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7. 如图3-1-79的各网格中,每个小正方形的边长都是1,△ABC的顶点都在格点上.
(1) 在左网格图中画出与△ABC关于点O对称的△A'B'C'.
(2) 在右网格图中画出格点△ADE,使△ADE ∽△ABC,相似比为3:1,点D在AB的延长线上.
(3) 判断以上各图中的两个三角形是不是位似图形,若是,请指出位似中心.
(1) 在左网格图中画出与△ABC关于点O对称的△A'B'C'.
(2) 在右网格图中画出格点△ADE,使△ADE ∽△ABC,相似比为3:1,点D在AB的延长线上.
(3) 判断以上各图中的两个三角形是不是位似图形,若是,请指出位似中心.
答案
(1) 图略.
(2) 图略.
(3) 各图中的两个三角形都是位似三角形,其中（1）中的位似中心是点O,（2）中的位似中心是点A.
(2) 图略.
(3) 各图中的两个三角形都是位似三角形,其中（1）中的位似中心是点O,（2）中的位似中心是点A.
解析
【分析】
(1) 作关于点O的中心对称图形，依据中心对称的性质：对称点的连线经过对称中心，且到对称中心的距离相等，只需先找到△ABC三个顶点关于O的对称点，再顺次连接即可。
(2) 作相似比为3:1的△ADE，首先计算△ABC的三边长，再按比例放大得到△ADE的三边长，结合点D在AB延长线上的要求，确定D、E的格点位置后连接即可。
(3) 判定位似图形根据位似的定义：首先两个图形相似，其次对应顶点连线交于同一点，对应边平行或共线，满足这两个条件就是位似图形，交点就是位似中心，按这个标准判断两个题的图形即可。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 分别连接AO、BO、CO，并分别延长至A'、B'、C'，使得OA'=OA，OB'=OB，OC'=OC；
② 顺次连接A'B'、B'C'、C'A'，得到的△A'B'C'即为所求图形。
(2) 作图步骤：
① 计算△ABC的各边长：AB=1，BC=√(1²+1²)=√2，AC=√(2²+1²)=√5；
② 由相似比3:1得△ADE的三边长：AD=3AB=3，DE=3BC=3√2，AE=3AC=3√5；
③ 延长AB到D，使AD=3（沿AB方向再延长2个单位长度）；
④ 找到符合条件的格点E，连接DE、AE，得到的△ADE即为所求图形。
(3) 位似判定：
① 第(1)问中，△ABC和△A'B'C'关于O中心对称，两三角形相似，且对应顶点的连线都经过点O，对应边互相平行，符合位似图形的定义，是位似图形，位似中心为点O；
② 第(2)问中，△ADE∽△ABC，对应顶点的连线都经过点A，对应边AB与AD共线、BC与DE平行、AC与AE共线，符合位似图形的定义，是位似图形，位似中心为点A。
【答案】
(1) 图略。
(2) 图略。
(3) 各图中的两个三角形都是位似三角形，其中（1）中的位似中心是点O,（2）中的位似中心是点A。
【知识点】
中心对称作图，相似三角形作图，位似图形判定
【点评】
本题综合考查了对称作图、相似作图及位似图形的判定，属于基础作图类题目，解题的关键是熟练掌握相关几何概念和作图规则，作图时要注意符合格点、位置限定等要求。
【难度系数】
0.7
(1) 作关于点O的中心对称图形，依据中心对称的性质：对称点的连线经过对称中心，且到对称中心的距离相等，只需先找到△ABC三个顶点关于O的对称点，再顺次连接即可。
(2) 作相似比为3:1的△ADE，首先计算△ABC的三边长，再按比例放大得到△ADE的三边长，结合点D在AB延长线上的要求，确定D、E的格点位置后连接即可。
