8. (2023·通州期中)如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ C=90°$,$O$ 是边 $AC$ 上一点,以点 $O$ 为圆心,$OC$ 长为半径的圆与边 $AB$ 相切于点 $D$.若 $BD=5$,$AD=8$,则 $OC$ 的长为 （ ）
A. $\dfrac{8}{3}$
B. $\dfrac{10}{3}$
C. $\dfrac{16}{3}$
D. $\dfrac{20}{3}$

B

9. 如图，AB，AC 是$\odot O$的弦，过点 A 的切线交 CB 的延长线于点 D. 若$∠ BAD=35°$，则$∠ C=$______．

$35^{\circ}$

10. 如图,在平面直角坐标系中,点 C 的坐标为$(3,4)$,以点 C 为圆心的圆与 y 轴相切,点 A,B 在 x 轴上,且$OA=OB$,P 为$\odot C$上的动点,$∠APB=90°$,则 AB 长的最大值为______.

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11. (2024·东营)如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，C是BE的中点，AE⊥CD，垂足为D，DC的延长线交AB的延长线于点F.
(1) 求证:CD是⊙O的切线；
(2) 若$CD=\sqrt{3}$，$∠ABC=60°$，求线段AF的长.

第11题

（1）证明：如图，连接$OC。$ 因为$C$是$\overset{\frown}{BE}$的中点，所以$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CE}，$ 所以$\angle BAC = \angle CAE。$ 因为$OC = OA，$所以$\angle OCA = \angle OAC，$ 所以$\angle OCA=\angle CAD，$所以$OC// AD。$ 因为$AE\perp CD，$所以$OC\perp DF。$ 又因为$OC$是$\odot O$的半径，所以$CD$是$\odot O$的切线。 （2）解：因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$\angle ACB = 90^{\circ}。$ 因为$\angle ABC = 60^{\circ}，$所以$\angle BAC = 30^{\circ}，$ 所以$\angle CAD = \angle BAC = 30^{\circ}。$ 因为$\angle D = 90^{\circ}，$$CD = \sqrt{3}，$所以$AC = 2CD = 2\sqrt{3}。$ 所以$AD=\sqrt{AC^{2}-CD^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{3})^{2}} = 3。$ 因为$\angle F = 180^{\circ}-\angle D-\angle BAD = 30^{\circ}，$所以$AF = 2AD = 6。$ ;

12. 如图,以四边形ABCD的对角线BD为直径作圆,圆心为点O,过点A作AE⊥CD,交CD的延长线于点E,已知DA平分∠BDE.
(1) 求证:AE是$\odot O$的切线;
(2) 若$AE=4,CD=6$,求$\odot O$的半径和AD的长.

第12题

（1）证明：如图，连接$OA。$ 因为$AE\perp CD，$交$CD$的延长线于点$E，$$DA$平分$\angle BDE，$ 所以$\angle DAE+\angle ADE = 90^{\circ}，$$\angle ADE = \angle ADO。$ 因为以四边形$ABCD$的对角线$BD$为直径作圆，圆心为点$O，$所以$OA = OD，$ 所以$\angle OAD = \angle ADO，$所以$\angle ADE = \angle OAD，$ 所以$\angle DAE+\angle OAD = 90^{\circ}，$即$OA\perp AE。$ 又因为$OA$是$\odot O$的半径，所以$AE$是$\odot O$的切线。 （2）解：如图，取$CD$的中点$F，$连接$OF。$ 因为$O$是$BD$中点，$F$是$CD$中点，所以$OF\perp CD。$ 因为$AE\perp CD，$$OA\perp AE，$所以四边形$AEFO$是矩形， 所以$OF = AE = 4，$$EF = OA。$ 因为$CD = 6，$所以$DF = FC = 3。$ 在$Rt\triangle OFD$中，$OD=\sqrt{OF^{2}+DF^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}} = 5。$ 在$Rt\triangle AED$中，$AE = 4，$$ED = EF - DF = OA - DF = OD - DF = 5 - 3 = 2，$ 所以$AD=\sqrt{4^{2}+2^{2}} = 2\sqrt{5}。$ 所以$\odot O$的半径为$5，$$AD$的长是$2\sqrt{5}。$ ;