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12.一家售楼部的6名销售员工10月份销售的住房数量(单位:套)如下:12,10,3,9,6,2,按照“组内离差平方和最小”的原则,将这组数据分成两组.
答案
12.解:将数据从小到大排列为 2,3,6,9,10,12,
将这组数据分成两组,共有 5 种情况,
第一种情况:{2}和{3,6,9,10,12},
第一组 1 个数据,离差平方和为 0,
第二组 5 个数据,平均数是$\dfrac{3+6+9+10+12}{5}=8$,
离差平方和为$(3-8)^2+(6-8)^2+(9-8)^2+(10-8)^2+(12-8)^2=25+4+1+4+16=50$,
故第一种情况的组内离差平方和为$0+50=50$；
第二种情况:{2,3}和{6,9,10,12},
第一组 2 个数据,平均数是$\dfrac{2+3}{2}=2.5$,
离差平方和为$(2-2.5)^2+(3-2.5)^2=0.25+0.25=0.5$,
第二组 4 个数据,平均数是$\dfrac{6+9+10+12}{4}=9.25$,
离差平方和为$(6-9.25)^2+(9-9.25)^2+(10-9.25)^2+(12-9.25)^2=10.5625+0.0625+0.5625+7.5625=18.75$,
故第二种情况的组内离差平方和为 $0.5+18.75=19.25$；
第三种情况:{2,3,6}和{9,10,12},
第一组 3 个数据,平均数是$\dfrac{2+3+6}{3}=\dfrac{11}{3}$,
离差平方和为$(2-\dfrac{11}{3})^2+(3-\dfrac{11}{3})^2+(6-\dfrac{11}{3})^2=\dfrac{25}{9}+\dfrac{4}{9}+\dfrac{49}{9}=\dfrac{26}{3}$,
第二组 3 个数据,平均数是$\dfrac{9+10+12}{3}=\dfrac{31}{3}$,
离差平方和为$(9-\dfrac{31}{3})^2+(10-\dfrac{31}{3})^2+(12-\dfrac{31}{3})^2=\dfrac{16}{9}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{25}{9}=\dfrac{14}{3}$,
故第三种情况的组内离差平方和为$\dfrac{26}{3}+\dfrac{14}{3}=\dfrac{40}{3}$；
第四种情况:{2,3,6,9}和{10,12},
第一组 4 个数据,平均数是$\dfrac{2+3+6+9}{4}=5$,
离差平方和为$(2-5)^2+(3-5)^2+(6-5)^2+(9-5)^2=9+4+1+16=30$,
第二组 2 个数据,平均数是$\dfrac{10+12}{2}=11$,
离差平方和为$(10-11)^2+(12-11)^2=1+1=2$,
故第四种情况的组内离差平方和为 $30+2=32$；
第五种情况:{2,3,6,9,10}和{12},
第一组 5 个数据,平均数是$\dfrac{2+3+6+9+10}{5}=6$,
离差平方和为$(2-6)^2+(3-6)^2+(6-6)^2+(9-6)^2+(10-6)^2=16+9+0+9+16=50$,
第二组 1 个数据,离差平方和为 0,
故第五种情况的组内离差平方和为 $50+0=50$.
$\because 50＞32＞19.25＞\dfrac{40}{3}$,
$\therefore$ 组内离差平方和最小的分组为第三种情况,即$\{2,3,6\}$和$\{9,10,12\}$.
