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9. 如图，直线$AB// CD// EF$，若$∠ ABE=32°$，$∠ ECD=160°$，则$∠ BEC$的度数为（
A.$10°$
B.$11°$
C.$12°$
D.$13°$
C
）。A.$10°$
B.$11°$
C.$12°$
D.$13°$
答案
9.C
解析
【分析】
本题可利用平行线的性质求解角度：首先观察图形，已知$AB// EF$，根据“两直线平行，内错角相等”可先求出$∠ BEF$的度数；再结合$CD// EF$，根据“两直线平行，同旁内角互补”求出$∠ CEF$的度数；最后根据$∠ BEC=∠ BEF-∠ CEF$，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：$\because AB// EF$，$∠ ABE=32°$，
$\therefore ∠ BEF=∠ ABE=32°$（两直线平行，内错角相等）。
$\because CD// EF$，$∠ ECD=160°$，
$\therefore ∠ ECD + ∠ CEF = 180°$（两直线平行，同旁内角互补），
$\therefore ∠ CEF = 180° - 160° = 20°$。
$\therefore ∠ BEC = ∠ BEF - ∠ CEF = 32° - 20° = 12°$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
1.平行线的性质；2.角度的和差计算
【点评】
本题是平行线性质的基础应用题型，解题时需准确识别平行线对应的内错角、同旁内角，再结合角度的和差关系计算，是对平行线基础性质掌握情况的常规考查。
【难度系数】
0.7
本题可利用平行线的性质求解角度：首先观察图形，已知$AB// EF$，根据“两直线平行，内错角相等”可先求出$∠ BEF$的度数；再结合$CD// EF$，根据“两直线平行，同旁内角互补”求出$∠ CEF$的度数；最后根据$∠ BEC=∠ BEF-∠ CEF$，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：$\because AB// EF$，$∠ ABE=32°$，
$\therefore ∠ BEF=∠ ABE=32°$（两直线平行，内错角相等）。
$\because CD// EF$，$∠ ECD=160°$，
$\therefore ∠ ECD + ∠ CEF = 180°$（两直线平行，同旁内角互补），
$\therefore ∠ CEF = 180° - 160° = 20°$。
$\therefore ∠ BEC = ∠ BEF - ∠ CEF = 32° - 20° = 12°$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
1.平行线的性质；2.角度的和差计算
【点评】
本题是平行线性质的基础应用题型，解题时需准确识别平行线对应的内错角、同旁内角，再结合角度的和差关系计算，是对平行线基础性质掌握情况的常规考查。
【难度系数】
0.7
10. 如图，$AB=AC$，$AD// BC$，$∠ BAC=100°$，则$∠ CAD$的度数是(
A.$30°$
B.$35°$
C.$40°$
D.$50°$
C
)。A.$30°$
B.$35°$
C.$40°$
D.$50°$
答案
10.C
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：①由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和180°，可先计算出底角∠C的度数；②已知AD//BC，根据平行线“两直线平行，内错角相等”的性质，可知∠CAD和∠C是相等的内错角，代入∠C的度数即可得到∠CAD的大小。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，∠B=∠C，
∵△ABC内角和为180°，∠BAC=100°，
∴∠C=(180°-∠BAC)÷2=(180°-100°)÷2=40°，
又
∵AD//BC，
