1.化简：$a^2 - 3a^2 =$ 。

$\boldsymbol{-2a^2}$

解：
$a^2 - 3a^2=(1-3)a^2=-2a^2$
最终

2.若单项式$7x^m y^2$与单项式$3x^3 y^n$是同类项，则$m+n$的值为。

$\boldsymbol{5}$

解：
因为单项式$7x^m y^2$与单项式$3x^3 y^n$是同类项，
根据同类项的定义，相同字母的指数对应相等，
可得$m=3$，$n=2$，
所以$m+n=3+2=5$。
最终

3.若单项式$-\frac{1}{2}x^{m+3}y$与$2x^4y^{n+3}$的和是单项式，则$(m+n)^{2025}$的值为。

$\boldsymbol{-1}$

解：
因为单项式$-\frac{1}{2}x^{m+3}y$与$2x^4y^{n+3}$的和是单项式，
所以这两个单项式是同类项。
可得：
$m+3=4$，解得$m=1$，
$n+3=1$，解得$n=-2$。
所以$m+n=1+(-2)=-1$，
则$(m+n)^{2025}=(-1)^{2025}=-1$。

4.已知单项式$-\dfrac{3}{4}a^{m}b^{2}$和$\dfrac{1}{2}a^{n+1}b^{2}$是同类项，若关于$x,y$的多项式$x^{2}+xy+y^{2}-mxy-1$中$xy$项的系数是$-3$，则$m+n=$。

$\boldsymbol{7}$

解：
合并多项式中的同类项，可得：
$x^2 + xy + y^2 - mxy -1 = x^2 + (1 - m)xy + y^2 -1$
由题意，多项式中$xy$项的系数是$-3$，因此：
$1 - m = -3$
解得 $m = 4$
因为单项式$-\dfrac{3}{4}a^{m}b^{2}$和$\dfrac{1}{2}a^{n+1}b^{2}$是同类项，根据同类项定义，相同字母的指数相等，得：
$m = n + 1$
将$m=4$代入上式，得$4 = n + 1$，解得$n=3$
因此$m + n = 4 + 3 = 7$

5.如图①，将一个长为6a、宽为2b的长方形沿图中虚线裁剪成四个相同的小长方形，并按图②的方式拼出一个大正方形，则这个大正方形的周长是（用含a,b的代数式表示）。

$\boldsymbol{12a + 4b}$

解：
由题意可知，裁剪后每个小长方形的长为 $ 6a ÷ 2 = 3a $，宽为 $ 2b ÷ 2 = b $。
拼成的大正方形的边长为小长方形的长与宽的和，即 $ 3a + b $。
因此大正方形的周长为 $ 4×(3a + b) = 12a + 4b $。
最终

6.合并同类项。
(1)$2x^2 -5x +x^2 +4x -3x^2 -2$；
(2)$x^2y^2 -3xy -7x^2y^2 +\frac{1}{2}xy -1 +5x^2y^2$；
(3)$2xy -\frac{1}{5}x^3 -2xy +0.5x^3 -y^3$；
(4)$-\frac{3}{5}xy^3 +3x^2y -\frac{5}{2}x^2y -\frac{2}{5}xy^3 -\frac{1}{2}x^2y -2x^3y$。

解：
(1) 原式$=(2x^2 + x^2 - 3x^2) + (-5x + 4x) - 2$
$=(2+1-3)x^2 + (-5+4)x - 2$
$=-x - 2$
(2) 原式$=(x^2y^2 -7x^2y^2 +5x^2y^2) + (-3xy + \frac{1}{2}xy) -1$
$=(1-7+5)x^2y^2 + (-3+\frac{1}{2})xy -1$
$=-x^2y^2 - \frac{5}{2}xy -1$
(3) 原式$=(2xy - 2xy) + (-\frac{1}{5}x^3 + 0.5x^3) - y^3$
$=0 + (-\frac{1}{5} + \frac{1}{2})x^3 - y^3$
$=\frac{3}{10}x^3 - y^3$
(4) 原式$=(-\frac{3}{5}xy^3 - \frac{2}{5}xy^3) + (3x^2y - \frac{5}{2}x^2y - \frac{1}{2}x^2y) - 2x^3y$
$=(-\frac{3}{5}-\frac{2}{5})xy^3 + (3 - \frac{5}{2} - \frac{1}{2})x^2y - 2x^3y$
$=-xy^3 - 2x^3y$

7. 提升题 已知多项式 $3x^3y^2 - 2x^{m+1}y^{1-n} + 5x^2y^3$ 中存在同类项，请求出$m,n$的值，并计算$m^2 + n^3$的值。

解：
同类项是指所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等的项。
多项式的三个项中，$3x^3y^2$与$5x^2y^3$的相同字母指数不对应相等，不可能是同类项，因此只能是$-2x^{m+1}y^{1-n}$与其余两项中的某一项为同类项，分两种情况：
① 当$-2x^{m+1}y^{1-n}$与$3x^3y^2$是同类项时：
可得 $\begin{cases} m+1=3 \\ 1-n=2 \end{cases}$
解得 $\begin{cases} m=2 \\ n=-1 \end{cases}$
此时 $m^2+n^3=2^2+(-1)^3=4-1=3$
② 当$-2x^{m+1}y^{1-n}$与$5x^2y^3$是同类项时：
可得 $\begin{cases} m+1=2 \\ 1-n=3 \end{cases}$
解得 $\begin{cases} m=1 \\ n=-2 \end{cases}$
此时 $m^2+n^3=1^2+(-2)^3=1-8=-7$
综上，当$m=2,n=-1$时，$m^2+n^3=3$；当$m=1,n=-2$时，$m^2+n^3=-7$。