将这组数据分成两组,共有 5 种情况,
第一种情况:{2}和{3,6,9,10,12},
第一组 1 个数据,离差平方和为 0,
第二组 5 个数据,平均数是$\dfrac{3+6+9+10+12}{5}=8$,
离差平方和为$(3-8)^2+(6-8)^2+(9-8)^2+(10-8)^2+(12-8)^2=25+4+1+4+16=50$,
故第一种情况的组内离差平方和为$0+50=50$；
第二种情况:{2,3}和{6,9,10,12},
第一组 2 个数据,平均数是$\dfrac{2+3}{2}=2.5$,
离差平方和为$(2-2.5)^2+(3-2.5)^2=0.25+0.25=0.5$,
第二组 4 个数据,平均数是$\dfrac{6+9+10+12}{4}=9.25$,
离差平方和为$(6-9.25)^2+(9-9.25)^2+(10-9.25)^2+(12-9.25)^2=10.5625+0.0625+0.5625+7.5625=18.75$,
故第二种情况的组内离差平方和为 $0.5+18.75=19.25$；
第三种情况:{2,3,6}和{9,10,12},
第一组 3 个数据,平均数是$\dfrac{2+3+6}{3}=\dfrac{11}{3}$,
离差平方和为$(2-\dfrac{11}{3})^2+(3-\dfrac{11}{3})^2+(6-\dfrac{11}{3})^2=\dfrac{25}{9}+\dfrac{4}{9}+\dfrac{49}{9}=\dfrac{26}{3}$,
第二组 3 个数据,平均数是$\dfrac{9+10+12}{3}=\dfrac{31}{3}$,
离差平方和为$(9-\dfrac{31}{3})^2+(10-\dfrac{31}{3})^2+(12-\dfrac{31}{3})^2=\dfrac{16}{9}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{25}{9}=\dfrac{14}{3}$,
故第三种情况的组内离差平方和为$\dfrac{26}{3}+\dfrac{14}{3}=\dfrac{40}{3}$；
第四种情况:{2,3,6,9}和{10,12},
第一组 4 个数据,平均数是$\dfrac{2+3+6+9}{4}=5$,
离差平方和为$(2-5)^2+(3-5)^2+(6-5)^2+(9-5)^2=9+4+1+16=30$,
第二组 2 个数据,平均数是$\dfrac{10+12}{2}=11$,
离差平方和为$(10-11)^2+(12-11)^2=1+1=2$,
故第四种情况的组内离差平方和为 $30+2=32$；
第五种情况:{2,3,6,9,10}和{12},
第一组 5 个数据,平均数是$\dfrac{2+3+6+9+10}{5}=6$,
离差平方和为$(2-6)^2+(3-6)^2+(6-6)^2+(9-6)^2+(10-6)^2=16+9+0+9+16=50$,
第二组 1 个数据,离差平方和为 0,
故第五种情况的组内离差平方和为 $50+0=50$.
$\because 50＞32＞19.25＞\dfrac{40}{3}$,
$\therefore$ 组内离差平方和最小的分组为第三种情况,即$\{2,3,6\}$和$\{9,10,12\}$.
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确“组内离差平方和最小”的本质是每组内数据的差异尽可能小，因此第一步先将原始数据从小到大排序，此时只需考虑相邻分割的分组情况（非相邻分组会导致组内数据差异更大，总离差平方和更高，无需额外考虑）。6个数据分成两组共有5种相邻分割方式，接下来依次计算每种分割方式下两组的离差平方和之和，计算时先求每组的平均数，再计算每个数据与本组平均数的差的平方和，最后将两组的离差平方和相加得到该分法的总离差平方和，比较5种分法的总离差平方和，最小的对应的分组即为所求。
【解析】
首先将数据从小到大排列为：2,3,6,9,10,12，将这组数据分成两组共有5种相邻分法，逐一计算如下：
第一种情况：$\{2\}$和$\{3,6,9,10,12\}$
第一组仅1个数据，离差平方和为0；
第二组平均数为$\dfrac{3+6+9+10+12}{5}=8$，离差平方和为$(3-8)^2+(6-8)^2+(9-8)^2+(10-8)^2+(12-8)^2=25+4+1+4+16=50$；
总离差平方和：$0+50=50$。
第二种情况：$\{2,3\}$和$\{6,9,10,12\}$
第一组平均数为$\dfrac{2+3}{2}=2.5$，离差平方和为$(2-2.5)^2+(3-2.5)^2=0.25+0.25=0.5$；
