1.关于位似图形，有如下表述：
① 相似图形一定是位似图形；
② 位似图形一定是相似图形；
③ 位似图形一定有位似中心；
④ 如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；
⑤ 位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于相似比.
表述正确的是.(填序号)

1. ②③④

【分析】
解决本题的核心是熟练掌握位似图形的定义与性质，理清位似和相似的关联与区别，再对5个表述逐一判断正误即可：首先明确位似是特殊的相似，除了满足相似的要求外，还有对应点连线共点等额外特征，结合位似的判定和性质逐一验证每个说法，排除错误表述就能得到正确答案。
【解析】
首先回忆位似图形的相关概念：
位似图形的定义：两个相似图形，若每组对应点所在的直线都经过同一个点，且对应边互相平行（或共线），则这两个图形是位似图形，这个公共点叫做位似中心；位似图形的性质：位似图形对应点到位似中心的距离之比等于相似比。
接下来逐一分析每个表述：
①相似图形仅要求形状相同，不需要满足对应点连线共点、对应边平行的位似专属要求，因此相似图形不一定是位似图形，①错误；
②位似图形是特殊的相似图形，因此位似图形一定是相似图形，②正确；
③根据位似图形的定义，所有对应点的连线都会经过同一个位似中心，因此位似图形一定有位似中心，③正确；
④两个图形已经是相似图形，且每组对应点的连线都经过同一点，符合位似图形的判定条件，因此这两个图形是位似图形，④正确；
⑤位似图形上只有对应两点与位似中心的距离之比等于相似比，并非任意两点，因此⑤错误。
综上，正确的表述为②③④。
【答案】
②③④
【知识点】
位似图形的定义；位似图形的性质；位似与相似的关系
【点评】
本题属于基础概念辨析题，主要考查对位似图形核心概念的理解，解题的关键是准确区分相似和位似的异同，牢记位似的判定条件和性质，注意不要混淆“对应点”和“任意点”的表述。
【难度系数】
0.7

2.如图3-1-74，DF // BC，CF // AB，图中与△ADE是位似三角形的有个.

2. 2

【分析】
要解决本题，首先明确位似三角形的判定要求：①两个三角形相似；②对应顶点的连线交于同一点；③对应边互相平行或共线，三个条件同时满足即为位似三角形。
解题时先结合已知平行条件找和△ADE相似的三角形，再逐一验证位似的剩余条件：
1. 由DF//BC可证△ADE∽△ABC，二者公共顶点为A，D在AB上、E在AC上，DE//BC，对应顶点连线都过A，符合位似要求，位似中心为A。
2. 由CF//AB可证△ADE∽△CFE，二者对应顶点A与C、D与F的连线都过E，对应边AD//CF、DE与EF共线、AE与EC共线，符合位似要求，位似中心为E。
没有其余符合条件的三角形，即可得结果。
【解析】
位似三角形的定义：两个三角形相似，且对应顶点连线交于同一点、对应边平行或共线时，二者为位似三角形。
1. 判定△ABC与△ADE是位似三角形：
∵DF//BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠ACB，可得△ADE∽△ABC。
两个三角形公共顶点为A，点D在AB上、点E在AC上，DE//BC，对应顶点连线均过点A，满足位似条件。
2. 判定△CFE与△ADE是位似三角形：
∵CF//AB，
∴∠A=∠ECF，又∠AED=∠CEF，可得△ADE∽△CFE。
两个三角形对应顶点A与C的连线、D与F的连线均过点E，AD//CF，DE与EF共线、AE与EC共线，满足位似条件。
综上，和△ADE是位似三角形的共有2个。
【答案】
2
【知识点】
位似图形的判定、相似三角形判定、平行线的性质
【点评】
本题核心考查位似图形的判定，易错点是容易遗漏△CFE这个位似图形，解题时要严格对照位似的三个判定条件逐一排查，不要漏解。
【难度系数】
0.7

3. 如图 3-1-75, 以点 O 为位似中心, 将 $△ ABC$ 放大得到 $△ DEF$, 若 $AD = OA$, $△ ABC$ 的面积为 4, 则 $△ DEF$ 的面积为 .

3. 16

【分析】
首先回忆位似图形的相关性质：位似图形是特殊的相似图形，对应顶点到位似中心的距离之比等于位似比（即相似比），相似三角形的面积比等于相似比的平方。解题时第一步先根据已知条件AD=OA，求出△ABC与△DEF的位似比；第二步利用面积比和相似比的关系，结合△ABC的面积计算△DEF的面积即可。
【解析】
∵ 以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF
∴ △ABC∽△DEF，且两个三角形的位似比等于对应顶点到位似中心O的距离之比
∵ $AD = OA$
∴ $OD = OA + AD = 2OA$
∴ 位似比 $k = OA:OD = 1:2$
∵ 相似三角形的面积比等于相似比的平方
∴ $S_{△ ABC}:S_{△ DEF}=k^2=(1:2)^2=1:4$
又
∵ $S_{△ ABC}=4$
∴ $S_{△ DEF}=4×4=16$
【答案】
16
【知识点】
位似图形的性质、相似三角形面积比、比例计算
【点评】
本题是位似性质的基础应用类题目，解题的核心是先通过线段关系求出位似比，再结合相似三角形面积与相似比的关系计算结果，熟练掌握位似和相似的关联是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8

4.如图3-1-76，五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'是位似图形，点O为位似中心，
OD' = 2OD，则A'B' : AB为 ……【 】