∴∠CAD=∠C=40°（两直线平行，内错角相等）。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；平行线的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，将等腰三角形性质和平行线的性质结合考查，解题的核心是先求出等腰三角形的底角度数，再利用平行线的角的关系推导所求角度，熟练掌握基础几何性质即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：①由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和180°，可先计算出底角∠C的度数；②已知AD//BC，根据平行线“两直线平行，内错角相等”的性质，可知∠CAD和∠C是相等的内错角，代入∠C的度数即可得到∠CAD的大小。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，∠B=∠C，
∵△ABC内角和为180°，∠BAC=100°，
∴∠C=(180°-∠BAC)÷2=(180°-100°)÷2=40°，
又
∵AD//BC，
∴∠CAD=∠C=40°（两直线平行，内错角相等）。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；平行线的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，将等腰三角形性质和平行线的性质结合考查，解题的核心是先求出等腰三角形的底角度数，再利用平行线的角的关系推导所求角度，熟练掌握基础几何性质即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
11. 如图，直线$l// m$，长方形ABCD的顶点B在直线m上，则$∠α=$
（第11题）
$25°$
。（第11题）答案
11.$25°$
解析
【分析】
本题可通过作辅助线结合平行线性质和长方形性质求解：首先过点C作平行于直线l的辅助线，根据平行公理的推论可知这条辅助线也平行于m，利用两直线平行内错角相等可将已知的65°角转化到长方形的直角∠BCD中，再结合长方形内角为90°的性质，即可求出∠α的度数。
【解析】
解：过点C作CF//直线l，
∵ 直线$ l// m $，
∴ $ CF// l// m $（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），
∴ $ ∠ FCD = 65° $（两直线平行，内错角相等），
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ $ ∠ BCD = 90° $（长方形的四个内角都是直角），
∴ $ ∠ FCB = ∠ BCD - ∠ FCD = 90° - 65° = 25° $，
又
∵ $ CF// m $，
∴ $ ∠ α = ∠ FCB = 25° $（两直线平行，内错角相等）。
【答案】
$25°$
【知识点】
平行线的性质、长方形的性质、平行公理推论
【点评】
本题属于平行线与特殊四边形结合的基础计算题，核心是通过作辅助线搭建已知角和未知角的关联，考查学生对平行线相关性质的掌握程度和简单辅助线的构造能力。
【难度系数】
0.7
本题可通过作辅助线结合平行线性质和长方形性质求解：首先过点C作平行于直线l的辅助线，根据平行公理的推论可知这条辅助线也平行于m，利用两直线平行内错角相等可将已知的65°角转化到长方形的直角∠BCD中，再结合长方形内角为90°的性质，即可求出∠α的度数。
【解析】
解：过点C作CF//直线l，
∵ 直线$ l// m $，
∴ $ CF// l// m $（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），
∴ $ ∠ FCD = 65° $（两直线平行，内错角相等），
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ $ ∠ BCD = 90° $（长方形的四个内角都是直角），
∴ $ ∠ FCB = ∠ BCD - ∠ FCD = 90° - 65° = 25° $，
又
∵ $ CF// m $，
∴ $ ∠ α = ∠ FCB = 25° $（两直线平行，内错角相等）。
【答案】
$25°$
【知识点】
平行线的性质、长方形的性质、平行公理推论
【点评】
本题属于平行线与特殊四边形结合的基础计算题，核心是通过作辅助线搭建已知角和未知角的关联，考查学生对平行线相关性质的掌握程度和简单辅助线的构造能力。
【难度系数】
0.7
12. 如图，直线 $ l_1 // l_2 $，点A在直线 $ l_1 $ 上，以点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交直线 $ l_1, l_2 $ 于B，C两点，连接AC，BC。若 $ ∠ ABC = 54° $，则 $ ∠ 1 $ 的度数为