第二组平均数为$\dfrac{6+9+10+12}{4}=9.25$，离差平方和为$(6-9.25)^2+(9-9.25)^2+(10-9.25)^2+(12-9.25)^2=10.5625+0.0625+0.5625+7.5625=18.75$；
总离差平方和：$0.5+18.75=19.25$。
第三种情况：$\{2,3,6\}$和$\{9,10,12\}$
第一组平均数为$\dfrac{2+3+6}{3}=\dfrac{11}{3}$，离差平方和为$(2-\dfrac{11}{3})^2+(3-\dfrac{11}{3})^2+(6-\dfrac{11}{3})^2=\dfrac{25}{9}+\dfrac{4}{9}+\dfrac{49}{9}=\dfrac{26}{3}$；
第二组平均数为$\dfrac{9+10+12}{3}=\dfrac{31}{3}$，离差平方和为$(9-\dfrac{31}{3})^2+(10-\dfrac{31}{3})^2+(12-\dfrac{31}{3})^2=\dfrac{16}{9}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{25}{9}=\dfrac{14}{3}$；
总离差平方和：$\dfrac{26}{3}+\dfrac{14}{3}=\dfrac{40}{3}\approx13.33$。
第四种情况：$\{2,3,6,9\}$和$\{10,12\}$
第一组平均数为$\dfrac{2+3+6+9}{4}=5$，离差平方和为$(2-5)^2+(3-5)^2+(6-5)^2+(9-5)^2=9+4+1+16=30$；
第二组平均数为$\dfrac{10+12}{2}=11$，离差平方和为$(10-11)^2+(12-11)^2=1+1=2$；
总离差平方和：$30+2=32$。
第五种情况：$\{2,3,6,9,10\}$和$\{12\}$
第一组平均数为$\dfrac{2+3+6+9+10}{5}=6$，离差平方和为$(2-6)^2+(3-6)^2+(6-6)^2+(9-6)^2+(10-6)^2=16+9+0+9+16=50$；
第二组仅1个数据，离差平方和为0；
总离差平方和：$50+0=50$。
比较总离差平方和：$50＞32＞19.25＞\dfrac{40}{3}$，因此第三种分法总离差平方和最小。
【答案】
分组结果为$\{2,3,6\}$和$\{9,10,12\}$
【知识点】
平均数计算；离差平方和；数据离散程度
【点评】
本题重点考查对离差平方和概念的理解与运算能力，解题时先对数据排序可有效减少无效计算，运算过程中需注意平均数求解和平方计算的准确性，避免因计算失误导致结果错误。
【难度系数】
0.6
要解决本题，首先需明确“组内离差平方和最小”的本质是每组内数据的差异尽可能小，因此第一步先将原始数据从小到大排序，此时只需考虑相邻分割的分组情况（非相邻分组会导致组内数据差异更大，总离差平方和更高，无需额外考虑）。6个数据分成两组共有5种相邻分割方式，接下来依次计算每种分割方式下两组的离差平方和之和，计算时先求每组的平均数，再计算每个数据与本组平均数的差的平方和，最后将两组的离差平方和相加得到该分法的总离差平方和，比较5种分法的总离差平方和，最小的对应的分组即为所求。
【解析】
首先将数据从小到大排列为：2,3,6,9,10,12，将这组数据分成两组共有5种相邻分法，逐一计算如下：
第一种情况：$\{2\}$和$\{3,6,9,10,12\}$
第一组仅1个数据，离差平方和为0；
第二组平均数为$\dfrac{3+6+9+10+12}{5}=8$，离差平方和为$(3-8)^2+(6-8)^2+(9-8)^2+(10-8)^2+(12-8)^2=25+4+1+4+16=50$；
总离差平方和：$0+50=50$。
第二种情况：$\{2,3\}$和$\{6,9,10,12\}$
第一组平均数为$\dfrac{2+3}{2}=2.5$，离差平方和为$(2-2.5)^2+(3-2.5)^2=0.25+0.25=0.5$；
第二组平均数为$\dfrac{6+9+10+12}{4}=9.25$，离差平方和为$(6-9.25)^2+(9-9.25)^2+(10-9.25)^2+(12-9.25)^2=10.5625+0.0625+0.5625+7.5625=18.75$；
总离差平方和：$0.5+18.75=19.25$。
第三种情况：$\{2,3,6\}$和$\{9,10,12\}$
