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12.一家售楼部的6名销售员工10月份销售的住房数量(单位:套)如下:12,10,3,9,6,2,按照“组内离差平方和最小”的原则,将这组数据分成两组.
答案
12.解:将数据从小到大排列为 2,3,6,9,10,12,
将这组数据分成两组,共有 5 种情况,
第一种情况:{2}和{3,6,9,10,12},
第一组 1 个数据,离差平方和为 0,
第二组 5 个数据,平均数是$\dfrac{3+6+9+10+12}{5}=8$,
离差平方和为$(3-8)^2+(6-8)^2+(9-8)^2+(10-8)^2+(12-8)^2=25+4+1+4+16=50$,
故第一种情况的组内离差平方和为$0+50=50$；
第二种情况:{2,3}和{6,9,10,12},
第一组 2 个数据,平均数是$\dfrac{2+3}{2}=2.5$,
离差平方和为$(2-2.5)^2+(3-2.5)^2=0.25+0.25=0.5$,
第二组 4 个数据,平均数是$\dfrac{6+9+10+12}{4}=9.25$,
离差平方和为$(6-9.25)^2+(9-9.25)^2+(10-9.25)^2+(12-9.25)^2=10.5625+0.0625+0.5625+7.5625=18.75$,
故第二种情况的组内离差平方和为 $0.5+18.75=19.25$；
第三种情况:{2,3,6}和{9,10,12},
第一组 3 个数据,平均数是$\dfrac{2+3+6}{3}=\dfrac{11}{3}$,
离差平方和为$(2-\dfrac{11}{3})^2+(3-\dfrac{11}{3})^2+(6-\dfrac{11}{3})^2=\dfrac{25}{9}+\dfrac{4}{9}+\dfrac{49}{9}=\dfrac{26}{3}$,
第二组 3 个数据,平均数是$\dfrac{9+10+12}{3}=\dfrac{31}{3}$,
离差平方和为$(9-\dfrac{31}{3})^2+(10-\dfrac{31}{3})^2+(12-\dfrac{31}{3})^2=\dfrac{16}{9}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{25}{9}=\dfrac{14}{3}$,
故第三种情况的组内离差平方和为$\dfrac{26}{3}+\dfrac{14}{3}=\dfrac{40}{3}$；
第四种情况:{2,3,6,9}和{10,12},
第一组 4 个数据,平均数是$\dfrac{2+3+6+9}{4}=5$,
离差平方和为$(2-5)^2+(3-5)^2+(6-5)^2+(9-5)^2=9+4+1+16=30$,
第二组 2 个数据,平均数是$\dfrac{10+12}{2}=11$,
离差平方和为$(10-11)^2+(12-11)^2=1+1=2$,
故第四种情况的组内离差平方和为 $30+2=32$；
第五种情况:{2,3,6,9,10}和{12},
第一组 5 个数据,平均数是$\dfrac{2+3+6+9+10}{5}=6$,
离差平方和为$(2-6)^2+(3-6)^2+(6-6)^2+(9-6)^2+(10-6)^2=16+9+0+9+16=50$,
第二组 1 个数据,离差平方和为 0,
故第五种情况的组内离差平方和为 $50+0=50$.
$\because 50＞32＞19.25＞\dfrac{40}{3}$,
$\therefore$ 组内离差平方和最小的分组为第三种情况,即$\{2,3,6\}$和$\{9,10,12\}$.