A.2:3
B.3:2
C.1:2
D.2:1

D

【分析】
遇到位似图形求对应边比值的问题，首先回忆位似图形的核心性质：位似图形是特殊的相似图形，其对应边的比等于位似比，而位似比等于两组对应点到位似中心的距离之比。本题已知O是位似中心，且给出了对应点D、D'到O的距离关系，我们可以先通过OD和OD'的长度关系求出位似比，再利用位似比等于对应边的比，即可求出A'B':AB的比值。
【解析】
解：
∵五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'是位似图形，点O为位似中心，
∴位似比等于对应点到位似中心的距离之比，且对应边的比等于位似比。
∵D和D'是对应点，且OD' = 2OD，
∴位似比为OD':OD = 2OD:OD = 2:1。
又
∵A'B'和AB是两个五边形的对应边，
∴A'B':AB = 位似比 = 2:1。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
位似图形的性质；位似比的概念
【点评】
本题属于基础题，主要考查位似图形的基本性质，解题的关键是明确位似比与对应点到位似中心的距离、对应边长度的比例关系，牢记相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8

5. 如图3-1-77，矩形ABCD与矩形AB'C'D'是位似图形，点A是位似中心，矩形ABCD的周长为24，$BB' = 4$，$DD' = 2$，那么AB和AD的长依次是…………【 】

A.4，2
B.8，4
C.8，6
D.10，6

B

【分析】
本题可结合位似图形的性质与矩形周长公式求解：首先，位似图形属于特殊的相似图形，对应边成比例；其次，已知矩形ABCD的周长，可先得到AB与AD的和的关系；最后利用位似图形对应边的比例关系列方程，联立两个关系式即可求出AB和AD的长度。
【解析】
设$AB=x$，$AD=y$。
1. 根据矩形ABCD周长为24，可得：
$2(x+y)=24$，化简得$x+y=12$ ①。
2. 因为矩形ABCD与矩形$AB'C'D'$是位似图形，点A为位似中心，所以对应边成比例，即$\frac{AB}{AB'}=\frac{AD}{AD'}$。
由图可知$AB'=AB+BB'=x+4$，$AD'=AD+DD'=y+2$，代入比例式得：
$\frac{x}{x+4}=\frac{y}{y+2}$
交叉相乘得：$x(y+2)=y(x+4)$
展开化简：$xy+2x=xy+4y$，消去$xy$后得$2x=4y$，即$x=2y$ ②。
3. 把②代入①得：$2y+y=12$，解得$y=4$，则$x=2×4=8$。
因此$AB=8$，$AD=4$。
【答案】
B
【知识点】
位似图形的性质；矩形周长计算；二元一次方程组的应用
【点评】
本题是位似性质的基础应用题，解题核心是明确位似图形的对应边成比例，结合图形的周长条件建立方程求解，需要注意找准位似图形对应的边，避免比例关系列错。
【难度系数】
0.7

6.按下面的方法画$△ OAB$的内接等边三角形(如图3-1-78)：

（1）在$△ AOB$内画等边三角形$CDE$，使点$C$在$OA$上，点$D$在$OB$上.
（2）连结$OE$并延长，交$AB$于点$E'$.
（3）过点$E'$作$E'C' // EC$，交$OA$于点$C'$；作$E'D' // ED$，交$OB$于点$D'$.
（4）连结$C'D'$.
求证：$△ C'D'E'$是等边三角形.

提示:
∵ C'E' // CE，
∴ △OCE ∽ △OC'E'.
∴ OE/OE' = CE/C'E'，
∠OEC = ∠OE'C'.
同理 OE/OE' = ED/E'D'，∠OED = ∠OE'D'.
∴ CE/C'E' = DE/D'E'，∠CED = ∠C'E'D'.
∴ △C'D'E' ∽ △CDE.
∴ △C'D'E' 和 △CDE 都是等边三角形.

【分析】
首先观察题目给出的作图步骤，存在两组平行线$E'C'// EC$、$E'D'// ED$，可先利用“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”，证明$△ OCE∽△ OC'E'$、$△ ODE∽△ OD'E'$，由此得到两组对应边的比相等，以及对应角相等；再通过等量代换得到$△ CDE$与$△ C'D'E'$的两边成比例且夹角相等，证明两个三角形相似；最后结合已知$△ CDE$是等边三角形，由相似三角形的性质即可推出$△ C'D'E'$是等边三角形。
【解析】
证明：
$\because E'C'// EC$，
$\therefore △ OCE∽△ OC'E'$，
$\therefore \frac{OE}{OE'}=\frac{CE}{C'E'}$，$∠ OEC=∠ OE'C'$。
同理，$\because E'D'// ED$，
$\therefore △ ODE∽△ OD'E'$，
$\therefore \frac{OE}{OE'}=\frac{DE}{D'E'}$，$∠ OED=∠ OE'D'$。
$\therefore \frac{CE}{C'E'}=\frac{DE}{D'E'}$，
且$∠ OEC+∠ OED=∠ OE'C'+∠ OE'D'$，即$∠ CED=∠ C'E'D'$，
$\therefore △ C'D'E'∽△ CDE$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
又$\because △ CDE$是等边三角形，
$\therefore △ C'D'E'$是等边三角形。
【答案】

【知识点】
相似三角形的判定与性质，平行线的性质，等边三角形的判定
【点评】
本题主要考查相似三角形与平行线、等边三角形的综合应用，解题的核心是通过平行条件构造相似三角形，利用相似的性质建立已知等边三角形和待证三角形的关系，锻炼了对相似判定和性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7