第一组平均数为$\dfrac{2+3+6}{3}=\dfrac{11}{3}$，离差平方和为$(2-\dfrac{11}{3})^2+(3-\dfrac{11}{3})^2+(6-\dfrac{11}{3})^2=\dfrac{25}{9}+\dfrac{4}{9}+\dfrac{49}{9}=\dfrac{26}{3}$；
第二组平均数为$\dfrac{9+10+12}{3}=\dfrac{31}{3}$，离差平方和为$(9-\dfrac{31}{3})^2+(10-\dfrac{31}{3})^2+(12-\dfrac{31}{3})^2=\dfrac{16}{9}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{25}{9}=\dfrac{14}{3}$；
总离差平方和：$\dfrac{26}{3}+\dfrac{14}{3}=\dfrac{40}{3}\approx13.33$。
第四种情况：$\{2,3,6,9\}$和$\{10,12\}$
第一组平均数为$\dfrac{2+3+6+9}{4}=5$，离差平方和为$(2-5)^2+(3-5)^2+(6-5)^2+(9-5)^2=9+4+1+16=30$；
第二组平均数为$\dfrac{10+12}{2}=11$，离差平方和为$(10-11)^2+(12-11)^2=1+1=2$；
总离差平方和：$30+2=32$。
第五种情况：$\{2,3,6,9,10\}$和$\{12\}$
第一组平均数为$\dfrac{2+3+6+9+10}{5}=6$，离差平方和为$(2-6)^2+(3-6)^2+(6-6)^2+(9-6)^2+(10-6)^2=16+9+0+9+16=50$；
第二组仅1个数据，离差平方和为0；
总离差平方和：$50+0=50$。
比较总离差平方和：$50＞32＞19.25＞\dfrac{40}{3}$，因此第三种分法总离差平方和最小。
【答案】
分组结果为$\{2,3,6\}$和$\{9,10,12\}$
【知识点】
平均数计算；离差平方和；数据离散程度
【点评】
本题重点考查对离差平方和概念的理解与运算能力，解题时先对数据排序可有效减少无效计算，运算过程中需注意平均数求解和平方计算的准确性，避免因计算失误导致结果错误。
【难度系数】
0.6
13.现有5个数据:2,4,5,6,10,需将其分成3组(每组至少1个数据),根据组内离差平方和最小的原则,应该如何分?
答案
13.解:由题意,数据 2,4,5,6,10,共有 5 个数据,分成 3 组(每组至少 1 个数据),只有两种分组形式:$(1,1,3)$和$(1,2,2)$.
$\because$ 离差平方和:单个数据为 0,数据越集中、差值越小,离差平方和越小,
$\therefore$ 可分为$\{2\},\{4,5,6\},\{10\}$或$\{2,4\},\{5,6\},\{10\}$.
当分组为$\{2\},\{4,5,6\},\{10\}$时,
第二组数据的平均数为$\dfrac{4+5+6}{3}=5$,
离差平方和为$(4-5)^2+(5-5)^2+(6-5)^2=2$.
所以组内离差平方和为 $0+2+0=2$；
当分组为$\{2,4\},\{5,6\},\{10\}$时,
第一组数据的平均数为$\dfrac{2+4}{2}=3$,
离差平方和为$(2-3)^2+(4-3)^2=2$,
第二组数据的平均数为$\dfrac{5+6}{2}=5.5$,
离差平方和为$(5-5.5)^2+(6-5.5)^2=0.5$,
所以组内离差平方和为 $2+0.5+0=2.5$.
$\because 2＜2.5$,$\therefore$ 组内离差平方和最小的分组是$\{2\},\{4,5,6\},\{10\}$.
$\because$ 离差平方和:单个数据为 0,数据越集中、差值越小,离差平方和越小,
$\therefore$ 可分为$\{2\},\{4,5,6\},\{10\}$或$\{2,4\},\{5,6\},\{10\}$.
当分组为$\{2\},\{4,5,6\},\{10\}$时,
第二组数据的平均数为$\dfrac{4+5+6}{3}=5$,
离差平方和为$(4-5)^2+(5-5)^2+(6-5)^2=2$.
所以组内离差平方和为 $0+2+0=2$；
当分组为$\{2,4\},\{5,6\},\{10\}$时,
第一组数据的平均数为$\dfrac{2+4}{2}=3$,
离差平方和为$(2-3)^2+(4-3)^2=2$,
第二组数据的平均数为$\dfrac{5+6}{2}=5.5$,
离差平方和为$(5-5.5)^2+(6-5.5)^2=0.5$,
所以组内离差平方和为 $2+0.5+0=2.5$.
$\because 2＜2.5$,$\therefore$ 组内离差平方和最小的分组是$\{2\},\{4,5,6\},\{10\}$.