(3) 判定位似图形根据位似的定义：首先两个图形相似，其次对应顶点连线交于同一点，对应边平行或共线，满足这两个条件就是位似图形，交点就是位似中心，按这个标准判断两个题的图形即可。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 分别连接AO、BO、CO，并分别延长至A'、B'、C'，使得OA'=OA，OB'=OB，OC'=OC；
② 顺次连接A'B'、B'C'、C'A'，得到的△A'B'C'即为所求图形。
(2) 作图步骤：
① 计算△ABC的各边长：AB=1，BC=√(1²+1²)=√2，AC=√(2²+1²)=√5；
② 由相似比3:1得△ADE的三边长：AD=3AB=3，DE=3BC=3√2，AE=3AC=3√5；
③ 延长AB到D，使AD=3（沿AB方向再延长2个单位长度）；
④ 找到符合条件的格点E，连接DE、AE，得到的△ADE即为所求图形。
(3) 位似判定：
① 第(1)问中，△ABC和△A'B'C'关于O中心对称，两三角形相似，且对应顶点的连线都经过点O，对应边互相平行，符合位似图形的定义，是位似图形，位似中心为点O；
② 第(2)问中，△ADE∽△ABC，对应顶点的连线都经过点A，对应边AB与AD共线、BC与DE平行、AC与AE共线，符合位似图形的定义，是位似图形，位似中心为点A。
【答案】
(1) 图略。
(2) 图略。
(3) 各图中的两个三角形都是位似三角形，其中（1）中的位似中心是点O,（2）中的位似中心是点A。
【知识点】
中心对称作图，相似三角形作图，位似图形判定
【点评】
本题综合考查了对称作图、相似作图及位似图形的判定，属于基础作图类题目，解题的关键是熟练掌握相关几何概念和作图规则，作图时要注意符合格点、位置限定等要求。
【难度系数】
0.7
8. 如图3-1-80，在方格图中，$△ ABC$的三个顶点以及$D,E,F,G,H$五个点都是格点.
（1）在左图点$D,E,F,G,H$中选三个点画一个三角形，使其与$△ ABC$的面积比为$1:4$，但不相似.
（2）用位似法将右图中的$△ ABC$缩小，使缩小后的三角形顶点落在点$D,E,F,G,H$中.
图3-1-80
（1）在左图点$D,E,F,G,H$中选三个点画一个三角形，使其与$△ ABC$的面积比为$1:4$，但不相似.
（2）用位似法将右图中的$△ ABC$缩小，使缩小后的三角形顶点落在点$D,E,F,G,H$中.
图3-1-80
答案
8. (1) 如△DEG，△EGH.
(2) 如右图所示.
(2) 如右图所示.
解析
【分析】
（1）先计算△ABC的面积，根据面积比1:4算出目标三角形的面积；再从D、E、F、G、H五个点中选取三个点，先验证所选三点构成的三角形面积符合要求，再判断该三角形与△ABC不相似（即三边对应比不相等，形状不同）即可。
（2）位似作图首先确定位似比，本题要缩小△ABC，结合格点位置选择位似比为1:2；再确定合适的位似中心，分别过△ABC的三个顶点作过位似中心的射线，在射线上取对应点，使对应点到位似中心的距离之比等于位似比，且对应顶点落在D、E、F、G、H中，顺次连接对应点即可。
【解析】
（1）设每个小方格的边长为1，△ABC为直角三角形，直角边$BC=2$，$AC=4$，因此$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × 2 × 4=4$。要求所作三角形与△ABC面积比为1:4，因此所作三角形面积为$4 × \frac{1}{4}=1$。
例如选取E、G、H三点：△EGH中，底$GH=1$，GH边上的高为2，因此$S_{△ EGH}=\frac{1}{2} × 1 × 2=1$，满足面积要求；△ABC的三边比为$2:4:2\sqrt{5}=1:2:\sqrt{5}$，△EGH的三边长度分别为1、$2\sqrt{2}$、$\sqrt{13}$，三边比与△ABC不相等，因此不相似，符合要求。同理△DEG也符合要求，答案不唯一。