$72°$
。答案
12.$72°$
解析
【分析】
首先根据作图特征，以A为圆心画弧得到的线段AB、AC长度相等，可判断△ABC为等腰三角形，利用等腰三角形等边对等角的性质得到∠ACB的度数，再结合三角形内角和定理求出∠BAC的度数，最后根据平行线的内错角相等的性质，即可推导得到∠1的度数。
【解析】
解：由作图可知，$AC=AB$，
∴$△ ABC$是等腰三角形，
∴$∠ ACB=∠ ABC=54°$，
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ BAC=180°-∠ ABC-∠ ACB=180°-54°-54°=72°$，
∵$l_1// l_2$，AC为两直线的截线，$∠ 1$与$∠ BAC$是内错角，
∴$∠ 1=∠ BAC=72°$。
【答案】
$72°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质
【点评】
本题是基础几何角度计算题，综合考查了多个基础几何性质，解题的关键是先从作图特征得到边相等的隐含条件，再逐步推导角度，难度较低。
【难度系数】
0.7
首先根据作图特征，以A为圆心画弧得到的线段AB、AC长度相等，可判断△ABC为等腰三角形，利用等腰三角形等边对等角的性质得到∠ACB的度数，再结合三角形内角和定理求出∠BAC的度数，最后根据平行线的内错角相等的性质，即可推导得到∠1的度数。
【解析】
解：由作图可知，$AC=AB$，
∴$△ ABC$是等腰三角形，
∴$∠ ACB=∠ ABC=54°$，
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ BAC=180°-∠ ABC-∠ ACB=180°-54°-54°=72°$，
∵$l_1// l_2$，AC为两直线的截线，$∠ 1$与$∠ BAC$是内错角，
∴$∠ 1=∠ BAC=72°$。
【答案】
$72°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质
【点评】
本题是基础几何角度计算题，综合考查了多个基础几何性质，解题的关键是先从作图特征得到边相等的隐含条件，再逐步推导角度，难度较低。
【难度系数】
0.7
13. 如图，$∠ ADE + ∠ BCF = 180°$，BE平分$∠ ABC$，$∠ ABC = 2∠ E$。
(1)AD与BC平行吗？请说明理由。
(2)AB与EF的位置关系如何？为什么？
(3)若AF平分$∠ BAD$，试证明：$∠ E + ∠ F = 90°$。
(1)AD与BC平行吗？请说明理由。
(2)AB与EF的位置关系如何？为什么？
(3)若AF平分$∠ BAD$，试证明：$∠ E + ∠ F = 90°$。
答案
13.(1)解:$AD// BC$。理由如下：
因为$∠ADE+∠ADF=180°$,
$∠ADE+∠BCF=180°$,
所以$∠ADF=∠BCF$,
所以$AD// BC$。
(2)解:$AB$与$EF$的位置关系是$AB// EF$。
理由如下：
因为$BE$平分$∠ABC$,
所以$∠ABE=\frac{1}{2}∠ABC$。
因为$∠ABC=2∠E$,
即$∠E=\frac{1}{2}∠ABC$,
所以$∠E=∠ABE$,
所以$AB// EF$。
(3)证明:因为$AD// BC$,
所以$∠DAB+∠CBA=180°$。
因为$AF$平分$∠BAD$,$BE$平分$∠ABC$,
所以$∠OAB=\frac{1}{2}∠DAB$,$∠OBA=\frac{1}{2}∠CBA$,
所以$∠OAB+∠OBA=90°$,
所以$∠EOF=∠AOB=90°$,
所以$∠E+∠F=90°$。
因为$∠ADE+∠ADF=180°$,
$∠ADE+∠BCF=180°$,
所以$∠ADF=∠BCF$,
所以$AD// BC$。
(2)解:$AB$与$EF$的位置关系是$AB// EF$。
理由如下：
因为$BE$平分$∠ABC$,
所以$∠ABE=\frac{1}{2}∠ABC$。
因为$∠ABC=2∠E$,
即$∠E=\frac{1}{2}∠ABC$,
所以$∠E=∠ABE$,
所以$AB// EF$。
(3)证明:因为$AD// BC$,
所以$∠DAB+∠CBA=180°$。
因为$AF$平分$∠BAD$,$BE$平分$∠ABC$,
所以$∠OAB=\frac{1}{2}∠DAB$,$∠OBA=\frac{1}{2}∠CBA$,
所以$∠OAB+∠OBA=90°$,
所以$∠EOF=∠AOB=90°$,
所以$∠E+∠F=90°$。
解析
【分析】