解析
【分析】
解这道题首先要明确5个数据分成3组（每组至少1个）的所有分组人数结构，只有(1,1,3)和(1,2,2)两种；其次要掌握离差平方和的性质：单个数据的组内离差平方和为0，组内数据越接近、离散程度越小，组内离差平方和就越小，因此不需要枚举所有分组，只需要找出两种结构下数据最集中的候选分组，分别计算总离差平方和后比较大小，即可得到符合要求的分组方式。
【解析】
5个数据分成3组，每组至少1个，分组的数量结构只有两类：$(1,1,3)$和$(1,2,2)$。
根据离差平方和的性质：单个数据的组内离差平方和为0，组内数据越集中，离差平方和越小，先筛选出两类结构下的最优候选分组：
1. 结构$(1,1,3)$的候选分组：$\{2\},\{4,5,6\},\{10\}$
计算该分组的总离差平方和：
单个元素的组离差平方和为0；
第二组$\{4,5,6\}$的平均数为$\dfrac{4+5+6}{3}=5$，组内离差平方和为$(4-5)^2+(5-5)^2+(6-5)^2=1+0+1=2$；
总离差平方和为$0+2+0=2$。
2. 结构$(1,2,2)$的候选分组：$\{2,4\},\{5,6\},\{10\}$
计算该分组的总离差平方和：
单个元素的组$\{10\}$离差平方和为0；
第一组$\{2,4\}$的平均数为$\dfrac{2+4}{2}=3$，组内离差平方和为$(2-3)^2+(4-3)^2=1+1=2$；
第二组$\{5,6\}$的平均数为$\dfrac{5+6}{2}=5.5$，组内离差平方和为$(5-5.5)^2+(6-5.5)^2=0.25+0.25=0.5$；
总离差平方和为$2+0.5+0=2.5$。
比较两个总离差平方和：$2＜2.5$，因此组内离差平方和最小的分组为$\{2\},\{4,5,6\},\{10\}$。
【答案】
分组为$\boldsymbol{\{2\},\{4,5,6\},\{10\}}$
【知识点】
离差平方和计算，数据的离散程度，分类讨论
【点评】
本题考查对离差平方和含义的理解，解题关键是先明确所有可能的分组结构，再利用“数据越集中离差平方和越小”的性质缩小计算范围，避免无效枚举，最后通过计算比较得到最优分组。
【难度系数】
0.6
解这道题首先要明确5个数据分成3组（每组至少1个）的所有分组人数结构，只有(1,1,3)和(1,2,2)两种；其次要掌握离差平方和的性质：单个数据的组内离差平方和为0，组内数据越接近、离散程度越小，组内离差平方和就越小，因此不需要枚举所有分组，只需要找出两种结构下数据最集中的候选分组，分别计算总离差平方和后比较大小，即可得到符合要求的分组方式。
【解析】
5个数据分成3组，每组至少1个，分组的数量结构只有两类：$(1,1,3)$和$(1,2,2)$。
根据离差平方和的性质：单个数据的组内离差平方和为0，组内数据越集中，离差平方和越小，先筛选出两类结构下的最优候选分组：
1. 结构$(1,1,3)$的候选分组：$\{2\},\{4,5,6\},\{10\}$
计算该分组的总离差平方和：
单个元素的组离差平方和为0；
第二组$\{4,5,6\}$的平均数为$\dfrac{4+5+6}{3}=5$，组内离差平方和为$(4-5)^2+(5-5)^2+(6-5)^2=1+0+1=2$；
总离差平方和为$0+2+0=2$。
2. 结构$(1,2,2)$的候选分组：$\{2,4\},\{5,6\},\{10\}$
计算该分组的总离差平方和：
单个元素的组$\{10\}$离差平方和为0；
第一组$\{2,4\}$的平均数为$\dfrac{2+4}{2}=3$，组内离差平方和为$(2-3)^2+(4-3)^2=1+1=2$；
第二组$\{5,6\}$的平均数为$\dfrac{5+6}{2}=5.5$，组内离差平方和为$(5-5.5)^2+(6-5.5)^2=0.25+0.25=0.5$；
总离差平方和为$2+0.5+0=2.5$。
比较两个总离差平方和：$2＜2.5$，因此组内离差平方和最小的分组为$\{2\},\{4,5,6\},\{10\}$。
【答案】
分组为$\boldsymbol{\{2\},\{4,5,6\},\{10\}}$
【知识点】
离差平方和计算，数据的离散程度，分类讨论
【点评】
本题考查对离差平方和含义的理解，解题关键是先明确所有可能的分组结构，再利用“数据越集中离差平方和越小”的性质缩小计算范围，避免无效枚举，最后通过计算比较得到最优分组。
【难度系数】
0.6
