$时,该学校七、八年级共有910名师生.
解析
【分析】
解题思路如下：
(1) 计算各年级师生人数时，依据“总人数=各车型座位数×对应租用车辆数之和”的数量关系，分别把七年级、八年级不同车型的载客量相加即可得到对应年级的总人数；
(2) 计算两个年级的总人数，只需将七年级和八年级的人数代数式相加，再合并同类项完成化简即可；
(3) 求指定x、y取值下的总人数，直接将x=4、y=6代入第(2)问得到的化简后代数式，按四则运算顺序计算出结果即可。
【解析】
(1) 七年级租用45座大巴车x辆，可载客45x人，租用55座大巴车y辆，可载客55y人，每辆车恰好坐满，因此七年级师生人数为：$45x + 55y$（名）；
八年级租用30座中巴车y辆，可载客30y人，租用55座大巴车x辆，可载客55x人，每辆车恰好坐满，因此八年级师生人数为：$55x + 30y$（名）。
(2) 七、八年级总人数为两个年级人数之和，列式得：
$45x + 55y + 55x + 30y$
合并同类项化简：$(45x+55x)+(55y+30y)=100x + 85y$（名）。
(3) 将$x=4$，$y=6$代入代数式$100x + 85y$中计算：
$100×4 + 85×6 = 400 + 510 = 910$（名）。
【答案】
(1) 七年级有$(45x+55y)$名师生，八年级有$(55x+30y)$名师生；
(2) 七、八年级共有$(100x+85y)$名师生；
(3) 当$x=4,y=6$时，该学校七、八年级共有910名师生。
【知识点】
列代数式；整式的加减；代数式求值
【点评】
本题结合实际研学租车场景命题，侧重考查基础运算与数量关系梳理能力，解题关键是明确人数、车型座位数、租车数量三者的关系，计算时遵循同类项合并规则和代入求值的运算顺序即可。
【难度系数】
0.85
解题思路如下：
(1) 计算各年级师生人数时，依据“总人数=各车型座位数×对应租用车辆数之和”的数量关系，分别把七年级、八年级不同车型的载客量相加即可得到对应年级的总人数；
(2) 计算两个年级的总人数，只需将七年级和八年级的人数代数式相加，再合并同类项完成化简即可；
(3) 求指定x、y取值下的总人数，直接将x=4、y=6代入第(2)问得到的化简后代数式，按四则运算顺序计算出结果即可。
【解析】
(1) 七年级租用45座大巴车x辆，可载客45x人，租用55座大巴车y辆，可载客55y人，每辆车恰好坐满，因此七年级师生人数为：$45x + 55y$（名）；
八年级租用30座中巴车y辆，可载客30y人，租用55座大巴车x辆，可载客55x人，每辆车恰好坐满，因此八年级师生人数为：$55x + 30y$（名）。
(2) 七、八年级总人数为两个年级人数之和，列式得：
$45x + 55y + 55x + 30y$
合并同类项化简：$(45x+55x)+(55y+30y)=100x + 85y$（名）。
(3) 将$x=4$，$y=6$代入代数式$100x + 85y$中计算：
$100×4 + 85×6 = 400 + 510 = 910$（名）。
【答案】
(1) 七年级有$(45x+55y)$名师生，八年级有$(55x+30y)$名师生；
(2) 七、八年级共有$(100x+85y)$名师生；
(3) 当$x=4,y=6$时，该学校七、八年级共有910名师生。
【知识点】
列代数式；整式的加减；代数式求值
【点评】
本题结合实际研学租车场景命题，侧重考查基础运算与数量关系梳理能力，解题关键是明确人数、车型座位数、租车数量三者的关系，计算时遵循同类项合并规则和代入求值的运算顺序即可。
【难度系数】
0.85
13.如果M和N都是三次多项式，那么M+N一定是(
A.三次多项式
B.六次多项式
C.次数不低于3的多项式或单项式
D.次数不高于3的多项式或单项式
D
).A.三次多项式
B.六次多项式
C.次数不低于3的多项式或单项式
D.次数不高于3的多项式或单项式
答案
13. D
解析
【分析】
解题时首先回忆整式加减的核心规则：整式加减的本质是合并同类项，合并同类项时只会把同类项的系数相加减，字母和字母的次数都不变，因此两个多项式相加后，结果的最高次数不会高于原来两个多项式的最高次数。接下来结合本题条件分析：M、N都是三次多项式，需要分两种情况讨论：①两个三次多项式的三次项系数相加不为0，此时结果最高次数仍为3；②两个三次多项式的三次项系数互为相反数，相加后三次项抵消，此时结果的最高次数低于3，甚至可能得到单项式。最后逐一排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
根据整式加减的运算法则：合并同类项时，只把系数相加减，字母和字母的指数不变，因此多项式相加后，结果的最高次数不会超过原多项式的最高次数。
已知M、N均为三次多项式：
1. 若两个多项式的三次项系数之和不为0，则合并后最高次项仍为三次，结果为次数等于3的多项式或单项式；
2. 若两个多项式的三次项系数互为相反数，相加后三次项抵消，则合并后最高次数小于3，结果为次数低于3的多项式或单项式。
综上，M+N的次数一定不高于3，可能是多项式也可能是单项式。
对选项逐一判断：
A. 若三次项抵消，结果次数低于3，故A错误；
B. 多项式相加不会升高次数，不可能得到六次多项式，故B错误；
C. “次数不低于3”指次数≥3，实际结果最高仅为3，还可能更低，故C错误；
D. 符合上述分析，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
整式的加减，多项式的次数，合并同类项
【点评】