(1)要判断AD与BC是否平行，可通过角的等量关系推导同位角相等：已知∠ADE+∠BCF=180°，结合邻补角性质∠ADE+∠ADF=180°，利用同角的补角相等得到同位角∠ADF=∠BCF，即可推出两直线平行。
(2)判断AB与EF的位置关系，可从内错角相等入手：已知BE平分∠ABC，可得∠ABE=1/2∠ABC，结合条件∠ABC=2∠E，可推出∠E=∠ABE，内错角相等即可证明两直线平行。
(3)要证明∠E+∠F=90°，先利用(1)中AD//BC的结论，得到同旁内角∠DAB+∠CBA=180°；再结合AF、BE是角平分线，可推出∠OAB+∠OBA=90°，进而得到∠AOB=90°，利用对顶角相等得∠EOF=90°，最后根据三角形内角和即可得出∠E+∠F=90°。
【解析】
(1)AD//BC，理由如下：
因为∠ADE+∠ADF=180°，∠ADE+∠BCF=180°，
所以∠ADF=∠BCF，
所以AD//BC。
(2)AB与EF的位置关系是AB//EF，理由如下：
因为BE平分∠ABC，
所以∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABC。
因为∠ABC=2∠E，即∠E=$\frac{1}{2}$∠ABC，
所以∠E=∠ABE，
所以AB//EF。
(3)证明：
因为AD//BC，
所以∠DAB+∠CBA=180°。
因为AF平分∠BAD，BE平分∠ABC，
所以∠OAB=$\frac{1}{2}$∠DAB，∠OBA=$\frac{1}{2}$∠CBA，
所以∠OAB+∠OBA=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
所以∠EOF=∠AOB=180°-90°=90°，
所以∠E+∠F=180°-∠EOF=90°。
【答案】
(1)AD//BC；
(2)AB//EF；
(3)∠E+∠F=90°，证明成立。
【知识点】
平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题是平行线证明章节的典型综合题，围绕角的数量关系推导直线位置关系，再结合直线性质推导角的关系，解题时需要逐步梳理逻辑链，能有效锻炼几何证明的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1)要判断AD与BC是否平行，可通过角的等量关系推导同位角相等：已知∠ADE+∠BCF=180°，结合邻补角性质∠ADE+∠ADF=180°，利用同角的补角相等得到同位角∠ADF=∠BCF，即可推出两直线平行。
(2)判断AB与EF的位置关系，可从内错角相等入手：已知BE平分∠ABC，可得∠ABE=1/2∠ABC，结合条件∠ABC=2∠E，可推出∠E=∠ABE，内错角相等即可证明两直线平行。
(3)要证明∠E+∠F=90°，先利用(1)中AD//BC的结论，得到同旁内角∠DAB+∠CBA=180°；再结合AF、BE是角平分线，可推出∠OAB+∠OBA=90°，进而得到∠AOB=90°，利用对顶角相等得∠EOF=90°，最后根据三角形内角和即可得出∠E+∠F=90°。
【解析】
(1)AD//BC，理由如下：
因为∠ADE+∠ADF=180°，∠ADE+∠BCF=180°，
所以∠ADF=∠BCF，
所以AD//BC。
(2)AB与EF的位置关系是AB//EF，理由如下：
因为BE平分∠ABC，
所以∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABC。
因为∠ABC=2∠E，即∠E=$\frac{1}{2}$∠ABC，
所以∠E=∠ABE，
所以AB//EF。
(3)证明：
因为AD//BC，
所以∠DAB+∠CBA=180°。
因为AF平分∠BAD，BE平分∠ABC，
所以∠OAB=$\frac{1}{2}$∠DAB，∠OBA=$\frac{1}{2}$∠CBA，
所以∠OAB+∠OBA=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
所以∠EOF=∠AOB=180°-90°=90°，
所以∠E+∠F=180°-∠EOF=90°。
【答案】
(1)AD//BC；
(2)AB//EF；
(3)∠E+∠F=90°，证明成立。
【知识点】
平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题是平行线证明章节的典型综合题，围绕角的数量关系推导直线位置关系，再结合直线性质推导角的关系，解题时需要逐步梳理逻辑链，能有效锻炼几何证明的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