（2）选取位似比为$\frac{1}{2}$，选择合适的位似中心，分别作出A、B、C三点的对应点，使对应点连线均过位似中心，且对应点到位似中心的距离比为$\frac{1}{2}$，保证对应顶点落在D、E、F、G、H中，顺次连接对应点即得到缩小后的位似图形，符合要求即可。
【答案】
(1) 如△DEG，△EGH（答案不唯一）；
(2) 按位似作图要求作出图形即可。
【知识点】
三角形面积计算；相似三角形判定；位似图形作图
【点评】
本题结合网格考查图形相关的计算与作图，解题时要注意题目的限定条件：第一问需同时满足面积比要求和不相似的要求，不要遗漏不相似的判定；第二问位似作图要保证对应顶点落在指定格点上，熟悉位似的性质是解题关键。
【难度系数】
0.7
（1）先计算△ABC的面积，根据面积比1:4算出目标三角形的面积；再从D、E、F、G、H五个点中选取三个点，先验证所选三点构成的三角形面积符合要求，再判断该三角形与△ABC不相似（即三边对应比不相等，形状不同）即可。
（2）位似作图首先确定位似比，本题要缩小△ABC，结合格点位置选择位似比为1:2；再确定合适的位似中心，分别过△ABC的三个顶点作过位似中心的射线，在射线上取对应点，使对应点到位似中心的距离之比等于位似比，且对应顶点落在D、E、F、G、H中，顺次连接对应点即可。
【解析】
（1）设每个小方格的边长为1，△ABC为直角三角形，直角边$BC=2$，$AC=4$，因此$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × 2 × 4=4$。要求所作三角形与△ABC面积比为1:4，因此所作三角形面积为$4 × \frac{1}{4}=1$。
例如选取E、G、H三点：△EGH中，底$GH=1$，GH边上的高为2，因此$S_{△ EGH}=\frac{1}{2} × 1 × 2=1$，满足面积要求；△ABC的三边比为$2:4:2\sqrt{5}=1:2:\sqrt{5}$，△EGH的三边长度分别为1、$2\sqrt{2}$、$\sqrt{13}$，三边比与△ABC不相等，因此不相似，符合要求。同理△DEG也符合要求，答案不唯一。
（2）选取位似比为$\frac{1}{2}$，选择合适的位似中心，分别作出A、B、C三点的对应点，使对应点连线均过位似中心，且对应点到位似中心的距离比为$\frac{1}{2}$，保证对应顶点落在D、E、F、G、H中，顺次连接对应点即得到缩小后的位似图形，符合要求即可。
【答案】
(1) 如△DEG，△EGH（答案不唯一）；
(2) 按位似作图要求作出图形即可。
【知识点】
三角形面积计算；相似三角形判定；位似图形作图
【点评】
本题结合网格考查图形相关的计算与作图，解题时要注意题目的限定条件：第一问需同时满足面积比要求和不相似的要求，不要遗漏不相似的判定；第二问位似作图要保证对应顶点落在指定格点上，熟悉位似的性质是解题关键。
【难度系数】
0.7
9. 如图3-1-81，图中每个小正方形的边长都是1，$△ ABC$与$△ A'B'C'$是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上。
（1）画出位似中心O。
（2）结合图形可求出$△ ABC$与$△ A'B'C'$的相似比是
（3）以点O为位似中心，画$△ ABC$的位似$△ A_1B_1C_1$，使$△ ABC$与$△ A_1B_1C_1$的相似比为$2:3$。
图3-1-81
（1）画出位似中心O。
（2）结合图形可求出$△ ABC$与$△ A'B'C'$的相似比是
1 : 2
。（3）以点O为位似中心，画$△ ABC$的位似$△ A_1B_1C_1$，使$△ ABC$与$△ A_1B_1C_1$的相似比为$2:3$。
图3-1-81
答案
9. (1) 图略.