将这组数据分成两组,共有 5 种情况,
第一种情况:{2}和{3,6,9,10,12},
第一组 1 个数据,离差平方和为 0,
第二组 5 个数据,平均数是$\dfrac{3+6+9+10+12}{5}=8$,
离差平方和为$(3-8)^2+(6-8)^2+(9-8)^2+(10-8)^2+(12-8)^2=25+4+1+4+16=50$,
故第一种情况的组内离差平方和为$0+50=50$；
第二种情况:{2,3}和{6,9,10,12},
第一组 2 个数据,平均数是$\dfrac{2+3}{2}=2.5$,
离差平方和为$(2-2.5)^2+(3-2.5)^2=0.25+0.25=0.5$,
第二组 4 个数据,平均数是$\dfrac{6+9+10+12}{4}=9.25$,
离差平方和为$(6-9.25)^2+(9-9.25)^2+(10-9.25)^2+(12-9.25)^2=10.5625+0.0625+0.5625+7.5625=18.75$,
故第二种情况的组内离差平方和为 $0.5+18.75=19.25$；
第三种情况:{2,3,6}和{9,10,12},
第一组 3 个数据,平均数是$\dfrac{2+3+6}{3}=\dfrac{11}{3}$,
离差平方和为$(2-\dfrac{11}{3})^2+(3-\dfrac{11}{3})^2+(6-\dfrac{11}{3})^2=\dfrac{25}{9}+\dfrac{4}{9}+\dfrac{49}{9}=\dfrac{26}{3}$,
第二组 3 个数据,平均数是$\dfrac{9+10+12}{3}=\dfrac{31}{3}$,
离差平方和为$(9-\dfrac{31}{3})^2+(10-\dfrac{31}{3})^2+(12-\dfrac{31}{3})^2=\dfrac{16}{9}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{25}{9}=\dfrac{14}{3}$,
故第三种情况的组内离差平方和为$\dfrac{26}{3}+\dfrac{14}{3}=\dfrac{40}{3}$；
第四种情况:{2,3,6,9}和{10,12},
第一组 4 个数据,平均数是$\dfrac{2+3+6+9}{4}=5$,
离差平方和为$(2-5)^2+(3-5)^2+(6-5)^2+(9-5)^2=9+4+1+16=30$,
第二组 2 个数据,平均数是$\dfrac{10+12}{2}=11$,
离差平方和为$(10-11)^2+(12-11)^2=1+1=2$,
故第四种情况的组内离差平方和为 $30+2=32$；
第五种情况:{2,3,6,9,10}和{12},
第一组 5 个数据,平均数是$\dfrac{2+3+6+9+10}{5}=6$,
离差平方和为$(2-6)^2+(3-6)^2+(6-6)^2+(9-6)^2+(10-6)^2=16+9+0+9+16=50$,
第二组 1 个数据,离差平方和为 0,
故第五种情况的组内离差平方和为 $50+0=50$.
$\because 50＞32＞19.25＞\dfrac{40}{3}$,
$\therefore$ 组内离差平方和最小的分组为第三种情况,即$\{2,3,6\}$和$\{9,10,12\}$.
13.现有5个数据:2,4,5,6,10,需将其分成3组(每组至少1个数据),根据组内离差平方和最小的原则,应该如何分?
答案
13.解:由题意,数据 2,4,5,6,10,共有 5 个数据,分成 3 组(每组至少 1 个数据),只有两种分组形式:$(1,1,3)$和$(1,2,2)$.
$\because$ 离差平方和:单个数据为 0,数据越集中、差值越小,离差平方和越小,
$\therefore$ 可分为$\{2\},\{4,5,6\},\{10\}$或$\{2,4\},\{5,6\},\{10\}$.
当分组为$\{2\},\{4,5,6\},\{10\}$时,
第二组数据的平均数为$\dfrac{4+5+6}{3}=5$,
离差平方和为$(4-5)^2+(5-5)^2+(6-5)^2=2$.
所以组内离差平方和为 $0+2+0=2$；
当分组为$\{2,4\},\{5,6\},\{10\}$时,
第一组数据的平均数为$\dfrac{2+4}{2}=3$,
离差平方和为$(2-3)^2+(4-3)^2=2$,
第二组数据的平均数为$\dfrac{5+6}{2}=5.5$,
离差平方和为$(5-5.5)^2+(6-5.5)^2=0.5$,
所以组内离差平方和为 $2+0.5+0=2.5$.
$\because 2＜2.5$,$\therefore$ 组内离差平方和最小的分组是$\{2\},\{4,5,6\},\{10\}$.
$\because$ 离差平方和:单个数据为 0,数据越集中、差值越小,离差平方和越小,
$\therefore$ 可分为$\{2\},\{4,5,6\},\{10\}$或$\{2,4\},\{5,6\},\{10\}$.
当分组为$\{2\},\{4,5,6\},\{10\}$时,
第二组数据的平均数为$\dfrac{4+5+6}{3}=5$,
离差平方和为$(4-5)^2+(5-5)^2+(6-5)^2=2$.
所以组内离差平方和为 $0+2+0=2$；
当分组为$\{2,4\},\{5,6\},\{10\}$时,
第一组数据的平均数为$\dfrac{2+4}{2}=3$,
离差平方和为$(2-3)^2+(4-3)^2=2$,
第二组数据的平均数为$\dfrac{5+6}{2}=5.5$,
离差平方和为$(5-5.5)^2+(6-5.5)^2=0.5$,
所以组内离差平方和为 $2+0.5+0=2.5$.
$\because 2＜2.5$,$\therefore$ 组内离差平方和最小的分组是$\{2\},\{4,5,6\},\{10\}$.