本题重点考查整式加减运算中次数的变化规律，易错点是容易忽略三次项系数互为相反数时最高次项会抵消的情况，从而误选A选项，解题时要全面考虑所有可能的情况，避免思维片面。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆整式加减的核心规则：整式加减的本质是合并同类项，合并同类项时只会把同类项的系数相加减，字母和字母的次数都不变，因此两个多项式相加后，结果的最高次数不会高于原来两个多项式的最高次数。接下来结合本题条件分析：M、N都是三次多项式，需要分两种情况讨论：①两个三次多项式的三次项系数相加不为0，此时结果最高次数仍为3；②两个三次多项式的三次项系数互为相反数，相加后三次项抵消，此时结果的最高次数低于3，甚至可能得到单项式。最后逐一排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
根据整式加减的运算法则：合并同类项时，只把系数相加减，字母和字母的指数不变，因此多项式相加后，结果的最高次数不会超过原多项式的最高次数。
已知M、N均为三次多项式：
1. 若两个多项式的三次项系数之和不为0，则合并后最高次项仍为三次，结果为次数等于3的多项式或单项式；
2. 若两个多项式的三次项系数互为相反数，相加后三次项抵消，则合并后最高次数小于3，结果为次数低于3的多项式或单项式。
综上，M+N的次数一定不高于3，可能是多项式也可能是单项式。
对选项逐一判断：
A. 若三次项抵消，结果次数低于3，故A错误；
B. 多项式相加不会升高次数，不可能得到六次多项式，故B错误；
C. “次数不低于3”指次数≥3，实际结果最高仅为3，还可能更低，故C错误；
D. 符合上述分析，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
整式的加减，多项式的次数，合并同类项
【点评】
本题重点考查整式加减运算中次数的变化规律，易错点是容易忽略三次项系数互为相反数时最高次项会抵消的情况，从而误选A选项，解题时要全面考虑所有可能的情况，避免思维片面。
【难度系数】
0.7
14.“整体思想”在多项式的化简与求值中应用极为广泛.例如,我们把$a+b$看成一个整体,则$5(a+b)-3(a+b)+(a+b)=(5-3+1)(a+b)=3(a+b)$.
利用整体思想解决下列问题.
(1)化简:$(a-b)^2 -6(a-b)^2 +7(a-b)^2$.
(2)若$a-b+2=0$,求(1)中式子的值.
利用整体思想解决下列问题.
(1)化简:$(a-b)^2 -6(a-b)^2 +7(a-b)^2$.
(2)若$a-b+2=0$,求(1)中式子的值.
答案
14. 解:(1)$(a-b)^2 -6(a-b)^2 +7(a-b)^2$
$=(1-6+7)(a-b)^2$
$=2(a-b)^2$.
(2)由题意,知$a-b=-2$,
所以原式$=2×(-2)^2=8$.
$=(1-6+7)(a-b)^2$
$=2(a-b)^2$.
(2)由题意,知$a-b=-2$,
所以原式$=2×(-2)^2=8$.
解析
【分析】
(1) 观察待化简的式子，三个项都含有公共的整体部分$(a-b)^2$，可以把$(a-b)^2$当作同类项里的字母部分，按照合并同类项的规则，只把各项的系数相加减，整体部分保持不变，就能完成化简。
(2) 先对已知条件$a-b+2=0$移项，得到$a-b$的值，不需要单独求出$a$、$b$的具体数值，直接把$a-b$的值整体代入第(1)问的化简结果计算，就能得到最终数值。
【解析】
(1) 将$(a-b)^2$看作整体合并同类项：
$\begin{aligned}&(a-b)^2 -6(a-b)^2 +7(a-b)^2\\=&(1-6+7)(a-b)^2\\=&2(a-b)^2\end{aligned}$
(2) 由$a-b+2=0$，移项可得$a-b=-2$，将$a-b=-2$代入$2(a-b)^2$计算：
$\begin{aligned}原式&=2×(-2)^2\\&=2×4\\&=8\end{aligned}$
【答案】
(1) $2(a-b)^2$；(2) $8$
【知识点】
合并同类项，整体代入，代数式求值
【点评】
本题主要考查整体思想在整式运算中的应用，无需计算单个字母的取值，通过将相同结构的部分视为整体处理，可简化运算步骤，是整式加减板块的基础常考题型。
【难度系数】
0.85
(1) 观察待化简的式子，三个项都含有公共的整体部分$(a-b)^2$，可以把$(a-b)^2$当作同类项里的字母部分，按照合并同类项的规则，只把各项的系数相加减，整体部分保持不变，就能完成化简。
(2) 先对已知条件$a-b+2=0$移项，得到$a-b$的值，不需要单独求出$a$、$b$的具体数值，直接把$a-b$的值整体代入第(1)问的化简结果计算，就能得到最终数值。
【解析】
(1) 将$(a-b)^2$看作整体合并同类项：
$\begin{aligned}&(a-b)^2 -6(a-b)^2 +7(a-b)^2\\=&(1-6+7)(a-b)^2\\=&2(a-b)^2\end{aligned}$
(2) 由$a-b+2=0$，移项可得$a-b=-2$，将$a-b=-2$代入$2(a-b)^2$计算：
$\begin{aligned}原式&=2×(-2)^2\\&=2×4\\&=8\end{aligned}$
【答案】
(1) $2(a-b)^2$；(2) $8$
【知识点】
合并同类项，整体代入，代数式求值
【点评】
本题主要考查整体思想在整式运算中的应用，无需计算单个字母的取值，通过将相同结构的部分视为整体处理，可简化运算步骤，是整式加减板块的基础常考题型。
【难度系数】
0.85