(2) 1 : 2.
(3) 图略.
(2) 1 : 2.
(3) 图略.
解析
【分析】
（1）确定位似中心时，依据位似图形的性质：位似图形任意两组对应顶点的连线都经过位似中心，所以只需连接两组对应点并延长，交点就是位似中心O；（2）求相似比时，相似比等于位似图形对应边的长度比，也等于对应点到位似中心的距离比，可通过勾股定理计算一组对应边的长度再求比值，注意相似比是△ABC与△A'B'C'的比，顺序不能颠倒；（3）画位似图形时，先明确相似比为△ABC:△A₁B₁C₁=2:3，即新图形对应顶点到位似中心O的距离是原图形对应顶点到O距离的$\frac{3}{2}$，在对应顶点与O的连线上按比例找到新顶点后顺次连接即可。
【解析】
（1）分别连接$A'A$、$B'B$，将两条线段双向延长，它们的交点即为位似中心O，在图中标出即可。
（2）利用勾股定理计算对应边长度：
由网格得，$AB=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，
$A'B'=\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$，
因此△ABC与△A'B'C'的相似比为$AB:A'B'=\sqrt{13}:2\sqrt{13}=1:2$。
（3）①分别作射线OA、OB、OC；
②在射线OA上取点$A_1$，使得$OA_1:OA=3:2$，同理在射线OB、OC上分别取点$B_1$、$C_1$，满足$OB_1:OB=3:2$，$OC_1:OC=3:2$；
③顺次连接$A_1$、$B_1$、$C_1$，所得△$A_1B_1C_1$就是所求的位似图形。
【答案】
(1) 图略
(2) 1 : 2
(3) 图略
【知识点】
位似图形的性质，相似比计算，位似图形作图
【点评】
本题围绕位似图形的核心知识点设题，考查了位似中心的确定、相似比的计算以及位似图形的画法，解题时要注意相似比的前后对应顺序，避免因顺序颠倒出错，作图时要准确按比例截取线段长度。
【难度系数】
0.7
（1）确定位似中心时，依据位似图形的性质：位似图形任意两组对应顶点的连线都经过位似中心，所以只需连接两组对应点并延长，交点就是位似中心O；（2）求相似比时，相似比等于位似图形对应边的长度比，也等于对应点到位似中心的距离比，可通过勾股定理计算一组对应边的长度再求比值，注意相似比是△ABC与△A'B'C'的比，顺序不能颠倒；（3）画位似图形时，先明确相似比为△ABC:△A₁B₁C₁=2:3，即新图形对应顶点到位似中心O的距离是原图形对应顶点到O距离的$\frac{3}{2}$，在对应顶点与O的连线上按比例找到新顶点后顺次连接即可。
【解析】
（1）分别连接$A'A$、$B'B$，将两条线段双向延长，它们的交点即为位似中心O，在图中标出即可。
（2）利用勾股定理计算对应边长度：
由网格得，$AB=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，
$A'B'=\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$，
因此△ABC与△A'B'C'的相似比为$AB:A'B'=\sqrt{13}:2\sqrt{13}=1:2$。
（3）①分别作射线OA、OB、OC；
②在射线OA上取点$A_1$，使得$OA_1:OA=3:2$，同理在射线OB、OC上分别取点$B_1$、$C_1$，满足$OB_1:OB=3:2$，$OC_1:OC=3:2$；
③顺次连接$A_1$、$B_1$、$C_1$，所得△$A_1B_1C_1$就是所求的位似图形。
【答案】
(1) 图略
(2) 1 : 2
(3) 图略
【知识点】
位似图形的性质，相似比计算，位似图形作图
【点评】
本题围绕位似图形的核心知识点设题，考查了位似中心的确定、相似比的计算以及位似图形的画法，解题时要注意相似比的前后对应顺序，避免因顺序颠倒出错，作图时要准确按比例截取线段长度。
【难度系数】
0.7
